河南省新乡市河南师范大学附属中学2023-2024七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

2023—2024学年第二学期七年级期中测试
《数学》试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 2024年3月31日，中国载人航天公布载人航天工程版月历，计划于4月下旬发射神舟十八号载人飞船、迎接神舟十七号乘组返回．图中载人航天工程标识主造型既像一个汉语书法的“中”字，充满中国元素和航天特色，结构优美、寓意深刻．在选项的四个图中，能由如图经过平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质：平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等，即可解答．
【详解】解：如图，可以通过平移节水标志得到的图形是：

故选：D．
2. 下列是二元一次方程的是（　　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二元一次方程的定义逐项判断即可得．
【详解】A、是一元一次方程，此项不符题意；
B、是二元一次方程，此项符合题意；
C、是分式方程，此项不符题意；
D、是二元二次方程，此项不符题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟记定义是解题关键．
3. 如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案．
【详解】解：A．若，则，原变形不成立，故本选项不符合题意；
B．若，则，原变形不成立，故本选项不符合题意；
C．若，则，原变形成立，故本选项符合题意；
D．若，则，原变形不成立，故本选项不符合题意；
故选：C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方根的定义以及算术平方根的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，无意义，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了求一个数的平方根，算术平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．
5. 如图，直线被直线c所截，则下列说法中不正确的是（ ）
A. 与是邻补角 B. 与是对顶角
C. 与是内错角 D. 与是同位角
【答案】C
【解析】
【分析】根据对顶角、邻补角、同位角、内错角的定义分别分析即可．
【详解】解：A、∠3与∠2是邻补角，故原题说法正确；
B、∠1与∠3是对顶角，故原题说法正确；
C、∠1与∠4不是内错角，故原题说法错误；
D、∠2与∠4是同位角，故原题说法正确；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了对顶角、邻补角、内错角和同位角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形．
6. 以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的位置是在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组，已知点的坐标判断其所在象限．掌握解二元一次方程组的方法和各象限内点的坐标特点是解题关键．求出该二元一次方程组的解，再根据各象限内点的坐标特点选择即可．
【详解】解：
由，得：，
解得：．
将代入①，得：，
解得：，
∴原方程组的解为，
∴点在平面直角坐标系中的位置是第三象限．
故选C．
7. 我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴负半轴交于点P，则点P表示的实数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点P表示的数即可．
【详解】解：∵正方形的边长为1，
∴，
∴，
∵点A表示1，
∴点P到O的距离为：，
∴点P表示，
故选D．
8. 如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行线判定条件进行分析即可．
【详解】解：当时，由内错角相等，两直线平行得，故A不符合题意；
当时，由内错角相等，两直线平行得，故B符合题意；
当时，由同位角相等，两直线平行得，故C不符合题意；
当时，由同旁内角互补，两直线平行得，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．
9. 如图，是8×8的“密码”图，“今天考试”解密为“祝你成功”，用此“钥匙”解密“遇水架桥”的意思是（　　）
A. 一带一路 B. 中国崛起 C. 逢山开路 D. 中国声音
【答案】B
【解析】
【分析】根据“今”的坐标为（3，2），对应“祝”的坐标为：（4，4）；“天”的坐标为（5，1），对应“你”的坐标为：（6，3）；找到的密码钥匙是（x+1，y+2），由此规律得出答案即可．
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可得：“今”的坐标为（3，2），对应“祝”的坐标为：（4，4）；
“天”的坐标为（5，1），对应“你”的坐标为：（6，3）；
故“遇水架桥”对应点坐标分别为：（4，2），（5，6），（7，2），（2，4），
则对应真实坐标为：（5，4），（6，8），（8，4），（3，6），
故真实意思是：中国崛起．
故选B．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出坐标的变化规律是解题关键．
10. 下列命题：①若，则点在坐标轴上；②点一定在第四象限；③已知与点（），则直线轴；④已知点，轴，且，则点B的坐标一定是；⑤若点到x轴，y轴的距离相等，则m，n的关系一定为．其中是真命题的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了真假命题判断．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．利用有理数的性质和坐标轴上点的坐标特征可对①进行判断；利用或可对②进行判断；利用A、点的纵坐标相同可对③进行判断；通过把A点坐标向上或向下平移5个单位得到点坐标可对④进行判断，根据四个象限内均有到坐标轴距离相等的点判断⑤．
【详解】解：若，则或，所以点坐标轴上，所以①为真命题；
，点一定在第四象限或x轴上，所以②为假命题；
已知点与点，，均不为0，则直线平行轴，所以③为真命题；
已知点，轴，且，则点的坐标为或，所以④为假命题；
若点到x轴，y轴的距离相等，则m，n的关系一定为或，所以⑤为假命题，
所以真命题有2个．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 如图，直线交于点O，射线平分，，则的度数为______．
【答案】##度
【解析】
【分析】此题主要考查了角平分线的定义以及对顶角的性质，得出度数是解题关键．
利用对顶角的定义得出，进而利用角平分线的性质得出的度数，进而由邻补角求得．
【详解】解：（对顶角相等），，
，
射线平分，
．
∴
故答案为：．
12. 已知，，则______．
【答案】或1
