四川省遂宁市2024届高三第三次诊断考试数学理科试题（含答案）

遂宁市高中2024届三诊考试
数学（理科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知复数，则
A． B． C． D．
3．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是
A． B．
C． D．
4．设双曲线（）的渐近线方程为，则实数的值为
A．6 B．4 C．3 D．2
5．某公司研发新产品投入（单位：百万）与该产品的收益（单位：百万）的5组统计数据如下表所示：由表中数据求得投入金额与收益满足回归方程，则下列结论不正确的是
5 6 8 9 12
16 20 25 28 36
A．与有正相关关系 B．回归直线经过点
C． D．时，残差为0.2
6．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，为异面直线，，，则
D．若，，则与所成的角和与所成的角互余
7．已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数都有
.当时，.则的值为
A．0 B．1 C． D．
8．已知函数，把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则
A．是偶函数
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增
D．不等式的解集为
9．若是区间上的单调函数，则
实数的取值范围是
A．或 B． C． D．
10．在中，分别是角的对边，若，则的值为
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
11．已知正四面体的棱长为4，动点满足,且，则点的轨迹长为
A． B． C． D．
12．过抛物线的焦点作直线，与交于两点（点在轴上方），与轴正半轴交于点，为中点，且，又点，曲线上任意一点满足，过定点的直线与抛物线和曲线的四个交点从上到下依次为，则的最小值为
A．8 B．12 C．13 D．14
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，请在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13．已知平面向量，，若向量与共线，则
▲
14．已知实数满足约束条件，则的最大值为
▲
15．已知圆上一点，现将点绕圆心顺时针旋转到点，则点的横坐标为 ▲
16．已知函数,若的最大值为，则实数的取值构成的集合为 ▲
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考试根据要求作答.
17．（12分）
某工厂为了检查一条流水线产品的某项指标值K，随机抽取流水线上的20件产品作为样本测出该项指标值K，指标值K的分组区间为，，…，．由此得到样本的频率分布直方图（如下图）．
（1）估计该产品指标值K的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）在上述抽取的20件产品中任取2件，设为指标值超过65的产品数量，求的分布列与数学期望.
▲
18．（12分）
如图，在四棱锥中，面面,
，为的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
▲
19．（12分）
已知点集，其中，点为与轴的公共点，等差数列的公差为1．
（1）求数列的通项公式；
（2）令数列，记数列的前项和为，是否存在整数，使对任意正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由.
▲
20．（12分）
已知函数
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）若方程在上有两个不等实数根，求实数的取值范围.
▲
21．（12分）
已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点．若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，且椭圆上的点到焦点的最远距离是.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线交椭圆于两点，若中点坐标为，求直线的方程;
（3）设直线不过坐标原点且不垂直于坐标轴，直线与交于两点，点为弦的中点．过点作直线的垂线交椭圆于两点，为弦的中点．直线与直线交于，若，求的最大值．
▲
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.
22．（10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程以及直线的直角坐标方程；
（2）直线与曲线交于两点，且，求的值.
▲
（10分）
已知关于的不等式有解.
（1）求实数的取值范围；
（2）若均为正数，为的最大值，且.
求证：.
▲
遂宁市高中2024届三诊考试
数学（理科）试题参考答案及评分意见
一、选择题（12×5=60分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D B A C C D B A C D D
13． 14．3 15． 16．
三、解答题（共70分）
17.解：（1）该产品指标值K的平均值：
.........5分
（2）指标值K超过65的频率为..............................................................................6分
20件产品中指标值超过65的件数为：件...........................................7分
,,
所以，分布列为
X 0 1 2
P
...........10分
................................................................12分
18. 解：（1）证明： 所以................................................2分
所以，
因为，, 所以，.........4分
因为，面PAD面ABCD，面ABCD，面PAD面ABCD=AD
所以，面PAD，所以，.............................5分
(
O
M
E
) (
E
O
) (
A
B
C
D
O
E
)
（2）由（1）知，
因为，又
所以，面ABCD........................................................................7分
法一：连接AC,取AC中点O,则,所以面ABCD
作 ,垂足为E,连接ME,则为二面角的平面角...........................................................................................................................................9分
因为，， 所以，,
所以，，所以
又,所以,所以.........12分
(
x
) (
Z
)法二：
在面ABCD内作,以AB、Ay、AP所在
直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系
易知面ABCD的法向量为.....................................8分
因为，
所以，,设面MAD的法向量为
，所以，.................................................................10分
...............................................................12分
19．【详解】（1）由，得，直线.................................................................................................................1分
，即..............................................................................................3分
由等差数列的公差为1，得.........................................................................................................................4分
..........................................................................................................5分
（2）设................................................................6分
则.............................................................................................7分
............................................................8分
，
.................................................................................................................9分
恒成立，且....................................................................................................................11分
存在整数，使对任意正整数都成立，且的最小值为3..12分
20．（1）.............................2分
所以，，又，切点
所以，切线方程为：.....................................................................................4分
（2）方程有2个不等实数根
函数有2个零点，
因为，所以
，.................................................................................................6分
令，得
①当时，，单调递增
，单调递减
，单调递增
所以，在处取到极大值，
在处取到极小值，
要使有2个零点，须
所以，...............................................................................................................8分
②当时，，单调递增，所以至多一个零点，不合题意.......................................................................................................................9分
③当时，，单调递增
，单调递减
，单调递增
求得，在处取到极小值，
在处取到极大值，
要使有2个零点，须
所以，.（舍去）..........................................................................................11分
综上，的取值范围为，....................................................................12分
21．解：（1）由题意........................................................................2分
故，所以椭圆C的标准方程为...............................3分
（2）由题意得，直线的斜率存在,设，
则，两式相减得.......................................4分
所以，因为中点坐标为在椭圆内部，所以.......................................................................................................................5分
故直线的方程为........................................................................................6分
（3）因为直线不过坐标原点且不垂直于坐标轴，
所以．设点，所以,
由题意得，，相减得.................................................7分
所以，
所以，
所以.....................................................................................................................8分
所以，
同理得，，又，
相乘得，，
因为，所以，
则的方程为，直线DE的方程为,
直线ON的方程为......................................................................................9分
联立得，，
故.........................................................................10分
又
.........................................................................................11分
当且仅当即时取等号，
又，即当且仅当时取等号，
所以，故的最大值为...........................................................12分
22．（1）由题意得，曲线，即，
曲线C的极坐标方程为.............................................................2分
直线l的极坐标方程为，
直线l的直角坐标方程为.......................................................................4分
（2）设直线的参数方程为（t为参数），
代入中，化简得...........................................................6分
设M，N两点对应的参数分别为，，则，...........................7分
则................................10分
23．【详解】（1）由题意可得，，
令...................................................................1分
当时，，
当时，，
当，
所以的最大值为3........................................................................................................4分
关于的不等式有解等价于，
综上所述，实数的取值范围为.........................................................................6分
（2）由（1）可知，的取值范围为，且为的最大值，所以，
则，即，
由柯西不等式可得..............8分
当且仅当时，即时，等号成立....................................9分
又，
所以，即......................................................................................................10分