2024年中考第三次模拟考试数学试题（安徽卷）（原卷版+解析版+考试版A3+参考答案及评分标准）

2024年中考第三次模拟考试（安徽卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在、、0、这四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
2．如图为某几何体的三种视图，这个几何体可以是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若实数x，y，m满足，，则代数式的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，正六边形内接于，连接，则（ ）
A． B． C． D．
7．新考法与新定义结合，如果一个自然数正着读和倒着读都一样，如121，32123等，则称该数为“回文数”．从1，1，2，2这四个数字中随机选取三个数字组成一个三位数，恰好是“回文数”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，正方形边长为4，点分别在边上，且满足交于点，分别是的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
11．因式分解： ．
12．据中国青年报报道：“中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》为海内外受众奉上了一道除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142 亿人次，较去年增长29%, …．”将数据142亿用科学记数法表示为： ．
13．如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图2，根据割圆八线图，在扇形中，，和都是的切线，点和点是切点，交于点，交于点，．若，则的长为 .
14．如图，在矩形中，，．分别以，所在直线为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系．为边上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图像与边交于点，连接．
（1） ；
（2）将沿折叠，点恰好落在边上的点处，此时的值为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：．
16．我国古代有一道著名的数学题，原文如下：甲，乙二人隔溪牧羊，甲云得乙羊九只，多乙一倍正当；乙云得甲羊九只，两人羊数一样．甲，乙羊各几何？译文为：甲，乙两人在小河边放羊，甲说：如果你给我9只羊，那么我的羊的数量比你的多1倍；乙说：如果你给我9只羊，我们俩的羊就一样多了，问甲、乙两人各有多少只羊？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)在所给网格中，以点O为位似中心，作出的位似图形，使与的位似比为，并写出点的坐标；
(2)作出绕点C顺时针旋转后的图形．
18．如图，第1个图案中“◎”的个数为，“●”的个数为；
第2个图案中“◎”的个数为，“●”的个数为；
第3个图案中“◎”的个数为，“●”时的个数为；
……
(1)在第个图案中，“◎”的个数为_____，“●”的个数为_______．（用含的式子表示）
(2)根据图案中“●”和“◎”的排列方式及上述规律，求正整数，使得第个图案中“●”的个数是“◎”的个数的．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选择测量一座砖塔的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为．若斜坡的坡比，，且点B，C，E在同一水平线上．．
(1)求点D到水平线的距离；
(2)求砖塔的高度（结果保留根号）．
20．如图，内接于，是的直径，交于点E，交于点F，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
六、（本题满分12分）
21．某校在11月9日消防日当天，组织七、八年级学生开展了一次消防知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，相应等级赋分为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
年级 平均分 中位数 众数 方差
七年级 8.76 9 1.06
八年级 8.76 8 1.38
(1)根据以上信息可以求出：___________，___________，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；
(2)依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；
(3)该校七、八年级共有1600人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
七、（本题满分12分）
22．问题情境：在中，，，，是边上的高，点为上一点，连接，过点作交于点F．
猜想与证明：
（1）如图1，当点E为边的中点时，试判断点是否为边的中点；
（2）如图2，连接，试判断与是否相似；
问题解决：
（3）如图3，当时，试求线段的长．
八、（本题满分14分）
23．已知抛物线为常数，且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与轴交于点，经过点B的直线与抛物线的另一交点为点D，与轴的交点为点．
(1)如图1，若点D的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若，试确定a的值；
(3)如图3，在（1）的情形下，连接，，点P为抛物线在第一象限内的点，连接交于点Q，当取最大值时，试求点P的坐标．
()
2024年中考第三次模拟考试（安徽卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D A D B A D B B B C
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
11．
12．
13．/
14．2 //6.75
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.（本题满分8分）
【详解】解：
．……8分
16.（本题满分8分）
【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊，
根据题意，可得，……4分
解得．
答：甲有63只羊，乙有45只羊．……8分
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17.（本题满分8分）
