湖南省常德市津市市第一中学2023-2024高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

湖南省常德市津市一中2023-2024下学期高一年级数学4月份月考试题
考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 复数的虚部是（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用复数的代数形可求得复数的虚部.
【详解】复数的虚部为.
故选：B.
2. 判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合向量的概念，相等向量的概念，以及共线向量的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】对于①中，向量与平行，若向量时，因为零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，所以①不正确；
对于②中，两个有共同起点而且相等的向量，根据相等向量的概念，可得终点必相同，所以②正确；
对于③中，根据零向量的定义，零向量是没有方向是任意的，所以③不正确；
对于④中，根据向量的概念，可得的向量不是有向线段，仅是向量可以用有向线段表示，所以④不正确.
故选：B.
3. 设，向量，，，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量平行和垂直满足的坐标关系，即可求解的值，进而结合逻辑关系的判断即可求解.
【详解】当时，由，可得，解得，
当时，由，可得，解得，
因此“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
4. 定义.若向量 ，向量为单位向量，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，先求得，再由平面向量数量积的公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，，设，
则，
又，则，所以.
故选：B
5. 已知正方形的边长为，点满足，则（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系并写出各点坐标，根据题意求相应向量的坐标，再根据数量积的坐标运算进行求解即可.
【详解】建立坐标系如图，正方形的边长为2，
则，，，可得，
点满足，所以．
故选：C.
6. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】计算得出，求出的取值范围，由此可求得的取值范围，从而可得最小值.
【详解】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、、均为边长为的等边三角形，
当点位于正六边形的顶点时，取最大值，
当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即，
所以，.
所以，.
的最小值为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
7. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，在与中，由余弦定理求出，根据求出，进而求得的面积.
【详解】设，在中，，
在中，，
所以，解得，
因为，所以，
所以的面积为.
故选：C
8. 已知中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，由题可得、、三点共线，进而可得的最小值为到边上的高，根据几何关系求出，将化成，通过几何关系求出的最小值即可.
详解】设，故，若，
由，则，，共线，故，
由图得，当时有最小值，又，
∴，即，即为等边三角形．
由余弦定理，，
设M为BC中点，，
∴当取最小值时，有最小值，
∵为边上任意一点，
∴当时，有最小值，
设，过点作于点，则，
又，为的中位线，
∴，即，
∴．
故选：B.
【点睛】关键点点睛：、构造等边三角形且，，共线，设M为BC中点，由，（先求出），数形结合判断最小与相关线段位置关系.
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）
9. （多选）判断下列命题是正确的是（ ）
A. 若不共线，且，则
B. 若，则的充要条件是.
C. 平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变
D. 当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用平面向量基本定理判断A；举例说明判断B；利用平面向量平移的意义判断C；利用向量的坐标运算判断D作答.
【详解】对于A，不共线，且，由平面向量基本定理知，A正确；
对于B，取，显然，而无意义，B错误；
对于C，由于平面向量不论经过怎样的平移变换，所得向量与原向量相等，因此它们的坐标不变，C正确；
对于D，当向量的起点在坐标原点时，由向量的坐标表示知，向量的坐标就是向量终点的坐标，D正确.
故选：ACD
10. 在中，，若满足条件的三角形有两个，则边的取值可能是（ ）
A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8
【答案】BC
【解析】
【分析】根据即可求解.
【详解】根据题意可得：满足条件的有两个，可得，
故选:BC
11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论错误的是（ ）
A.
B. 若，则内切圆的半径为2
C. 若，则
D. 若P为内一点满足，则与的面积相等
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，由正弦定理和勾股定理判断；
对于B，利用等面积法求解；
对于C，判断；
对于D，利用找到点与线段间位置，然后利用线段比求解面积比.
【详解】对于A， 根据正弦定理得，，所以,则 ，所以A正确，
对于B，当时，，由选项A可知为直角三角形，设内切圆半径为，则，所以，解得，所以内切圆半径为1，所以B错误；
对于C，当时，，可知为直角三角形，所以C错误；
对于D，即(如图，D为AC中点)，由此可得P
为BD中点，,,由此知与的面积不相等，故D错；
故选：BCD
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则的形状是________.
【答案】直角三角形
【解析】
【分析】利用余弦定理将角化边，即可得到，从而得解.
【详解】在中，，
，
，
，，则，
所以为直角三角形.
故答案为：直角三角形
13. 已知，，且，则在上的投影向量为______
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算，结合向量的投影计算即可得出结果.
【详解】设，由可知①，
而，
所以
由可得②，
由①②可得，解得，则，
所以或者，
又，则向量在上的投影向量是.
故答案为：.
14. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则三角形的面积，这个公式最早出现在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中，故称该公式为海伦公式．将海伦公式推广到凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧）中，即“设凸四边形的四条边长分别为，，，，，凸四边形的一对对角和的一半为，则凸四边形的面积”．如图，在凸四边形中，若，，，，则凸四边形面积的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知，将边长代入后可将面积转化为的最值问题
【详解】因为，且，，，，
所以,
∴
当=0即当的时候，S取到最大值
故答案为:
四、解答题（共5小题，共77分）
15. △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，，求c．
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理进行求解；（2）先利用同角三角函数关系得到，再使用正弦定理求解
【小问1详解】
变形为：，
所以，
因为，所以，
【小问2详解】
因为，且，
所以
由正弦定理得：，即，
解得：
16. 已知中，，，，（）．
（1）求的取值范围；
（2）若线段上一点满足，求的最小值．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据题意，两边平方可得关于的二次函数，进而求出的取值范围；
（2）根据、、三点共线，可得，利用基本不等式可求的最小值．
【小问1详解】
根据题意，
，
所以取值范围为；
【小问2详解】
由题可得：，
因为、、三点共线，所以故，
所以当且仅当时等号成立，
所以最小值为2．
17. 中，.
（1）求A；
（2）若的内切圆半径，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件、三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，再结合解三角方程即可求解.
（2）由题意可知，利用三角形的等面积法及余弦
定理得出含有和关系式，再利用基本不等式的变形即可求得的最小值.
【小问1详解】
在中,，
整理得，即
，于是
所以，
因为，所以，即
，
所以，又因为，所以，
所以，解得.
所以.
【小问2详解】
令，（1）知.
由，得
，即，
由余弦定理及（1）知，得
，
所以，
即，
于是
当且仅当时取等号
所以，
或
又的内切圆半径，， ，
，的最小值为.
18. 在锐角三角形ABC中，已知，＝．
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理可求得；
（2）利用正弦定理可得：，表示出三角形面积.由△ABC为锐角三角形，判断出，利用三角函数即可求出即△ABC面积的取值范围.
【详解】（1）对于，利用正弦定理可得＝，
可化为，所以,
又，∴
（2）由正弦定理，即可得：，
所以
因为△ABC为锐角三角形，，所以,解得：，
所以，所以，所以，所以.
即△ABC面积的取值范围为.
【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：
(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；
(2)从式子结构来选择；
(3)解三角形中求角的大小的易错点：对角的范围的判断．
19. 如图，已知是边长为1的正的外心，为边上的等分点，为边上的等分点，为边上的等分点．
（1）当时，求的值；
（2）当时．
①求的值（用含，的式子表示）；
②若，分别求集合中最大元素与最小元素的值．
【答案】（1）；
（2）①；②最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】（1）根据共线，将用表示，求和后再求模长；
（2）（i）根据数量积定义计算；
（ii）将用表示，依次视为的函数讨论单调求最值.
【小问1详解】
当时，，，……，，
又为等边三角形，且边长为，为外接圆的圆心，
，且，
，
则，
；
【小问2详解】
①为等边三角形，为外接圆的圆心，，
则，，
又，分别为的等分点，又，
；
②，
；
同理可得：；；
；
令
1）当时，时，
，
，时取最大值，
则；
时，，
，时取最小值，则，
则当时，；
2）当时，
时，，
，时取最大值，则；
时，，
，时取最小值，则，
则当时，；
综上所述：的最大值为，最小值为．
【点睛】关键点点睛：求的最值利用函数的单调性求最值，先整理为的形式，视为关于的一次函数， 讨论的正负确定单调性，确定在或时取得最值，类似的，下一步再视为关于的一次函数求最值，最后再视为关于的一次函数求最值.湖南省常德市津市一中2023-2024下学期高一年级数学4月份月考试题
考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 复数的虚部是（ ）
A. 5 B. C. D.
2. 判断下列各命题真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
3. 设，向量，，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 定义.若向量 ，向量为单位向量，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知正方形边长为，点满足，则（ ）
A 4 B. 5 C. 6 D. 8
6. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）
9. （多选）判断下列命题是正确的是（ ）
A. 若不共线，且，则
B. 若，则的充要条件是.
C. 平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变
D. 当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标
10. 在中，，若满足条件的三角形有两个，则边的取值可能是（ ）
A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8
11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论错误的是（ ）
A.
B. 若，则内切圆的半径为2
C. 若，则
D. 若P为内一点满足，则与面积相等
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则的形状是________.
13. 已知，，且，则在上的投影向量为______
14. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则三角形的面积，这个公式最早出现在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中，故称该公式为海伦公式．将海伦公式推广到凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧）中，即“设凸四边形的四条边长分别为，，，，，凸四边形的一对对角和的一半为，则凸四边形的面积”．如图，在凸四边形中，若，，，，则凸四边形面积的最大值为________．
四、解答题（共5小题，共77分）
15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，，求c．
16. 已知中，，，，（）．
（1）求取值范围；
（2）若线段上一点满足，求的最小值．
17. 在中，.
（1）求A；
（2）若的内切圆半径，求的最小值.
18. 在锐角三角形ABC中，已知，＝．
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC面积的取值范围．
19. 如图，已知是边长为1的正的外心，为边上的等分点，为边上的等分点，为边上的等分点．
（1）当时，求的值；
（2）当时．
①求的值（用含，的式子表示）；
②若，分别求集合中最大元素与最小元素的值．