浙江省杭州市西湖区云城中学2023-2024八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

2023-2024学年浙江省杭州市西湖区云城中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列交通标志是中心对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．2x2﹣3y﹣5＝0 B．x2＝2x
C．+4＝x2 D．y2﹣﹣3＝0
3．（3分）若是最简二次根式，则a的值可能是（　　）
A．24 B．25 C．26 D．27
4．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
5．（3分）若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（　　）
A．至少有一个角是钝角或直角
B．没有一个角是锐角
C．每一个角都是钝角或直角
D．每一个角是锐角
6．（3分）一组数据2，2，2，3，4，7，8，若加入一个整数x，一定不会发生变化的统计量是（　　）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
7．（3分）某地区1月初疫情感染人数a万人，通过社会各界的努力，3月初感染人数减少至b万人．设1月初至3月初该地区感染人数的月平均下降率为x，根据题意列方程为（　　）
A．a（1﹣2x）＝b B．a（1﹣x）2＝b C．a（1+2x）＝b D．a（1+x）2＝b
8．（3分）若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　）
A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0
9．（3分）如图，在△ABC中，点E，点F分别是AB和AC的中点，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，BC＝8，则边DF的长为（　　）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
10．（3分）已知方程甲：ax2+2bx+a＝0，方程乙：bx2+2ax+b＝0都是一元二次方程，其中a≠b．以下说法中错误的是（　　）
A．若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙没有实数解
B．若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解
C．若x＝1是方程甲的解，则x＝1也是方程乙的解
D．若x＝n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1取﹣1
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）已知二次根式，则a的取值范围是 　 　．
12．（3分）已知一个多边形的每个外角都是72度，那么它是　 　边形．
13．（3分）用配方法将方程x2﹣4x﹣2＝0变形为（x﹣2）2＝m，则m＝　 　．
14．（3分）已知一组数据，x1，x2，x3的平均数是15，方差是2，那么另一组数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的平均数是 　 　，方差是 　 　．
15．（3分）商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此，若销售单价为　 　元时，商场每天盈利达1500元．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90°，BC＞AB，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝6，AF＝8，∠EAF＝60°．
（1）若AE⊥BC，AF⊥CD，则CD：BC＝　 　；
（2）若点E、F在分别是边BC和CD的中点，则AD＝　 　．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）解方程：
（1）6x2+x﹣7＝0；
（2）（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2．
19．（8分）某中学举行“中国梦 校园好声音”歌手大赛，七年级和八年级根据初赛成绩，各选出5名选手组成年级代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表；
平均数（分） 中位数（分） 众数
七年级 　 　 85 　 　
八年级 85 　 　 100
（2）哪一个代表队选手成绩较为稳定．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系内，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（3，4）．
（1）将△ABC沿水平方向向左平移4个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成中心对称，则点P的坐标是　 　
21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且AB＝BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连结BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝16，求四边形ABCD的面积．
22．（10分）【材料阅读】
把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．
例如：化简．
解：．
上述化简的过程，就是进行分母有理化．
【问题解决】
（1）化简的结果为：　 　；
（2）猜想：若n是正整数，则进行分母有理化的结果为：　 　；
（3）若有理数a，b满足，求a，b的值．
23．（12分）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝　 　米．
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长．