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根、立方根和代数式求值，根据题意正确确定字母的值是解题的关键．利用平方根和立方根的意义求得，的值，将，的值代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，时，，
∴，时，，
故答案为：或1．
13. 不等式的非负整数解为______．
【答案】0或1或2
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
非负整数解为0或1或2．
14. 用大小、形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点B的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、坐标与图形，根据点A坐标，结合图形，列出方程组是解答的关键．设长方形的长为x，宽为y，根据点A的坐标列出关于x、y的二元一次方程组，然后解方程组，进而可求得点B的坐标．
【详解】解：设长方形的长为x，宽为y，
∵，
∴，解得：，
∴，
，
∵点B在第二象限，
∴点B的坐标为，
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，对三角形连续做旋转变换，依次得到，，，…，则的直角顶点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形、坐标规律探究，根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2023除以3，根据商为674，余数为1，可知第2023个三角形的直角顶点为第674个循环组后第一个三角形的直角顶点，求出即可．
【详解】解：点、，，
∴，，
则第一次旋转变换后直角顶点坐标为，
第二次旋转变换后直角顶点在第一象限，
第三次旋转变换后直角顶点坐标为，即，
第四次旋转变换后直角顶点坐标为，
第五次旋转变换后直角顶点在第一象限，
…，
∴由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组横坐标前进的长度为：，
，
的直角顶点是第674个循环组后第一个三角形的直角顶点，
，
的直角顶点的坐标为．
故答案为：．
三、解答题（共75分）
16. 计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了实数与二次根式的运算，解题的关键的熟知其运算法则．
（1）根据实数的性质进行化简即可求解；
（2）根据二次根式的运算法则即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
17. 解下列方程（组）：
（1）
（2）．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据求平方根的方法解方程，正确计算是解题的关键．
（1）根据求平方根方法解方程即可；
（2）先整理原方程组，然后利用加减消元法求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴
∴
∴，
∴或；
【小问2详解】
解：，
整理得
得：，
解得，
把代入②得：，
解得，
∴方程组的解为．
18. 如图，直线相交于点O，把分成两部分．
（1）直接写出图中的对顶角的为______，的邻补角为______；
（2）若平分，．求的度数．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了几何图形中角的运算以及对顶角、邻补角，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据对顶角的定义（如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角），以及邻补角的定义（两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角），分别进行作答；
（2）因为，所以设，结合角平分线的定义，得出，列式，计算得出，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，的对顶角的为，的邻补角为；
【小问2详解】
解：设
则，
∵平分，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
19. 已知一个正数a的两个平方根分别为和，且．
（1）求m和n的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1），
（2）的平方根为
【解析】
【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，加减消元法解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，以及一个数与它的立方根是同号的关系，据此列式得，进行计算，即可作答．
（2）把代入，算出，再代入进行运算，即可作答．
【小问1详解】
解：由题意得，
解得
∴m和n的值分别为1和；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴的平方根为
20. 如图，三角形（记作）在方格中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，先将向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到．
（1）三个顶点的坐标分别是：A______，B______，C______；
（2）在图中画出，并求出的面积；
（3）若是内任意一点，则平移前对应点P的坐标为______．
【答案】（1），，
（2）图见解析，的面积
（3）
【解析】
【分析】本题考查了利用网格求点的坐标，平移作图，求三角形的面积，准确画出图形是解决本题的关键．
（1）根据各点在平面直角坐标系中的位置，即可解答；
（2）按要求根据平移的性质，即可画出图形；利用割补法求面积即可；
（3）根据平移方式确定坐标即可．
【小问1详解】
解：，，，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：按要求画图如下：
的面积；
【小问3详解】
解：先将向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到，
又是内任意一点，
则平移前对应点P坐标为．
21. 如图，M、F两点在直线上，，，分别平分，．
求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据平行线性质证出，再根据角平分线定义证出，从而证出结论．
【详解】证明：∵，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∵分别平分，
∴，，
∴，
∴．
22. 某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名
七年级 4000 2 4
八年级 4200 3 3
九年级 4000
（1）求a，b的值；
（2）当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案．
【答案】（1）a，b的值分别为800，600
