辽宁省名校联盟2023-2024高二下学期期中数学模拟卷C（数列、导数）（含解析）

绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
辽宁省名校联盟2023-2024学年高二下学期期中数学模拟卷C
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】，故选B。
2．设等比数列的前项和为，若，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】数列为等比数列，前项和为，则，，…依然成等比数列，
求比值就可以设特值，设，则，∴，∴，
∴，∴，故选D。
3．设等差数列的前项和，且满足、，若对任意正整数，都有恒成立，则的值为
（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】，则，
，则，
∴为数列的最大项，∴，故选A。
4．曲线：在点处的切线与直线和直线围成的三角形的面积为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】的定义域为，，、，
∴曲线：在点处的切线方程为，即。
直线与直线的交点坐标为，
直线与直线的交点坐标为，
∴这三条直线所围成的三角形的面积等于，故选A。
5．已知数列、满足，且、是函数的两个零点，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】令，则、是的两个不相等的实数根，
由韦达定理可知，，
∴当时，，又，∴，
当时，、，两式相除可得，
∴的奇数项是首项为、公比为的等比数列，∴，
∴的偶数项是首项为、公比为的等比数列，∴，
∴，故选D。
6．设、、，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】∵，在内单调递增，∴，∴，
令，定义域为，，
当时，，∴在内单调递减，∴，
即，即，∴，
∴，故选B。
7．已知函数在内单调递增，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】的定义域为，，
∵在内单调递增，∴当时，恒成立，
即当时，，
设，定义域为，
，令，解得，
当时，，∴在内单调递减，
当时，，∴在内单调递增，
∴在处取得极小值也是最小值，∴，
∴，即实数的取值范围为，故选C。
8．已知且，则下列判断错误的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】构造函数，定义域为，，令，解得，
当时，在内单调递减，
当时，在内单调递增，
则在处取得极小值也是最小值，则，即恒成立，
构造函数，定义域为，，令，解得，
当时，在内单调递增，
当时，在内单调递减，
则在处取得极大值也是最大值，则，即当时，恒成立，
由得，即，
即，
设，定义域为，，当时，恒成立，
∴在单调递减，∴，即，即，∴，A选项对，
由得，∴，即，即，
令，则（），，
设，定义域为，，当时，恒成立，
∴在单调递增，∴，∴，B选项对，
当时，恒成立，当且仅当时取等号，
∵，∴，又，∴，∴，C选项对，
当时，，解得，且，∴，
∴，D选项错，
故选D。
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9．下列求导正确的是（ ）。
A、已知函数，则
B、已知函数，则
C、已知函数，则
D、已知函数，则
【答案】ACD
【解析】A选项，的定义域为，，对，
B选项，的定义域为，，错，
C选项，的定义域为，，对，
D选项，的定义域为，，对，
故选ACD。
10．已知函数在上可导且，其导函数满足，设函数，则下列结论正确的是（ ）。
A、在内单调递增 B、是的极小值点
C、必有个不同的零点 D、
【答案】BD
【解析】的定义域为，当，即时，，
当，即时，，
的定义域为，，当时，，∴在内单调递增，
当时，，∴在内单调递减，
A选项，错，
B选项，∵函数在上可导，∴一定是连续函数，∴也一定是连续函数，
∴在处取得极小值，∴是的极小值点，对，
C选项，∵不能确定正负值，∴的图像不能确定是否有在轴下方的部分，
∴的零点不确定，错，
D选项，在内单调递增，∴，∴，∴，对，
故选BD。
11．已知数列满足，且，，则下列说法正确的是（ ）。
A、数列为单调递减数列 B、 C、 D、
【答案】ABD
【解析】∵和可知，数列的各项均为正值，
由可得，∴，则数列为递减数列，A选项对，
由A选项的分析可知：数列为递减数列，又∵，∴，B选项对，
由两边同时取倒数可得，
则，∴，
∵数列为递减数列，由可得，
当时，，即，
当时，，即，……，
∴当时，，
不等式累加可得：，
∴，则，∴，C选项错，
则，∴，D选项错，
故选ABD。
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
12．已知等比数列的前项和（为常数），则 。
【答案】
【解析】当时，，
当时，，∴，
当时，，∴，
∵、、成等比数列，∴，解得或，
当时，是常数，不符合要求，舍去，
当时，，，公比，
∴，符合要求，可取，
综上所述，。
13．已知点在曲线：的图像上，点在直线：上，则、两点之间距离的最小值为 。
【答案】
【解析】的定义域为，，令，解得，
当时，，∴在内单调递减，
当时，，∴在内单调递增，
∴在处取得极小值也是最小值，
∴，
∴的图像如图所示，
要使得、两点之间距离最小，即直线与直线平行时，当直线与曲线：相切时，
与的距离即为、两点之间最小的距离，
令，解得，又，∴直线的方程为，即，
∴直线与直线的距离的距离，则、两点之间的最短距离是。
14．设定义在上的函数满足，则函数在定义域内为单调递 （填“增”或“减”）函数；若，，则的最小值为 。（本小题第一空2分，第二空3分）
【答案】增
【解析】已知，则，
的定义域为，，∴在为单调递增函数，
∵，∴，
又∵，∴，
可得，又∵在为增函数，∴，解得，即的最小值为。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分分）已知等差数列、公差分别为、，，。
（1）求数列、的通项公式；
（2）求中既在数列中，又在数列中的所有数之和。
【解析】（1）由得，又，解得、， 1分
由得，又，两式相减得，
又，解得、， 3分