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系平行四边形OABC中，点C坐标为（2，m），点A在x轴上，CA⊥OC，∠COA＝60°．动点P从点O出发，沿射线OC以每秒2个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发沿AO边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点Q到达点O时，点P也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）OC的长为 　 　，OA的长为 　 　；
（2）当t为何值时，线段PQ恰好被BC平分？
（3）如图2，若在y轴上有一点D，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 　 　（直接写出答案）．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列交通标志是中心对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．2x2﹣3y﹣5＝0 B．x2＝2x
C．+4＝x2 D．y2﹣﹣3＝0
【解答】解：A、2x2﹣3y﹣5＝0是二元二次方程，故A错误；
B、x2＝2x是一元二次方程，故B正确；
C、+4＝x2是分式方程，故C错误；
D、y2﹣﹣3＝0是无理方程，故D错误；
故选：B．
3．（3分）若是最简二次根式，则a的值可能是（　　）
A．24 B．25 C．26 D．27
【解答】解：A、＝＝2，a的值不能是24，不符合题意；
B、＝5，a的值不能是25，不符合题意；
C、是最简二次根式，a的值能是26，符合题意；
D、＝＝3，a的值不能是27，不符合题意；
故选：C．
4．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，
∴OA＝AC＝6，BD＝2OB，
∵AB⊥AC，AB＝8，
∴OB＝＝10，
∴BD＝2OB＝20．
故选：C．
5．（3分）若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（　　）
A．至少有一个角是钝角或直角
B．没有一个角是锐角
C．每一个角都是钝角或直角
D．每一个角是锐角
【解答】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，
首先应该假设这个四边形中每一个角是锐角，
故选：D．
6．（3分）一组数据2，2，2，3，4，7，8，若加入一个整数x，一定不会发生变化的统计量是（　　）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
【解答】解：A、原来数据的众数是2，加入一个整数x后众数仍为2，符合题意，选项正确；
B、原来数据的平均数是4，加入一个整数x后，平均数有可能变化，不符合题意，选项错误；
C、原来数据的中位数是3，加入一个整数x后，如果x≠3，中位数一定变化，不符合题意，选项错误；
D、原来数据的方差加入一个整数x后的方差一定发生了变化，不符合题意，选项错误，
故选：A．
7．（3分）某地区1月初疫情感染人数a万人，通过社会各界的努力，3月初感染人数减少至b万人．设1月初至3月初该地区感染人数的月平均下降率为x，根据题意列方程为（　　）
A．a（1﹣2x）＝b B．a（1﹣x）2＝b C．a（1+2x）＝b D．a（1+x）2＝b
【解答】解：根据题意，得a（1﹣x）2＝b，
故选：B．
8．（3分）若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　）
A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0
【解答】解：由题意知，方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数，
∴m+1+2m﹣4＝0，
解得m＝1，
∴m+1＝2，2m﹣4＝﹣2，
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，点E，点F分别是AB和AC的中点，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，BC＝8，则边DF的长为（　　）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【解答】解：∵点E是AB的中点，AE＝3，
∴AE＝BE＝3．
∵点E，点F分别是AB和AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线．
∴EF∥BC，EF＝BC＝4．
∴∠EDB＝∠DBC．
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBD＝∠DBC．
∴∠EDB＝∠EBD．
∴BE＝ED＝3．
∵DF＝EF﹣ED＝4﹣3＝1．
故选：B．
10．（3分）已知方程甲：ax2+2bx+a＝0，方程乙：bx2+2ax+b＝0都是一元二次方程，其中a≠b．以下说法中错误的是（　　）
A．若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙没有实数解
B．若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解
C．若x＝1是方程甲的解，则x＝1也是方程乙的解
D．若x＝n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1取﹣1
【解答】解：若方程甲有两个不相等的实数解，则Δ＝（2b）2﹣4a a＞0，
解得4b2＞4a2，
所以4a2﹣4b2＜0，
而方程乙：bx2+2ax+b＝0中，Δ＝（2a）2﹣4b b＝4a2﹣4b2＜0，
所以方程乙没有实数解，故说法A正确；
若方程甲有两个相等的实数解，则Δ＝（2b）2﹣4a a＝0，
解得4b2＝4a2，
所以4a2﹣4b2＝0，
而方程乙：bx2+2ax+b＝0中，Δ＝（2a）2﹣4b b＝4a2﹣4b2＝0，
所以方程乙有两相等实数解，故说法B正确；
若x＝1是方程甲的解，所以a+2b+a＝0，即a＝﹣b，