【详解】（1）解：如图，即为所求．点的坐标为．……5分
（2）解：如图，即为所求．……8分
18.（本题满分8分）
【详解】（1）由题知，
第1个图案中“〇”的个数为，“●”的个数为；
第2个图案中“〇”的个数为，“●”的个数为；
第3个图案中“〇”的个数为，“●”的个数为；
，
所以第个图案中“〇”的个数为，“●”的个数为；
故答案为：，．……4分
（2）由题知，
，
解得或6，
因为为正整数，
所以．
故正整数的值为6．……8分
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.（本题满分10分）
【详解】（1）解：如图1，作于，则，
斜坡的坡比，
，
设 ，则 ，
由题意得：，，
，
解得：，
，
点到水平线的距离为；……5分
（2）解：如图2，作于，
则，
四边形为矩形，
，，
设，则，
，，
，
，
解得：，
，
砖塔的高度为．……10分
20.（本题满分10分）
【详解】（1）解：连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；……5分
（2）解：作于G，则，

∵，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，
在中，，
解得，
∴，
∴．……10分
六、（本题满分12分）
21.（本题满分12分）
【详解】（1）解： 七年级成绩由高到低排在第13位的是等级9分，
，
八年级等级人数最多，
，
故答案为：9，10；……4分
七年级成绩等级人数为：（人，
七年级竞赛成绩统计图补充完整如下：……6分
（2）解：七年级更好，
理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，七年级方差小于八年级方差，说明七年级一半以上人不低于9分，且波动较小，所以七年级成绩更好．……9分
（3）解：（人，……12分
答：估计七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有960人．
七、（本题满分12分）
22.（本题满分12分）
【详解】解：（1）点是边的中点，理由：
在中，，，，
，
是边上的高，
，
，
在中，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
点是的中点，
，
，
解得，，
，
，即点是边的中点；……4分
（2）由（1）知，
，
又，
，
，
又，
；……8分
（3）由（1）知，
，
；
又，，
，
解得，，
即线段的长为．……12分
八、（本题满分14分）
23.（本题满分14分）
【详解】（1）解：在中，令，则，
解得：，，
，，
将代入得：，
解得：，
，
点的横坐标为3，
当时，，
，
将代入抛物线解析式得：，
解得：，
；……4分
（2）解：由（1）得：，，
设点的坐标为，
，
为的中点，
在轴上，
，
，
在中，当时，，
，
将代入抛物线解析式得：，
解得：；……8分
（3）解：由（1）知：，，，
，
在中，当时，，
，
，
设，
，
，
当时，的值最大，此时．……14分
()
2024年中考第三次模拟考试（安徽卷）
数学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单选题
1．在、、0、这四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】本题考查有理数比较大小，根据负数小于0，0小于正数，两个负数比较，绝对值大的反而小，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴最大的数是；
故选D．
2．如图为某几何体的三种视图，这个几何体可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查由三视图判断几何体，掌握立体图形和平面图形的关系是解题的关键．分别根据三个视图的意义观察求解．
【详解】解：根据几何体的三视图，只有A选项符合题意；
故选：A．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，合并同类项等知识，根据运算法则逐一计算判断即可，熟练掌握幂的运算法则和完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴A不合题意．
∵，
∴B不合题意．
∵，
∴C不合题意．
∵，
∴D符合题意．
故选：D．
4．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
在数轴上表示如图所示：
，
故选：B．
5．若实数x，y，m满足，，则代数式的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．联立方程组，解得，设，然后根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：
解得，
设，
，
，
有最大值，最大值为，
代数式的值可以是1，
故选：A．
6．如图，正六边形内接于，连接，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边对等角，先根据正六边形的性质得到，，再由等边对等角得到，则，由此可得．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7．新考法与新定义结合，如果一个自然数正着读和倒着读都一样，如121，32123等，则称该数为“回文数”．从1，1，2，2这四个数字中随机选取三个数字组成一个三位数，恰好是“回文数”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．先画树状图得出所有等可能结果数，从中找到“回文数”的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图，
由图可知，所有可能组成的数有共有24种，其中恰好是“回文数”的共有8种，
∴从1，1，2，2这四个数字中随机选取三个数字组成一个三位数，恰好是“回文数”的概率是，
故选：B．
8．如图，在中，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构建相似三角形是解题关键．过点作于点，过点作于点，过点作于点，首先根据勾股定理解得，再证明，由相似三角形的性质可解得，的值，然后证明，进而可获得答案．
【详解】解：如下图，过点作于点，过点作于点，
过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
故选：B．
9．已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，依据题意，由一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，从而函数的图象开口向下，对称轴为直线，从而排除A、D，C，故可得解．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，