∴数列是首项为、公差为的等差数列，∴， 4分
数列是首项为、公差为的等差数列，∴； 5分
（2）设，、，则，即， 6分
举例子：、、、、……，
∴（）时，， 7分
设是由数列、的公共项组成的数列，
则是首项为、公差为的等差数列，则， 10分
在中有、、…、，
∴的前项和为。 13分
16．（本小题满分分）设为数列的前项和，已知，。
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和。
【解析】（1）当时，，∴， 1分
当时，、，两式相减得：，
整理得， 3分
∴当时，，∴
， 5分
验证，当时，符合，当时，符合， 7分
∴当时，； 8分
（2）由（1）可知， 9分
∴， 10分
， 11分
两式相减得
， 14分
∴。 15分
17．（本小题满分分）已知函数（）。
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若对于任意的，都存在，使得，求实数的取值范围。
【解析】（1）的定义域为，， 1分
令，解得或，
当或，，∴在和内单调递减，
当，，∴在内单调递增，
∴的单调递减区间为和，单调递增区间为， 4分
∴在处取得极小值为，在处取得极大值为； 6分
（2）由及（1）知当时，，当时，， 7分
设集合、集合，
则对于任意的，都存在，使得，等价于， 9分
显然，下面分三种情况讨论：
①当，即时，由可知，而，∴不是的子集， 10分
②当，即时，，且在上单调递减，
∴，∴，
∵，∴在上的取值范围包含，即，∴， 12分
③当，即时，有且在上单调递减，
∴、，∴不是的子集， 14分
综上所述，实数的取值范围为。 15分
18．（本小题满分分）已知函数（），且函数的图像经过点
。
（1）求数列的通项公式；
（2）当为奇数时，设函数，是否存在整数和，使不等式恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由。
【解析】（1）由题意可知，即①， 1分
当时，②， 2分
①-②得， 3分
验证，当时，符合， 4分
∴当时，， 5分
（2）由（1）可知，，
当为奇数时，，
∴， 7分
∴，
，
用上式-下式得：
，
∴， 11分
令，其中为正奇数，
则，∴恒成立，∴， 14分
又、，∴， 15分
∴，∴使成立的整数的最大值为、的最小值为，
∴的最小值为。 17分
19．（本小题满分分）已知函数（）。
（1）当时，证明：；
（2）若函数有两个零点、（）且，求的取值范围。
【解析】（1）证明：当时，，定义域为，， 1分
令，解得，当时，，∴在内单调递减，
当时，，∴在内单调递减， 3分
∴在处取得极小值也是最小值，∴； 4分
（2）由题意得，则、， 5分
∴，、， 6分
∴， 7分
∵，∴，即， 9分
设，则，则， 10分
构造函数，定义域为，则， 11分
设，定义域为，则， 12分
由（1）可知在内恒成立，∴在内单调递增， 13分
∴，∴在内恒成立， 14分
∴在内单调递增，∴、，
∴，∴，
即的取值范围为。 17分
【点睛】本题的关键是通过变形用含的式子表示出，即，然后整体换元设，则得到，最后只需求出函数在上值域即可。绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
辽宁省名校联盟2023-2024学年高二下学期期中数学模拟卷C
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
2．设等比数列的前项和为，若，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
3．设等差数列的前项和，且满足、，若对任意正整数，都有恒成立，则的值
为（ ）。
A、
B、
C、
D、
4．曲线：在点处的切线与直线和直线围成的三角形的面积为（ ）。
A、
B、
C、
D、
5．已知数列、满足，且、是函数的两个零点，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
6．设、、，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
7．已知函数在内单调递增，则实数的取值范围为（ ）。
A、
B、
C、
D、
8．已知且，则下列判断错误的是（ ）。
A、
B、
C、
D、
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9．下列求导正确的是（ ）。
A、已知函数，则
B、已知函数，则
C、已知函数，则
D、已知函数，则
10．已知函数在上可导且，其导函数满足，设函数，则下列结论正确的是（ ）。
A、在内单调递增
B、是的极小值点
C、必有个不同的零点
D、
11．已知数列满足，且，，则下列说法正确的是（ ）。
A、数列为单调递减数列
B、
C、
D、
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
12．已知等比数列的前项和（为常数），则 。
13．已知点在曲线：的图像上，点在直线：上，则、两点之间距离的最小值为 。
14．设定义在上的函数满足，则函数在定义域内为单调递 （填“增”或“减”）函数；若，，则的最小值为 。（本小题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分分）已知等差数列、公差分别为、，，。
（1）求数列、的通项公式；
（2）求中既在数列中，又在数列中的所有数之和。
16．（本小题满分分）设为数列的前项和，已知，。
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和。
17．（本小题满分分）已知函数（）。
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若对于任意的，都存在，使得，求实数的取值范围。
18．（本小题满分分）已知函数（），且函数的图像经过点
。
（1）求数列的通项公式；
（2）当为奇数时，设函数，是否存在整数和，使不等式恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由。
19．（本小题满分分）已知函数（）。
（1）当时，证明：；
（2）若函数有两个零点、（）且，求的取值范围。