则方程乙：bx2+2ax+b＝0变为bx2﹣2bx+b＝0，
解得x1＝x2＝1，
所以x＝1也是方程乙的解，故说法C正确；
若x＝n既是方程甲的解，又是方程乙的解，
所以，
①﹣②得（a﹣b）n2﹣2（a﹣b）n+（a﹣b）＝0，
∵a≠b，
∴n2﹣2n+1＝0，
解得n1＝n2＝1，
故说法D错误，
故选：D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）已知二次根式，则a的取值范围是 　a≤3　．
【解答】解：二次根式，
则3﹣a≥0，
解得：a≤3．
故答案为：a≤3．
12．（3分）已知一个多边形的每个外角都是72度，那么它是　五　边形．
【解答】解：∵一个多边形的每个外角都是72度，
∴多边形的边数为＝5，
故答案为：五．
13．（3分）用配方法将方程x2﹣4x﹣2＝0变形为（x﹣2）2＝m，则m＝　6　．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣2＝0，
∴x2﹣4x＝2，
则x2﹣4x+4＝2+4，即（x﹣2）2＝6，
∴m＝6，
故答案为：6．
14．（3分）已知一组数据，x1，x2，x3的平均数是15，方差是2，那么另一组数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的平均数是 　26　，方差是 　8　．
【解答】解：∵数据x1，x2，x3的平均数是15，
∴数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的平均数是2×15﹣4＝26；
∵数据x1，x2，x3的方差是2，
∴数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的方差是22×2＝8；
故答案为：26，8．
故答案为：26，8．
15．（3分）商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此，若销售单价为　150或170　元时，商场每天盈利达1500元．
【解答】解：设销售单价为x元，则每天可销售70﹣（x﹣130）＝（200﹣x）件，
依题意得：（x﹣120）（200﹣x）＝1500，
整理得：x2﹣320x+25500＝0，
解得：x1＝150，x2＝170．
故答案为：150或170．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90°，BC＞AB，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝6，AF＝8，∠EAF＝60°．
（1）若AE⊥BC，AF⊥CD，则CD：BC＝　3：4　；
（2）若点E、F在分别是边BC和CD的中点，则AD＝　　．
【解答】解：（1）连接AC，如图，
∵平行四边形ABCD，
∴S△ABC＝S△ACD，
即 BC AE＝CD AF，
∵AE＝6，AF＝8，
∴3BC＝4AF，
∴CD：BC＝3：4，
故答案为：3：4．
（2）延长AF与BC延长线交于点M，过点M作MN⊥AE交AE的延长线于点N，如图，
∵平行四边形ABCD，
∴AD＝BC，AD∥BM，
∴∠ADF＝∠MCF，
∵F为CD的中点，
∴CF＝DF，
在△AFD和△MFC，
，
∴△AFD≌△MFC（ASA），
∴AD＝CM，AF＝FM，
∴AM＝2AF＝16，
∵∠EAF＝60°，∠N＝90°，
∴∠AMN＝30°，
∴AN＝AM＝8，MN＝＝8，
∵AE＝6，
∴EN＝AN﹣AE＝2，
∴EM＝＝14，
∵E为BC中点，
∴EC＝＝AD＝，
∴EM＝EC+CM＝CM＝AD，
∴AD＝EM＝，
故答案为：．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2+
＝2；
（2）原式＝××﹣6+1﹣2+5
＝2﹣6+1﹣2+5
＝0．
18．（6分）解方程：
（1）6x2+x﹣7＝0；
（2）（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2．
【解答】解：（1）6x2+x﹣7＝0，
（6x+7）（x﹣1）＝0，
∴6x+7＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣，x2＝1；
（2）（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2，
（3x﹣4）2﹣（4x﹣3）2＝0，
[（3x﹣4）+（4x﹣3）][（3x﹣4）﹣（4x﹣3）]＝0，
（7x﹣7）（﹣x﹣1）＝0，
∴7x﹣7＝0或﹣x﹣1＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣1．
19．（8分）某中学举行“中国梦 校园好声音”歌手大赛，七年级和八年级根据初赛成绩，各选出5名选手组成年级代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表；
平均数（分） 中位数（分） 众数
七年级 　85　 85 　85　
八年级 85 　80　 100
（2）哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【解答】解：（1）七年级平均数为：（75+80+85+85+100）＝85（分），
七年级85分出现两次，出现的次数最多，所以众数是85分；
八年级的中位数是80分．
故答案为：85，85，80；
（2）七年级的方差是：[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，
八年级的方差是：[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160．
∵七年级的方差＜八年级的方差，
∴七年级代表队选手成绩较为稳定．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系内，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（3，4）．
（1）将△ABC沿水平方向向左平移4个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成中心对称，则点P的坐标是　（﹣2，0）　