∴函数的图象开口向下，对称轴为直线．
∴综上，可得B正确．
故选：B．
10．如图，正方形边长为4，点分别在边上，且满足交于点，分别是的中点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由可得，从而由角的关系可知，故点在以为直径的半圆上移动，如图2，连，在上截取，连，得，从而得的最小值为线段的长度，如图3，作，垂足为，求出，则的最小值为．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴
又
∴，
∴
又
∴
∴即，
∴点在以为直径的半圆上移动，
如图，连，在上截取，连，

∵正方形边长为4，
∴
又，
∴,
，
而的最小值为线段的长度，
如图，作，垂足为，则四边形是正方形，

∴
∴
∴，
∴的最小值为．
故选：C
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是证明，而的最小值为线段的长度，由勾股定理求出．
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了分解因式，根据先提公因式再利用公式的步骤分解即可．先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
12．据中国青年报报道：“中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》为海内外受众奉上了一道除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142 亿人次，较去年增长29%, …．”将数据142亿用科学记数法表示为： ．
【答案】
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：142亿，
故答案为：
13．如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图2，根据割圆八线图，在扇形中，，和都是的切线，点和点是切点，交于点，交于点，．若，则的长为 .
【答案】/
【分析】根据切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可求出，再根据直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值求出，即可．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
，
是的切线，点是切点，
，
即，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及解直角三角形，掌握切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及解直角三角是正确解答的关键．
14．如图，在矩形中，，．分别以，所在直线为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系．为边上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图像与边交于点，连接．
（1） ；
（2）将沿折叠，点恰好落在边上的点处，此时的值为 ．
【答案】 2 //6.75
【分析】（1）首先根据矩形的性质可得，，，结合题意确定点的坐标，进而可得，，然后根据求解即可；
（2）过点作于，根据折叠的性质可得，，，证明，由相似三角形的性质可解得，在中，由勾股定理可得，代入并解得的值即可．
【详解】解：（1）∵四边形为矩形，，，
∴，，，
∵为边上的一点，过点的反比例函数的图像与边交于点，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
（2）由（1）可知，，，，
如下图，过点作于，
∴，，
∴，
由折叠知，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：2；．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的应用、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、折叠的性质、锐角三角函数等知识，用含有的代数式表示出是解题的关键．
三、解答题
15．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据实数的性质，零指数幂和负整数指数幂的意义，以及特殊角的三角函数值化简，再根据实数的运算数序计算即可．熟练掌握实数的性质，零指数幂和负整数指数幂的意义，以及特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
【详解】解：
．
16．我国古代有一道著名的数学题，原文如下：甲，乙二人隔溪牧羊，甲云得乙羊九只，多乙一倍正当；乙云得甲羊九只，两人羊数一样．甲，乙羊各几何？译文为：甲，乙两人在小河边放羊，甲说：如果你给我9只羊，那么我的羊的数量比你的多1倍；乙说：如果你给我9只羊，我们俩的羊就一样多了，问甲、乙两人各有多少只羊？
【答案】甲有63只羊，乙有45只羊
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案．
【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊，
根据题意，可得，
解得．
答：甲有63只羊，乙有45只羊．
17．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)在所给网格中，以点O为位似中心，作出的位似图形，使与的位似比为，并写出点的坐标；
(2)作出绕点C顺时针旋转后的图形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查作图旋转变换、位似变换、点的坐标，熟练掌握旋转的性质、位似的性质是解答本题的关键．
（1）根据位似的性质作图，根据图形直接写出点的坐标即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．点的坐标为．
（2）解：如图，即为所求．
18．如图，第1个图案中“◎”的个数为，“●”的个数为；
第2个图案中“◎”的个数为，“●”的个数为；
第3个图案中“◎”的个数为，“●”时的个数为；
……
(1)在第个图案中，“◎”的个数为_____，“●”的个数为_______．（用含的式子表示）
(2)根据图案中“●”和“◎”的排列方式及上述规律，求正整数，使得第个图案中“●”的个数是“◎”的个数的．
【答案】(1)；
(2)6
【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现“●”和“〇”个数变化的规律是解题的关键．
