2024年广西贺州市钟山县志远中学中考数学一模试卷（含答案）

2024年广西贺州市钟山县志远中学中考数学一模试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）实数﹣3的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
2．（3分）以下四个图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）在下列计算中，正确的是（　　）
A．a3 a3＝3a6 B．（﹣3a2）3＝﹣27a6
C．a3+a4＝a7 D．a6÷a2＝a3
4．（3分）关于x的不等式（a﹣b）x＞b﹣a的解集为x＜﹣1，则a与b的大小关系为（　　）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定
5．（3分）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝3x B．y＝2x2 C．y＝ D．y＝
6．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5
7．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）有6片形状大小完全一样的正方形，其中每个上面标有数字1，2，2，3，4，6，从中随机抽一张，抽出标有的数字是偶数的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标（0，1），点B的坐标（2，2），将线段AB平移，使得点A到达点C（4，﹣1），点B到达点D，那么点D的坐标是（　　）
A．（6，4） B．（6，0） C．（﹣2，0） D．（﹣2，﹣1）
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交BC于点D，连结AD．若CD＝1，BD＝2，则AC的长为（　　）
A． B． C． D．
11．（3分）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，半径OA交小圆于点D，若OD＝3，tan∠OAB＝，则劣弧AB的长是（　　）
A．2π B．3π C．4π D．6π
12．（3分）一物体从4m高的地方匀速降到地面，若物体每分钟下降0.4m，则物体与地面的距离y（单位：m）与下降时间t（单位：min）之间的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）“任意买一张电影票，座位号是2的倍数”，此事件是 　 　事件．（填“确定”或“不确定”）
14．（2分）分解因式：16﹣8（a﹣b）+（a﹣b）2＝　 　．
15．（2分）如图，在 ABCD中，∠A＝68°，DB＝DC，CE⊥BD于E，则∠BCE的度数为 　 　．
16．（2分）一把直尺和一块含30°角的直角三角板ABC如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且∠CED＝35°，那么∠BAF的大小为 　 　度．
17．（2分）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小唯同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的高度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得∠CAB＝59°，∠DAB＝62°，A点与大楼底部B点的距离AB＝25m，则避雷针CD的高度约为 　 　m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66，sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）
18．（2分）如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，则△ACD的面积为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算：
（﹣1）2021×|﹣3|﹣（﹣2）3+4÷（﹣）2．
20．（6分）解方程：．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A的平分线交BC于点D．
（1）作AD的垂直平分线，分别交AB，AC，AD于点E，F，G．连接DE，DF．要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
（2）求证：AF＝DE．（完成以下证明过程）
证明：∵EF⊥AD，AG＝DG，
∴∠AGE＝∠AGF＝90°，AE＝　 　．
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAG＝　 　．
在△AEG和△AFG中，
∵　 　，
　 　，
∠AGE＝∠AGF，
∴△AEG≌△AFG（ASA）．
∴　 　．
∴AF＝DE．
22．（10分）某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：
a．成绩频数分布表：
成绩x（分） 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
频数 7 9 12 16 6
b．成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：
70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，成绩的中位数是 　 　分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 　 　；
（2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
23．（10分）如图，由12块一样大小的长方形木板拼成一个矩形图案，且宽度为40厘米．求这种长方形木块的长和宽．
24．（10分）阅读与思考
下面是小王的数学改错本上的改错总结反思请仔细阅读，并完成相应的任务．