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）如图，点P的坐标是（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且AB＝BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连结BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝16，求四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵AB＝BE，
∴∠E＝∠BAE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAE，
∴∠DAF＝∠E，
∴AD∥BE，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BE，∠E＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BA＝AE＝16，∠BAE＝60°，
又∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝8，
∴BF＝＝＝8，
∴S△ABF＝AF×BF＝×8×8＝32，
∴ ABCD的面积＝2×S△ABF＝64．
22．（10分）【材料阅读】
把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．
例如：化简．
解：．
上述化简的过程，就是进行分母有理化．
【问题解决】
（1）化简的结果为：　2+　；
（2）猜想：若n是正整数，则进行分母有理化的结果为：　﹣　；
（3）若有理数a，b满足，求a，b的值．
【解答】解：（1）＝＝＝2+，
故答案为：2+；
（2）＝＝＝﹣，
故答案为：﹣；
（3）化简得，＝（a+b）﹣（b﹣a），
∵＝2﹣1，
∴，
得．
23．（12分）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝　24　米．
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长．
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．
【解答】解：（1）BC＝45﹣8﹣2×（8﹣1）+1＝24（米）．
故答案为：24．
（2）设CD＝x（0＜x≤15）米，则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米，
依题意得：x（48﹣3x）＝180，
整理得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝6，x2＝10．
当x＝6时，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米），30＞27，不合题意，舍去；
当x＝10时，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合题意．
答：边CD的长为10米．
（3）不能，理由如下：
设CD＝y（0＜y≤15）米，则BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米，
依题意得：y（48﹣3y）＝210，
整理得：y2﹣16y+70＝0．
∵Δ＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0，
∴该方程没有实数根，
∴饲养场的面积不能达到210平方米．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系平行四边形OABC中，点C坐标为（2，m），点A在x轴上，CA⊥OC，∠COA＝60°．动点P从点O出发，沿射线OC以每秒2个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发沿AO边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点Q到达点O时，点P也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）OC的长为 　4　，OA的长为 　8　；
（2）当t为何值时，线段PQ恰好被BC平分？
（3）如图2，若在y轴上有一点D，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 　（0，﹣3）或（0，5）　（直接写出答案）．
【解答】解：（1）过C作CE⊥OA于E，如图1，
∴∠OEC＝90°，
C（2，m），
∴OE＝2，
∠COA＝60°，
∴∠ECO＝90°﹣∠COA＝30°，
∴OC＝2OE＝4，
CA⊥OC，
∴∠ACO＝90°，
∴∠CAO＝90°﹣∠COA＝30°，
∴OA＝2OC＝8，
故答案为：4，8；
（2）∵运动时间为t（0≤t≤8），
由题意，得OP＝2t，AQ＝t，
如图，过Q作QN∥OC交BC于N，设PQ与BC交于M，如图2，
∵线段PQ被BC平分，
∴PM＝MQ，
∴平行四边形OABC，
∴CN∥OQ，
又QN∥OC，
∴四边形OCNQ是平行四边形，
∴OC＝NQ＝4，
∵QN∥OC，
∴∠NQM＝∠CPM，
在△CMP和△NMQ中，
，
∴△CMP≌△NMQ（ASA），
∴PC＝NQ＝4，
∵OC+PC＝OP，
∴4+4＝2t，t＝4，
∴当t为4秒时，线段PQ恰好被BC平分；
（3）在Rt△OCE中，∠COA＝60°，
∴CE＝OE＝，
∴C（2，），
∵AQ＝t，OA＝8，
∴QO＝8﹣t，
∴Q（8﹣t，0），
过P作PF⊥OA于F，则∠PFO＝90°，如图1，
∵∠POF＝60°，
∴∠OPF＝90°﹣∠POF＝30°，
∴OF＝OP＝t，
∴PF＝OF＝t，
∴P（t，t），
∵D在y轴上，
∴D（0，n），
当PC为平行四边形对角线时，
平行四边形DCQP中，PQ//CD，PQ＝CD，
∴8﹣t﹣t＝2﹣0，
∴t＝3，
﹣n＝0﹣t，
∴n＝+t＝5，
∴D（0，5）；
当CQ为平行四边形对角线时，
平行四边形PCDQ中，PQ∥CD，PQ＝CD，
∴t﹣（8﹣t）＝2﹣0，
∴t＝5，
﹣n＝t﹣0，
∴n＝﹣t＝﹣3，
：D（0，﹣3）；
综上，点D的坐标为（0，﹣3）或（0，5）．