（1）根据所给图形，发现“●”和“〇”个数变化的规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【详解】（1）由题知，
第1个图案中“〇”的个数为，“●”的个数为；
第2个图案中“〇”的个数为，“●”的个数为；
第3个图案中“〇”的个数为，“●”的个数为；
，
所以第个图案中“〇”的个数为，“●”的个数为；
故答案为：，．
（2）由题知，
，
解得或6，
因为为正整数，
所以．
故正整数的值为6．
19．数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选择测量一座砖塔的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为．若斜坡的坡比，，且点B，C，E在同一水平线上．．
(1)求点D到水平线的距离；
(2)求砖塔的高度（结果保留根号）．
【答案】(1)点D到水平线的距离为
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，坡度坡角问题，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键．
（1）作于，则，根据斜坡的坡比，，结合勾股定理求出的长即可得解；
（2）作于，则四边形为矩形，设 ，则 ，则，，根据，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：如图1，作于，则，
斜坡的坡比，
，
设 ，则 ，
由题意得：，，
，
解得：，
，
点到水平线的距离为；
（2）解：如图2，作于，
则，
四边形为矩形，
，，
设，则，
，，
，
，
解得：，
，
砖塔的高度为．
20．如图，内接于，是的直径，交于点E，交于点F，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，只要证明，即可证明是的切线；
（2）作于G，证明，求得，，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可．
【详解】（1）解：连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：作于G，则，

∵，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，
在中，，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
21．某校在11月9日消防日当天，组织七、八年级学生开展了一次消防知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，相应等级赋分为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
年级 平均分 中位数 众数 方差
七年级 8.76 9 1.06
八年级 8.76 8 1.38
(1)根据以上信息可以求出：___________，___________，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；
(2)依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；
(3)该校七、八年级共有1600人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
【答案】(1)，图见详解
(2)七年级更好，理由见详解
(3)960人
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数众数，方差，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键．
（1）根据中位数的定义可确定的值；根据众数的定义可确定的值；先求出七年级等级的人数，再将七年级竞赛成绩统计图补充完整即可；
（2）根据平均分，中位数，众数，方差的意义回答即可；
（3）分别将样本中七、八年级优秀所占比例乘以1600即可作出估计．
【详解】（1）解： 七年级成绩由高到低排在第13位的是等级9分，
，
八年级等级人数最多，
，
故答案为：9，10；
七年级成绩等级人数为：（人，
七年级竞赛成绩统计图补充完整如下：
（2）解：七年级更好，
理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，七年级方差小于八年级方差，说明七年级一半以上人不低于9分，且波动较小，所以七年级成绩更好．
（3）解：（人，
答：估计七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有960人．
22．问题情境：在中，，，，是边上的高，点为上一点，连接，过点作交于点F．
猜想与证明：
（1）如图1，当点E为边的中点时，试判断点是否为边的中点；
（2）如图2，连接，试判断与是否相似；
问题解决：
（3）如图3，当时，试求线段的长．
【答案】（1）点是边的中点，理由见解析；（2）相似，理由见解析；（3）．
【分析】本题主要考查勾股定理和相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
（1）由勾股定理求出，由面积求出，再由勾股定理求出，证明，得出，求出，，故可得点是的中点；
（2）由（1）知得，又，可得，即，且，从而可证；
（3）由（1）得，求出，且，由，代入，从而可求出的长．
【详解】解：（1）点是边的中点，理由：
在中，，，，
，
是边上的高，
，
，
在中，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
点是的中点，
，
，
解得，，
，
，即点是边的中点；
（2）由（1）知，
，
又，
，
，
又，
；
（3）由（1）知，
，
；
又，，
，
解得，，
即线段的长为．
23．已知抛物线为常数，且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与轴交于点，经过点B的直线与抛物线的另一交点为点D，与轴的交点为点．
(1)如图1，若点D的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若，试确定a的值；
(3)如图3，在（1）的情形下，连接，，点P为抛物线在第一象限内的点，连接交于点Q，当取最大值时，试求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令，则，求出，，将代入一次函数求出，从而得出点的坐标，再将的坐标代入二次函数即可得解；
（2）由（1）得：，，设点的坐标为，由得出点的横坐标为2，代入一次函数解析式得出点的坐标，再将的坐标代入二次函数即可得解；
