重庆市西南大学附属中学校2023-2024八年级下学期3月月考数学试卷(含答案)

重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若二次根式有意义，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
2．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在( )
A.区域①处 B.区域②处 C.区域③处 D.区域④处
3．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
4．下列命题中，正确的命题有 ( )个.
①有一边互为反向延长线，且相等的两个角是对顶角
②在直角三角形中，至少有一个锐角不大于
③有理数和数轴上的点一一对应
④若在平面直角坐标系中，点满足，则点在原点上
A.1 B.2 C.3 D.4
5．估计的值在( )
A.14到14.5之间 B.14.5到15之间 C.15到15.5之间 D.15.5到16之间
6．如图，在正方形中，点分别在边上，连接，若，且，则( )
A. B. C. D.
7．若，则的值为( )
A.2025 B.2024 C.2023 D.2022
8．观察并找出图形变化的规律，则第2024个图形中黑色正方形的数量是( )
A.3037 B.3036 C.3035 D.3034
9．如图，在中，的角平分线交于，则的面积为( )
A.8.2 B.7.8 C.6.4 D.5.6
10．定义“[]”是一种取整运算新符号，即表示不超过的最大整数. 例如：，，在式子中，对相邻的两个数字间任意添加一个或两个“[]”，然后得出式子运算结果，称此为“取整操作”.
例如：，
.
下列说法：
①不存在“取整操作”，使其运算结果与原式运算结果相等；
②存在“取整操作”的运算结果为整数；
③所有的“取整操作”共有6种不同运算结果；
其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题
11．若代数式是一个完全平方式，则实数______.
12．若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为______.
13．若关于x的一元一次不等式组有解且至多有6个整数解，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数m的值之和为______.
14．如图，在中，，点是线段上一点，连接，将沿直线翻折，点的对应点是，当点恰好落在的边上时，的长是______.
15．有一种把整数分类的方法，指定一个整数，把所有除以后得到的余数相等的整数分为一类. 例：当时，0，3，6，…除以3，余数为0，这是一类：1，4，7，…余数为1，这也是一类；2，5，8，…是最后一类. 定义：一个整数对称位置上的数字为同一类整数（按除以的余数分类），则称其为“的对称同余数”. 例：整数54340，是“5的对称同余数”，但不是“3的对称同余数”. 已知一个四位整数，既是“4的对称同余数”，又是完全平方数（即是某个整数的平方），则满足条件的最小的一个整数与最大的一个整数的和为______.
三、解答题
16．如图1，在边长为5的正方形中，点是线段上一动点，连接，以为边在直线右侧作正方形.
(1)如图1，若与交于点，且，求的度数；
(2)在（1）的基础上，连接，求证：、、三点共线；
(3)如图2，当点是线段中点，连接，求线段的长.
17．阅读材料：
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式. 例如：，我们称的一个有理化因式是.
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化.
例如：
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)计算：；
(2)证明：；
(3)已知，探究与的关系.
18．阅读材料：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少四十，九两多十六，试问能算者，应得多少肉？（所带的钱买16两肉还差40文，买9两肉又多出16文，问所带钱能买多少肉？）”这又是一个歌谣体的古算题，见明程大位《算法统宗》书中.
古算法解盈朒（，亏损）问题，另立专法，将两次所买肉的两数同两次盈朒的数列成下式：
，交叉相乘，两积相并（相加），得数为被除数，又盈相并，得数为除数，两数相除即得.
前题若依古法计算，列式：
，哑子应得肉两.同新法比较，简易而又别致.
——许莼舫《古算趣味》
(1)将原题改为“十两多八文，十三少十六”（所带的钱买10两肉多出8文，买13两肉还差16文），用古法解决这个问题；
(2)将原题改为“八两多廿四，九两多十六”（所带的钱买8两肉多出24文，买9两肉又多出16文），能否使用上述古算法解决？如果不能，则说明理由；如果能，算出答案，并说明其合理性；
(3)将问题一般化：所带的钱买两肉还差文，买两肉又多出文，问所带钱能买多少肉？，试用代数方法证明古法公式“能买肉两”的正确性.
19．定义运算：当时，；当时，；如：；；.
(1)若，求的取值范围；
(2)过轴上的动点，作平行于轴的直线，分别与函数的图象相交于、两点（点在点的左侧），若，求的值；
(3)若一次函数图象与函数的图象相交于、两点，，求的取值范围.
20．直角坐标平面内，有一条曲线，曲线上任意一点的坐标满足方程，平面内，还有一条直线，一个点.
(1)如图1，过曲线上任意一点，作直线的垂线段，垂足为，求证：；
(2)如图2，动直线为与曲线相交于、两点，过、两点分别作直线的垂线段，垂足分别、，作的平分线，交直线于，连接，求证：平分；
(3)如图3，是曲线上一动点，是曲线外部一点，是直线上一动点，直接写出的最小值.
参考答案
1．答案：A
解析：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故选∶A.
2．答案：B
解析：如图所示的图形是中心对称图形，
故选：B.
3．答案：C
解析：∵，
，，故A选项不正确，不符合题意；
，故B选项不正确，不符合题意；
，故C选项正确，符合题意；
，，故D选项不正确，不符合题意；
故选C.
