江西省南昌一中教育集团2023-2024第二学期期中阶段性学习质量检测初二数学试卷(含答案)

2023-2024学年第二学期期中阶段性学习质量检测
初二数学试卷
说明：1.本卷共有六个大题，23 个小题，全卷满分 120 分，考试时间 100 分钟。
2.本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，写在试卷上的答案无效。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列各式中，不是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
3．以直角三角形的三边为边做正方形，三个正方形的面积如图所示，正方形A的面积为（　　）
A．6 B．36 C．64 D．8
（第3小题） （第6小题）
4．△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③a：b：c＝3：4：5． 其中能判断△ABC是直角三角形的条件个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）
A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF
6．6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（　　）
A．2 B． C． D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
7．要使式子有意义，则x的取值范围是 　 　．
8．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为 　 　．
（第8小题） （第10小题）
9．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈＝10尺），如果设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程：　 　．
10．如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC＝8，BD＝14，AB＝x，那么x的取值范围是　 　．
11．如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝　 　cm．
（第11小题） （第12小题）
12．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，连接AC，若点P在图中任意线段上，当AP＝CP，则BP的长为 　 　．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．计算：
（1）；
（2）如图，在BFDE中，A、C分别在DE、BF的延长线上，且AE＝CF．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
14．已知，，．求值：
（1）m2+n2；
（2）．
15．如图，正方形网格中小方格边长为1，A，B，C都是小正方形的顶点，请你根据所学的知识解决下面问题．
（1）求△ABC的周长；
（2）判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由．
16．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE是2.2米．一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C距离是2.4米．如果保持梯子底端B位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E距离是2米．求此时梯子底端B到右墙角点E的距离是多少米．
17．如图，在ABCD中，点E在AD上，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图1中，过点E作直线EF将 ABCD分成两个全等的图形；
（2）在图2中，DE＝DC，请你作出∠BAD的平分线AM．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
19．正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F．
（1）说明OE＝OF的道理；
（2）在（1）中，若E为AC延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“OE＝OF”还成立吗？请说明理由．
20．请你认真阅读思考下面的材料，完成相关问题．
【数学模型】
如图①，A，B是直线l同旁的两个定点，在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则点P即为所求．此时，PA+PB的值最小，且PA+PB＝【模型应用】
（1）如图②，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为AC＝300米，BD＝900米，且CD＝900米．在l上确定一点P，则PA+PB的最短路径长为 　 　米；
（2）如图③，在正方形ABCD中，AB＝9，点E在边CD上，且DE＝2CE，点P是对角线AC上一个动点，求PE+PD的最小值；
（3）如图④，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，4），B（4，2）．
请在x轴上确定一点P，使PA+PB的值最小，并求出PA+PB的最小值．
五、解答题（本大题共2题，每题9分，共18分）
21．【阅读理解】
爱思考的小名在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的：
∵a＝＝＝2﹣，a﹣2＝﹣．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： 　 　；
（2）计算：+++ +＝　 　；
（3）若a＝，求3a2﹣12a﹣1的值．
22．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．
（1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝3，BC＝6，求BD的长；
（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，且四边形BCEF是准矩形，求证：CF⊥BE；
（3）如图3，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，AB＝2，AC＝DC，求这个准矩形的面积．
六、解答题（本大题满分12分)
23．（1）【探究发现】如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形；
（2）【类比应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩
形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若AB＝3，
BC＝4，求四边形ABFE的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若，BC＝4，∠C＝45°，求EF的长．
图1
图2
图3
初二数学试卷 第 1 页 共 7 页2023-2024学年第二学期期中阶段性学习质量检测
初二数学参考答案及评分意见
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1.B . 2.C . 3.A . 4.D . 5 .B. 6. D .