截长补短法有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系．这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段长度与已知线段长度相等，然后证明其中的另一条线段与已知的另一条线段的数量关系．所谓“补短”，就是将一条已知的较短的线段延长至与另一条已知的较短的线段长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的数量关系．有的是采取截长补短法后，使之构成某种特定的三角形进行求解…．
如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．BC是⊙O的直径，AB＝AC．请说明线段AD，BD，CD之间的数量关系．下面是该问题的部分解答过程：解：AD+CD＝BD．理由如下：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°．如图2，过点A作AM⊥AD交BD于点M，…．
任务：
（1）补全解答过程；
（2）如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的数量关系式是 　 　．
25．（10分）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得OA距离为6m，若以点O为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面1m的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，小静恰在点C（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线C2：的一部分．
（1）抛物线C1的最高点坐标为 　 　；
（2）求a，c的值；
（3）小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为 　 　．
26．（10分）【问题提出】：
某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：正方形ABCD的两条对角线相交于点O，正方形EFGH与正方形ABCD的边长相等，当正方形EFGH的顶点H在线段AC（不与A，C重合）上绕点H旋转的过程中，边EH交边AB于点M，边GH交边BC于点N．探究线段HM，HN之间的数量关系．
【操作发现】：
（1）如图①，当点H与点O重合时，线段HM，HN之间的数量关系为 　 　；
【类比探究】：
（2）如图②，当点H位于OA的中点时，在旋转过程中，
①试判断线段HM，HN之间的数量关系，并证明；
②若AB＝2，，求AM的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1． 解：﹣3的相反数是3，
故选：C．
2． 解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
3． 解：A、a3 a3＝a6，本选项不正确，故不符合题意；
B、（﹣3a2）3＝﹣27a6，本选项正确，故符合题意；
C、a3与a4不属于同类项，不能合并，本选项不正确，故不符合题意；
D、a6÷a2＝a4，本选项不正确，故不符合题意，
故选：B．
4． 解：∵不等式（a﹣b）x＞b﹣a的解集是x＜﹣1，
∴a﹣b＜0，
∴a＜b，
则a与b的大小关系是a＜b．
故选：C．
5． 解：A、y＝3x是一次函数，故此选项不符合题意；
B、y＝2x2是二次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故此选项符合题意．
D、y＝不符合反比例函数的定义，故此选项不符合题意；
故选：C．
6． 解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，1+1＝2，不能组成三角形；
B中，1+2＝3＜4，不能够组成三角形；
C中，2+3＝5＞4，能组成三角形；
D中，2+3＝5，不能组成三角形．
故选：C．
7． 解：A、＝3，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、＝，与不是同类二次根式，不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不符合题意；
D、＝，与是同类二次根式，符合题意；
故选：D．
8． 解：∵共6个数，有4个偶数，
∴从中随机抽一张，抽出标有的数字是偶数的概率为＝，
故选：D．
9． 解：由点A的坐标（0，1）平移到达点C（4，﹣1），其横坐标增加4，纵坐标减少2，
所以点B的坐标（2，2）平移后，其横坐标也增加4，纵坐标也减少2，即D（6，0），
故选：B．
10． 解：∵线段AB的垂直平分线交BC于点D，BD＝2，
∴AD＝BD＝2，
在Rt△ACD中，AC＝＝＝，
故选：B．
11． 解：连接OC、OB，
∵大圆的弦AB切小圆于点C，
∴OC⊥AB，
∵OD＝3，
∴OC＝3，
∵tan∠OAB＝，
∴∠A＝∠B＝30°，OA＝2OC＝6，
∴∠AOB＝120°，
∴劣弧AB的长是：＝4π．
故选：C．
12． 解：由题意得：y＝4﹣0.4t，
当y＝0时，4﹣0.4t＝0，t＝10．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13． 解：“任意买一张电影票，座位号是2的倍数”，此事件是随机事件，是不确定事件，
故答案为：不确定．
14． 解：16﹣8（a﹣b）+（a﹣b）2
＝[4﹣（a﹣b）]2
＝（4﹣a+b）2．
故答案为：（4﹣a+b）2．
15． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝68°，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠BCD＝68°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣68°＝22°．
故答案为：22°．
16． 解：由三角形的外角性质得：∠FDE＝∠C+∠CED＝90°+35°＝125°，
∵DE∥AF，
∴∠BFA＝∠FDE＝125°．
故答案为：125．
17． 解：在Rt△ABD中，tan∠DAB＝＝tan62°≈1.88，
∴BD≈1.88AB＝1.88×25＝47（m），
在Rt△CAB中，tan∠CAB＝＝tan59°≈1.66，
∴BC≈1.66AB＝1.66×25＝41.5（m），