4．答案：A
解析：①如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，故原说法错误；
②在直角三角形中，至少有一个锐角不大于，正确；
③实数和数轴上的点一一对应，故原说法错误；
④若在平面直角坐标系中，点满足，则或，故点在x轴或y轴上，故原说法错误；
故选：A.
5．答案：D
解析：
∵，
则
故选：D
6．答案：D
解析：过A作交于N，交于M，
，
∵正方形，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D.
7．答案：A
解析：∵
∴，
则
把，代入上式，得
故选：A
8．答案：B
解析：∵第一个图黑色正方形的数量为个；第三个图黑色正方形的数量为个；第五个图黑色正方形的数量为个；
∴当n为奇数时第n个图形中黑色正方形的数量为个，
∵第二个图黑色正方形的数量为个；第四个图黑色正方形的数量为个；
∴当n为偶数时第n个图形中黑色正方形的数量为个；
∴当时，黑色正方形的个数为（个），
故选B.
9．答案：C
解析：如图：分别过点E作，的面积分别记
∵的角平分线交于，
∴
∵
则，，（同高，底边比就是面积比）
∴
∴
则的面积
故选：C
10．答案：B
解析：依题意，原式：
∴存在“取整操作”，使其运算结果与原式运算结果相等；故①是错误的；
∴不存在“取整操作”的运算结果为整数；故②是错误的；
∴所有的“取整操作”共有6种不同运算结果,分别是；故③是正确的；
故选：B
11．答案：
解析：∵代数式是一个完全平方式，
∴，
∴，
故答案为：.
12．答案：10
解析：依题意，把代入
得
∴
∵
即
∴
故答案为：10
13．答案：
解析：分式方程去分母得：，
整理，得，
故
∵方程有整数解，且，
∴，，，，且，，
解得，，，
解不等式组得：，
∵不等式组至多有6个整数解，
∴，
∴，
∴或，
∴符合条件的所有整数m的和是，
故答案为：.
14．答案：1或
解析：当点在上时，
此时，
设，
∵，
∴，
解得，即；
当点在上时，过B作于H，过点D作于点G，做于点N，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵翻折，且点在上，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
设，，
∵，
∴，
化简得，
∴，
解得，，即或（不合题意，舍去）.
综上，的值为1或.
15．答案：
解析：∵一个完全平方数（即是某个整数的平方）四位整数，完全平方数（即是某个整数的平方），
∴
∵不满足“4的对称同余数”这个条件，（除以4的余数是1；4除以4的余数是0，不对称，故舍去）
∴满足“4的对称同余数”这个条件，（除以4的余数是1；9除以4的余数是0，除以4的余数；8除以4的余数是0，对称）
∴最小的四位数为1089；
同理不是4位数，故舍去；
满足“4的对称同余数”这个条件，（除以4的余数是1；9除以4的余数是0，除以4的余数；8除以4的余数是0，对称）
∴最大的四位数是9801
∴满足条件的最小的一个整数与最大的一个整数的和为
故答案为：
16．答案：(1)125°
(2)见详解
(3)
解析：（1）∵四边形、四边形是正方形
∴
则
即
∵
∴
∵
∴
则
∴；
（2）连接，如图所示：
∵四边形、四边形是正方形
∴
∴
则
∴
∴
∵
∴、、三点共线；
（3）过点F作的延长线，连接
∵四边形、四边形是正方形
∴
∵
∴
则
∴
∵正方形的边长为5
∴.
17．答案：(1)
(2)见解析
(3)
解析：（1）原式
，
（2）∵，
，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
两式相加，得，
∴.
18．答案：(1)
(2)，理由见解析
(3)见解析
解析：（1）依古法计算，列式：
哑子应得肉两.
（2）能，将所带的钱买8两肉多出24文，看作所带的钱买8两肉少文，
列式为：
（3）列式为
设肉价为每两文，他所带钱数为文，
依题意得，
解得：
∴
19．答案：(1)；
(2)或；
(3)
解析：（1）∵，
∴，
解得；
（2）当时，解得，
；
当时，时，
；
过轴上的动点，作平行于轴的直线，
，，
，
，
解得或；
（3）画出函数的图象如图，
一次函数图象与函数的图象相交于、两点，
，，
解得，，
设，，
，
，，
，
，
，
把点代入得，，
一次函数图象与函数的图象相交于、两点，
，
.
20．答案：(1)见详解
(2)见详解
(3)
解析：（1）∵曲线上任意一点的坐标满足方程，平面内，还有一条直线，一个点，
∴，
∵过曲线上任意一点，作直线的垂线段，垂足为，
∴，
∴；
（2）连接，
∵的平分线，
∴，
由（1）知，设点，
∴，
∵过曲线上一点B，作直线的垂线段，垂足为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵过、两点分别作直线的垂线段，垂足分别、，
∴，
由（1）的结论可知，同理得，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（3）连接，连接且交曲线于一点，
由（1）的结论可知，
∵曲线上任意一点的坐标满足方程，平面内，还有一条直线，一个点，
∴，
∵过曲线上任意一点，作直线的垂线段，垂足为，
∴，
∴，
∴，
当的最小值，即，
∵，，
∴，
即的最小值为.