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. x≥2024. 8. 　﹣1　． 9. x2+（x+6）2＝100
10.3＜x＜11　． 11. 　3　. 12. 　3或或　．
三．解答题（共11小题）
13．（1）解：原式＝3﹣2+ ……………………………2分
＝2； ………………………………3分
（2）证明：∵四边形BFDE是平行四边形，
∴DE∥BF，DE＝BF，…………………………………1分
∵AE＝CF，
∴AE+DE＝CF+BF，
即AD＝BC， …………………………2分
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．…………………………3分
解：（1）∵m＝+1，n＝﹣1，
∴m2+n2＝（+1）2+（﹣1）2…………………………………1分
＝5+2+1+5﹣2+1 …………………………………2分
＝12； …………………………………3分
（2）∵m＝+1，n＝﹣1，
∴mn＝（+1）×（﹣1）＝5﹣1＝4，……………………………4分
∴+＝ …………………………………5分
＝
＝3． …………………………………6分
解：（1）AB＝＝，AC＝8，BC＝＝3，
∴△ABC的周长＝+8+3； ………………6分
（2）△ABC不是直角三角形， ………………4分
理由：∵小方格边长为1，
∴AB2＝22+32＝13，AC2＝82＝64，BC2＝62+32＝45，
∴AB2+BC2≠AC2， ………………5分
∴△ABC不是直角三角形． ………………6分
16．解：设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为（2.2﹣x）米，
由题意可知，AC＝2.4米，DE＝2米，AB＝DB，…………………………………1分
在Rt△ABC和Rt△DBE中，由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2，DB2＝BE2+DE2，
∴BC2+AC2＝BE2+DE2， …………………………………3分
即（2.2﹣x）2+2.42＝x2+4，
解得：x＝1.5， …………………………………5分
答：此时梯子底端B到右墙角点E的距离是1.5米．……………………………6分
17．解：
…………………………………2分
（1）如图1，直线EF即为所求； …………………………………3分
…………………………………5分
（2）如图2，射线AM即为所求． …………………………………6分
18．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠DAE＝∠AEB． …………………………………1分
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B．
∴∠B＝∠DAE． …………………………………2分
∵在△ABC和△AED中，，
∴△ABC≌△EAD．（SAS） …………………………………4分
（2）解：∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE；
又∵∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B．
∴△ABE为等边三角形．………………………6分
∴∠BAE＝60°．
∵∠EAC＝25°，
∴∠BAC＝85°．
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC＝85°．………………………8分
19．（1）证明：在正方形ABCD中，
∴AO＝BO，∠AOF＝∠BOE＝90°，
∴∠OBE+∠BEO＝90°，
∵AG⊥EB，
∴∠AGE＝90°，
∴∠GAE+∠AEG＝90°，
∴∠OBE＝∠OAF， …………………………………2分
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE＝OF； …………………………………4分
（2）解：OE＝OF仍然成立． …………………………………5分
理由如下：
在正方形ABCD中，AO＝BO，∠AOF＝∠BOE＝90°，
∴∠FAO+∠F＝90°，
∵AG⊥EB，
∴∠AGE＝90°，
∴∠GAE+∠E＝90°，
∴∠E＝∠F， …………………………………6分
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF≌△BOE（AAS），
∴OE＝OF．
所以结论仍然成立． …………………………………8分
解：（1）故答案为：1500；……………………………2分
延长AC至A′，连接BA′交CD于点P，
则点P即为所求的“将军饮马”的位置，
作A′E⊥BD交BD的延长线于点E，
则四边形CA′ED为矩形，
∴DE＝A′C＝AC＝300米，A′E＝CD＝900米，
∴BE＝BD+DE＝1200米，
由勾股定理得，A′B＝＝＝1500（米），
则PA+PB＝A′B＝1500米，
故答案为：1500；
（2）如图3，连接BE，设BE与AC交于点P′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于AC对称，
∴P′D＝P′B，
∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．
∵四边形ABCD是正方形，AB＝9，DE＝2CE，
∴BC＝CD＝9，CE＝CD＝3，
在直角△CBE中，∠BCE＝90°，BC＝9，CE＝3，
∴BE＝＝3．
∴PD+PE最小值为3； ……………………………5分
（3）作点B关于x轴的对称点B'，连接AB′交x轴于点P，则点P即为所求．此时，PA+PB的值最小，
∵点B（4，2）．
∴B′（4，﹣2），
∵点A（﹣2，4），点B（4，2），点B′（4，﹣2），
∴PA+PB的最小值＝AB′＝+＝4＝6．……………8分
21．解：（1）＝＝﹣1．
故答案为：﹣1； …………………………………2分
（2）原式＝（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
＝﹣1
＝2﹣1； …………………………………5分
（3）∵a＝＝+2， …………………………………6分
∴a﹣2＝．∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．
∴a2﹣4a＝1． …………………………………8分
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×1+1＝3． ………………………………9分
22．（1）解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝6，
∴，
∵四边形ABCD是准矩形，
∴．
故答案为：； ……………………………2分
（2）证明：∵四边形BCEF是准矩形，
∴BE＝CF， …………………………………3分
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠EBF+∠EBC＝90°，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL）， …………………………………4分
∴∠EBF＝∠BCF，
∴∠EBC+∠BCF＝90°，
∴BE⊥CF； …………………………………5分
（3）解：作DF⊥BC，垂足为F，
在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，
∴AB＝BC＝2， …………………………………6分
∴，
∵准矩形ABCD中，AC＝BD，AC＝DC，
∴BD＝CD，
∴，
∴， ………………………………7分
∴S准矩形ABCD＝S△DCB+S△ABD
＝，
＝，
＝． …………………………………9分
23.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴∠AOE＝∠COF＝90°，AO＝OC，
∴△EAO≌△FCO（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形； …………………………3分
（2）解：过点F作FH⊥AD于H，
由折叠可知：AF＝CF，∠AFE＝∠EFC，
在Rt△ABF中，AF2＝BF2+AB2，即（4﹣BF）2＝BF2+9，
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE，
∴，
∵∠B＝∠BAD＝∠AHF＝90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴AB＝FH＝3，，
∴，
∴，
∴四边形ABFE的周长＝； ……………7分
（3）解：过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝45°，
∴∠ABC＝135°，
∴∠ABN＝45°，
∵AN⊥BC，
∴∠ABN＝∠BAN＝45°，
∴，
由折叠的性质可知：AF＝CF，∠AFE＝∠EFC，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵AF2＝AN2+NF2，
∴AF2＝4+（6﹣AF）2，
∴，
∴，
∵AN∥MF，AD∥BC，
∴四边形ANFM是平行四边形，
∵AN⊥BC，
∴四边形ANFM是矩形，
∴AN＝MF＝2，
在Rt△AMF中，，
∴，
在Rt△MFE中，．…………………………12分
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