∴CD＝BD﹣BC≈47﹣41.5＝5.5（m）．
即避雷针CD的高度约为5.5m，
故答案为：5.5．
18． 解：设OB＝a，⊙A的半径为r，
则AB＝AC＝r，BC＝2r，
∵⊙A与x轴相切于点B，
∴BC⊥x轴，
∴点C的坐标为（a，2r），
∵点C在函数（x＞0）的图象上，
∴a×2r＝6，
∴ar＝3，
∴S△ACD＝AC OB＝ar＝．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19． 解：（﹣1）2021×|﹣3|﹣（﹣2）3+4÷（﹣）2
＝﹣1×3﹣（﹣8）+4÷
＝﹣3+8+4×
＝﹣3+8+9
＝14．
20． 解：原方程去分母得：2x+4（x﹣1）＝3，
去括号得：2x+4x﹣4＝3，
移项，合并同类项得：6x＝7，
系数化为1得：x＝，
检验：将x＝代入2（x﹣1）得2×＝≠0，
故原分式方程的解为x＝．
21． 解：（1）如图所示：
直线EF为所求作的垂直平分线；
（2）证明：∵EF⊥AD，AG＝DG，
∴∠AGE＝∠AGF＝90°，AE＝DE．
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAG＝∠FAG．
在△AEG和△AFG中，
∵∠EAG＝∠FAG，
AG＝AG，
∠AGE＝∠AGF，
∴△AEG≌△AFG（ASA）．
∴AE＝AF．
∴AF＝DE．
故答案为：DE，∠FAG，∠EAG＝∠FAG，AG＝AG，AE＝AF．
22． 解：（1）这次测试成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据的平均数为 ＝78.5（分），
所以这组数据的中位数是78.5分，
成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ×100%＝44%，
故答案为：78.5；44%；
（2）不正确，
因为甲的成绩77分低于中位数78.5分，
所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩．
23． 解：设这种长方形木块的长为x厘米，宽为y厘米，
由题意得：，
解得：，
答：这种长方形木块的长为30厘米，宽为10厘米．
24． 解：（1）
AD+CD＝BD，
理由是：作MA⊥AD，AM交BD于M，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠MAD＝90°，
∴∠BAM＝∠DAC＝90°﹣∠MAC，
∵∠ABM和∠ACD都是对的圆周角，
∴∠ABM＝∠ACD，
在△ABM和△ACD中
，
∴△ABM≌△ACD（ASA），
∴AM＝AD，BM＝CD，
∴△MAD是等腰直角三角形，
∴MD＝AD，
∴BD＝BM+DM＝CD+AD，
即AD+CD＝BD；
（2）
理由是：
作MA⊥AD，AM交BD于M，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠MAD＝90°，
∴∠BAM＝∠DAC＝90°﹣∠MAC，
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，
∴BC＝2AC，AB＝AC，
∵∠ABM和∠ACD都是对的圆周角，
∴∠ABM＝∠ACD，
∵∠BAM＝∠DAC，
∴△ABM∽△ACD，
∴＝＝＝＝，
即AM＝AD，BM＝CD，
在Rt△MAD中，由勾股定理得：DM＝＝＝2AD，
∴BD＝BM+DM＝CD+2AD，
即2AD+CD＝BD，
故答案为：2AD+CD＝BD．
25． 解：（1）由题意，∵抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2，
∴抛物线 C1 的最高点坐标为的（3，2）．
故答案为：（3，2）．
（2）由题得，B（6，1）．
将B（6，1）代入抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2，
∴．
∴抛物线C1：y＝﹣（x﹣3）2+2．
∴当x＝0时，y＝c＝1．
（3）∵小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，
∴此时，点B的坐标范围是（5，1）～（7，1），
当经过（5，1）时，1＝﹣×25+×5+1+1，
解得：n＝．
当经过（7，1）时，1＝﹣×49+×7+1+1，
解得：n＝，
∴≤n≤，
∵n为整数，
∴符合条件的n的整数值为4和5．
故答案为：4或5．
26． 解：（1）当点H与点O重合时，线段HM，HN之间的数量关系为：HM＝HN，理由如下：
∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，
∴OA＝OB＝OC，∠OAM＝∠OBN＝∠OCB＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠BOM+∠AOM＝90°，
∵四边形EFGH是正方形，点H与点O重合，
∴∠EOG＝90°，
∴∠BOM+∠BON＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
在△AOM和△BON中，
，
∴△AOM≌△BON（ASA），
∴OM＝ON，
即HM＝HN，
故答案为：HM＝HN；
（2）①HN＝3HM，证明如下：
如图②，过点H作HP⊥AC交AB于点P，
则∠CHP＝∠AHP＝90°，
∵∠OAM＝45°，
∴△AHP是等腰直角三角形，
∴PH＝AH，∠MPH＝45°，
∵点H为OA的中点，OA＝OC，
∴AH＝CH，
∴PH＝CH，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠EHG＝90°，
∴∠MHP+∠PHN＝90°，
∵∠NHC+∠PHN＝90°，
∴∠MHP＝∠NHC，
∵∠MPH＝∠NCH＝45°，
∴△MPH∽△NCH，
∴＝＝，
即HN＝3HM；
②由①得：△MPH∽△NCH，
∴＝＝，
∴PM＝CN＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝AC＝2，
∴AC＝AB＝2，
∵AH＝CH，
∴AH＝AC＝×2＝，
∵△AHP是等腰直角三角形，
∴AP＝AH＝×＝1，
∴AM＝AP﹣PM＝1﹣．
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