（2）方案一：中学生7人，小学生4人；方案二：中学生4人，小学生8人；方案三：中学生1人，小学生12人
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
（1）根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可．
（2）利用九年级的捐款额8000列方程求人数．
【小问1详解】
解：由题意得
解得：
∴a，b的值分别为800，600；
【小问2详解】
由题意得捐款总额为：（元）
设九年级资助贫困的中学生人数为x，资助贫困的小学生人数为y；
可得：；整理得：，
即；
又∵x、y均为正整数 ，
∴ ；
即方案一：中学生7人，小学生4人；
方案二：中学生4人，小学生8人；
方案三：中学生1人，小学生12人；
23. 如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴上、y轴上，，，若点B的坐标为，且．
（1）直接写出点A、B、C的坐标；
（2）若动点P从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线把四边形分成面积为的两部分时，求P点运动时间；
（3）若点P是直线上一个动点，连接，当点P在上移动时（不与A，B重合），直接写出、、之间满足的数量关系．
【答案】（1），，
（2）P点的运动时间为2或4秒
（3）当点P在A、B之间时，；当点P在线段的延长线上时，；当点P在线段的反向延长线上时，
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、坐标与图形、梯形和三角形的面积、解一元一次方程、平面直角坐标系中的动点问题，正确求得a值和是解答的关键．
（1）先根据二次根式的被开方数非负求得a、b值，再利用坐标与图形求解即可；
（2）先求得梯形的面积，设P运动时间为t秒，则，根据题意分两种情况，利用三角形的面积公式求解即可；
（3）分三种情况，根据平行线的性质及三角形外角的性质求解即可：当点P在线段上时，当点P在线段延长线上运动时，当点P在线段延长线上运动时．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，，
∴，
∵点A、C分别在x轴上、y轴上，，，
∴，；
【小问2详解】
解：设P点运动时间为t秒，则，
，
由题意，四边形是梯形，则，
分两种情况：
当时，即，
如图，
，
解得：；
当时，即，
，
解得：；
故满足条件的P点的运动时间为2或4秒．
【小问3详解】
解：当点P在线段上时，作，
，
，
，
，
；
当点P在线段延长线上时，
，
，
，
；
当点P在线段延长线上时，
，
，
，
；
综上所述，当点P在A、B之间时，；当点P在线段的延长线上时，；当点P在线段的反向延长线上时，，2023—2024学年第二学期七年级期中测试
《数学》试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 2024年3月31日，中国载人航天公布载人航天工程版月历，计划于4月下旬发射神舟十八号载人飞船、迎接神舟十七号乘组返回．图中载人航天工程标识主造型既像一个汉语书法的“中”字，充满中国元素和航天特色，结构优美、寓意深刻．在选项的四个图中，能由如图经过平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列是二元一次方程的是（　　　）
A. B. C. D.
3. 如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算正确是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，直线被直线c所截，则下列说法中不正确的是（ ）
A. 与是邻补角 B. 与是对顶角
C. 与是内错角 D. 与是同位角
6. 以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的位置是在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7. 我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴负半轴交于点P，则点P表示的实数为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，点E在BC的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，是8×8的“密码”图，“今天考试”解密为“祝你成功”，用此“钥匙”解密“遇水架桥”的意思是（　　）
A. 一带一路 B. 中国崛起 C. 逢山开路 D. 中国声音
10. 下列命题：①若，则点在坐标轴上；②点一定在第四象限；③已知与点（），则直线轴；④已知点，轴，且，则点B的坐标一定是；⑤若点到x轴，y轴的距离相等，则m，n的关系一定为．其中是真命题的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 如图，直线交于点O，射线平分，，则的度数为______．
12 已知，，则______．
13. 不等式的非负整数解为______．
14. 用大小、形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点B的坐标为______．
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，对三角形连续做旋转变换，依次得到，，，…，则的直角顶点的坐标为______．
三、解答题（共75分）
16 计算：
（1）
（2）．
17. 解下列方程（组）：
（1）
（2）．
18. 如图，直线相交于点O，把分成两部分．
（1）直接写出图中的对顶角的为______，的邻补角为______；
（2）若平分，．求度数．
19. 已知一个正数a的两个平方根分别为和，且．
（1）求m和n的值；
（2）求的平方根．
20. 如图，三角形（记作）在方格中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，先将向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到．
（1）三个顶点坐标分别是：A______，B______，C______；
（2）在图中画出，并求出的面积；
（3）若是内任意一点，则平移前对应点P的坐标为______．
21. 如图，M、F两点在直线上，，，分别平分，．
求证：．
22. 某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名
七年级 4000 2 4
八年级 4200 3 3
九年级 4000
（1）求a，b的值；
（2）当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案．
23. 如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴上、y轴上，，，若点B的坐标为，且．
（1）直接写出点A、B、C的坐标；
（2）若动点P从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线把四边形分成面积为的两部分时，求P点运动时间；
（3）若点P是直线上的一个动点，连接，当点P在上移动时（不与A，B重合），直接写出、、之间满足的数量关系．