（3）由（1）知：，，，得出，求出点的坐标得出，根据，得出关系式，根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，令，则，
解得：，，
，，
将代入得：，
解得：，
，
点的横坐标为3，
当时，，
，
将代入抛物线解析式得：，
解得：，
；
（2）解：由（1）得：，，
设点的坐标为，
，
为的中点，
在轴上，
，
，
在中，当时，，
，
将代入抛物线解析式得：，
解得：；
（3）解：由（1）知：，，，
，
在中，当时，，
，
，
设，
，
，
当时，的值最大，此时．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题、二次函数综合—面积问题，待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
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2024年中考第三次模拟考试（安徽卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在、、0、这四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
2．如图为某几何体的三种视图，这个几何体可以是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若实数x，y，m满足，，则代数式的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，正六边形内接于，连接，则（ ）
A． B． C． D．
7．新考法与新定义结合，如果一个自然数正着读和倒着读都一样，如121，32123等，则称该数为“回文数”．从1，1，2，2这四个数字中随机选取三个数字组成一个三位数，恰好是“回文数”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，正方形边长为4，点分别在边上，且满足交于点，分别是的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
11．因式分解： ．
12．据中国青年报报道：“中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》为海内外受众奉上了一道除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142 亿人次，较去年增长29%, …．”将数据142亿用科学记数法表示为： ．
13．如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图2，根据割圆八线图，在扇形中，，和都是的切线，点和点是切点，交于点，交于点，．若，则的长为 .
14．如图，在矩形中，，．分别以，所在直线为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系．为边上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图像与边交于点，连接．
（1） ；
（2）将沿折叠，点恰好落在边上的点处，此时的值为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：．
16．我国古代有一道著名的数学题，原文如下：甲，乙二人隔溪牧羊，甲云得乙羊九只，多乙一倍正当；乙云得甲羊九只，两人羊数一样．甲，乙羊各几何？译文为：甲，乙两人在小河边放羊，甲说：如果你给我9只羊，那么我的羊的数量比你的多1倍；乙说：如果你给我9只羊，我们俩的羊就一样多了，问甲、乙两人各有多少只羊？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)在所给网格中，以点O为位似中心，作出的位似图形，使与的位似比为，并写出点的坐标；
(2)作出绕点C顺时针旋转后的图形．
18．如图，第1个图案中“◎”的个数为，“●”的个数为；
第2个图案中“◎”的个数为，“●”的个数为；
第3个图案中“◎”的个数为，“●”时的个数为；
……
(1)在第个图案中，“◎”的个数为_____，“●”的个数为_______．（用含的式子表示）
(2)根据图案中“●”和“◎”的排列方式及上述规律，求正整数，使得第个图案中“●”的个数是“◎”的个数的．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选择测量一座砖塔的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为．若斜坡的坡比，，且点B，C，E在同一水平线上．．
(1)求点D到水平线的距离；
(2)求砖塔的高度（结果保留根号）．
20．如图，内接于，是的直径，交于点E，交于点F，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
六、（本题满分12分）
21．某校在11月9日消防日当天，组织七、八年级学生开展了一次消防知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，相应等级赋分为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
年级 平均分 中位数 众数 方差
七年级 8.76 9 1.06
八年级 8.76 8 1.38
(1)根据以上信息可以求出：___________，___________，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；
(2)依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；
(3)该校七、八年级共有1600人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
七、（本题满分12分）
22．问题情境：在中，，，，是边上的高，点为上一点，连接，过点作交于点F．
猜想与证明：
（1）如图1，当点E为边的中点时，试判断点是否为边的中点；
（2）如图2，连接，试判断与是否相似；
问题解决：
（3）如图3，当时，试求线段的长．
八、（本题满分14分）
23．已知抛物线为常数，且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与轴交于点，经过点B的直线与抛物线的另一交点为点D，与轴的交点为点．
(1)如图1，若点D的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若，试确定a的值；
(3)如图3，在（1）的情形下，连接，，点P为抛物线在第一象限内的点，连接交于点Q，当取最大值时，试求点P的坐标．
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