广东省佛山市南海区九江中学2023-2024高二下学期4月月考数学试题（含解析）

九江中学2023-2024学年高二下学期4月月考
数学
一 单选题
1.下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2.在数列中，，则（ ）
A.10 B.1 C.4 D.5
3.高二某班4名同学分别从3处不同风景点中选择一处进行旅游观光，则共有多少种选择方案（ ）
A.种 B.种 C.种 D.种
4.在前项和为的等差数列中，，则（ ）
A.3 B.10 C.15 D.25
5.函数，若在是减函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6.甲 乙 丙等七人相约到电影院看电影，恰好买到了七张连号的电影票，若甲 乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）
A.240 B.192 C.96 D.48
7.已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A.9 B.16 C.21 D.25
8.若，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题
9.下列选项中正确的有（ ）
A. B.
C. D.已知，则的值为8或12
10.已知数列满足且的前项和为，则（ ）
A.是等差数列 B.为周期数列
C.成等差数列 D.成等比数列
11.下列结论正确的是（ ）
A.
B.在内，若，则
C.
D.在内，若，则
三 填空题
12.已知曲线方程为，则过点且与曲线相切的直线方程为__________.
13.若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则该展开式中项的系数为__________.（用数字作答）
14.学校餐厅每天供应1050名学生用餐，每周一有A，B两种套餐可供选择，调查表明，凡是本周一选A套餐的，下周一会有改选B套餐：而选B套餐的，下周一会有改选A套餐，用分别表示第个周一选A套餐的人数和选B套餐的人数，第一个周一选A套餐的人数为人.
（1）如果每个周一选A套餐人数总相等，则__________.
（2）若，则从第__________个周一开始，选A套餐人数首次超过选B套餐的人数.
四 解答题
15.已知数列是首项为1的等差数列，公差，设数列的前项和为，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
16.已知6件不同的产品中有2件次品，4件正品，现对这6件产品一一进行测试，直至确定出所有次品则测试终止，（以下请用数字表示结果）
（1）若恰在第2次测试时，找到第一件次品，且第4次测试时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试情况？
（2）若至多测试4次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？
17.将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒.
（1）试把方盒的容积表示为的函数；
（2）多大时，方盒的容积最大？
18.记为数列的前项和，已知，且.
（1）证明：为等差数列；
（2）求的通项公式；
（3）若，求数列的前项和
19.已知函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）当时，证明：.
参考答案
一 单选题
1.选项，故错误，选项B，故正确：
选项，故错误 这项，故错误.故选，.
2解：由，可得.故选：.
3.解：由题意知每位同学都有3种选择，可分4步完成，每步由一位间学选择，故共有种选
4解：设的通项公式为，其中是首顶，是公差，
则，
由题意，解得，又，
代入得，得，得.故选：.
5.解：定义域为，
在是减函数，在上恒成立，即在上恒成立，
令，即在上单调递减，可得
故.故选：C，
6.解：丙在正中间（4号位）；甲 乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，考虑到甲 乙的顺序
有种情况；剩下的4个位置其余4人坐有种情况：故不同的坐法的种数为.故选：B.
7.解：因为等比数列中，，则，
所以，则.故选：.
8.解：易知，构造函数，则；
令，解得，当时，，当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
又易知，所以，即.故进：.
二 多选题
9.【答案】ABD
【解】对于A，因为，所以正确；
对于，故B正确；
对于，当时，左边，右边，等式不成立，故错误；
对于，由，可得或，解得：或，经检验符合题意，正确.
10.【答案】AB
【解】由且则且，故，所认在上成立，对；综上，为奇数时为偶数时对；
为奇数为偶数不成等差数列，C错：
不成等比数列，D错.故选：AB
11.【答案】AC
解：对于A：令，即函数在上单调递减，在上单调递增，则；即，故正确；
对于B：取，定义域为R，满足，但，故B错误；
对于：令；
，即函数在上单调递增，在上单调递减，则，故正确：
对于：取，定义域为，满足，但，故错误.
三 填空题
12.【答案】【解】因为，
又点在曲线上，所以所求切线的斜率，
故所求切线的方程为，即.故答案为：.
13.【答案】-15【解】的展开式中第3项 第9项的二项式系数分别为，根据题意，得，则，从而，
由通项公式知，所以，故所求项的系数为.故答案为：-15.
14.【答案】（1）630：（2）3.解：由题设得及，整理得，
，（1），解得；
（2）由，可得，又，
数列是首项为-280，公比为的等比数列，
，即，
由，可得，整理得，即，
解得的最小值为3，故答案为：（1）630；（2）3.
四 解答题
15.【解】（1）由题意可得，即，
又，故，即或，又，故，即；
（2），故.
16.【解】（1）需测试4次，按顺序可看作为4个位显，两件次品置于第二，四位，有放法数；
其余二个位置放二个正品，有放法数，由乘法原理方法数为：种不同的测试情况；
（2）至多4次可分为恰好2次，恰好3次，恰好4次找到所有次品，
恰好2次，即前2次测试都是次品，方法数为；
恰好3次；即第3次是次品，前2次中有1次是次品，方法数为；
垥好4次，即第4次是次品，前3次中有1次是次品，方法数为；
也可以是前四次全是正品.方法数为.故共有种不同的测试情况
17.【1】由题意知：无盖方盒的棱长分别为：，所以方盒的容积；
【2】，解得：，
当时函数递减，当时函数递增，所以当时，盒的容积最大.
18.解：（1）证明：，
数列是首项为1，公差为的等差数列；
（2）数列是首项为1，公差为的等差数列，
，即，
两式作差得，，即，
，
，满足上式，；
（3），
①，
②，
①-②得，，
.
19.解：解：（1）出恒成立，行恒成立，
令，则，
所以在时，单调递减，在上，单调递增，
所以的最小值为，所以，即，故的取值范围是；
（2）由（1）知时，有，所以，
要证，可证，只需证，先证，
构造函数，则，
由得，由得，所以在上单减，在上单增，所以，故，当且仅当时取等号，
从面当时，，故当时；.