江苏省苏州市苏州工业园区星湾学校2023-2024七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

2023-2024学年第二学期期中调研
七年级数学试卷
注意事项
1．本试卷共26题，满分100分，考试时间100分钟.
2．答题前．考生务必将自己的考试号、姓名、班级、学号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相对应的位置上，用2B铅笔准确填涂班级和学号.
3．答选择题必须用2B铅笔把答题卡相对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上.不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题.
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上．）
1. 下列运算结果为a9的是（　　）
A B. C. D.
2. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，中边上的高线是（ ）
A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段
4. 车库的电动门栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD的大小是（ ）
A. 150 B. 180 C. 270 D. 360
5. 如图，两面镜子，的夹角为，当光线经过镜子反射时，，，若，则的度数是（ ）
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
6. 如图，若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
7. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A. 301050 B. 103020 C. 305010 D. 501030
8. 如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知BG＝6，则图中阴影部分面积为（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．把答案直接填在答题卡相应位置上．）
9. 中国大陆芯片领域的龙头企业“中芯国际”目前已经实现工艺芯片的量产，使中国集成电路制造技术与世界最先进工艺拉近了距离．数据用科学记数法表示为______．
10. 计算：______．
11. 如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为______．
12. 若是一个完全平方式，那么值是________．
13. 若，，则，的大小关系是______（填“＜”或“＞”）．
14. 将一副直角三角板如图放置，已知，，当时，______．
15. 如图，已知长方形ABCD的长为a，宽为b，若将长方形ABCD向右平移a，再向下平移b，得到长方形，则阴影部分的面积为___________（用含a、b的代数式表示）．
16. 如图，在中，，，，若四边形面积为84，则的面积为______．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．）
17. 计算：
（1）．
（2）．
18. 将下列各式分解因式：
（1）；
（2）．
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 已知：，，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
21. 画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，小正方形的顶点叫格点．
（1）将向左平移6格，再向上平移1格，请在图中画出平移后的；
（2）利用网格在图中画出的高线；
（3）在平移过程中线段所扫过的面积为______；
（4）在图中能使的格点P的个数有______个（点P异于点C）．
22. 如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H．∠GFH+∠BHC=180°，求证：．
23. 如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”．
（1）写出一个30到50之间的“正巧数”；
（2）设两个连续正奇数为和（其中k是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明．
（3）m，n为正整数，且，若是“正巧数”，求的值．
24. 如图，在中，，是线段延长线上动点，在线段上取一点，使．
（1）当点在线段上时，且，求的度数；
（2）若，且是直角三角形，则______
25. 将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题．
（1）观察图1，写出代数式，，之间等量关系：______；
（2）若，，则 _____；
（3）如图2，边长为5的正方形中放置两个长和宽分别为，（，）的长方形，若长方形的周长为12，面积为，求图中阴影部分的面积的值．
26. 已知射线射线于点A，点D，F分别在射线，上，过点D，F作射线，，使，如下图所示．
（1）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
（2）如下图，已知角平分线与的角平分线相交于点P．
①当时，则______；
②当（）时，的大小是否保持不变？若不变，请说明理由；若改变，请求出的度数．
（3）当沿射线平移且时，请直接写出的角平分线与的角平分线所在直线相交形成的的度数．2023-2024学年第二学期期中调研
七年级数学试卷
注意事项
1．本试卷共26题，满分100分，考试时间100分钟.
2．答题前．考生务必将自己的考试号、姓名、班级、学号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相对应的位置上，用2B铅笔准确填涂班级和学号.
3．答选择题必须用2B铅笔把答题卡相对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上.不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题.
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上．）
1. 下列运算结果为a9的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂的除法、幂的乘方逐项计算即可．
【详解】∵，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴选项B不符合题意；
∵，
∴选项C不符合题意；
∵，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的有关运算，熟练掌握合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂的除法、幂的乘方运算法则是解答本题的关键．
2. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用因式分解的定义判断即可．
【详解】解：A、左边不是多项式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
3. 如图，中边上的高线是（ ）
A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段
【答案】B
【解析】
【分析】过三角形的一个顶点向对边作垂线，这个顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，根据定义判断即可.
【详解】解：中边上的高线是线段；
故选：B.
【点睛】本题考查了三角形的高，熟知三角形高的概念是关键.
4. 车库的电动门栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD的大小是（ ）
A. 150 B. 180 C. 270 D. 360
【答案】C
【解析】
【分析】过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．
∴∠BCD+∠1=180°；
又∵AB⊥AE，
∴AB⊥BF．
∴∠ABF=90°．
∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．
5. 如图，两面镜子，的夹角为，当光线经过镜子反射时，，，若，则的度数是（ ）
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
【答案】C
【解析】
【分析】根据，得到，根据，，推出，即得．
本题主要考查了三角形内角和与平角，解决问题的关键是熟练掌握三角形内角和等于，平角度数等于．
【详解】如图所示，∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
6. 如图，若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】先根据多边形的内角和公式求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
【详解】解：∵五边形的内角和为
∴正五边形的每一个内角为
∴正五边形的每一个外角为
如图，延长正五边形的两边相交于点O，则
∵已经有3个五边形，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．
7. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A. 301050 B. 103020 C. 305010 D. 501030
【答案】B
【解析】
【分析】对多项式利用提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算即可确定出密码．
详解】x3 xy2＝x（x2 y2）＝x（x＋y）（x y），
当x＝30，y＝20时，x＝30，x＋y＝50，x y＝10，
组成密码的数字应包括30，50，10，
所以组成的密码不可能是103020．
故选：B．
【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，立意新颖，熟记公式结构是解题的关键．
8. 如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知BG＝6，则图中阴影部分面积为（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】设BC=a，CG=b，建立关于a、b的关系，最后求面积．
【详解】解：设BC=a，CG=b，则，，BG=a+b=8，
∴，
∵，
∴，
∴ab=8，
∴阴影部分的面积．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，通过面积关系构造使用完全平方公式的条件是求解本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．把答案直接填在答题卡相应位置上．）
9. 中国大陆芯片领域的龙头企业“中芯国际”目前已经实现工艺芯片的量产，使中国集成电路制造技术与世界最先进工艺拉近了距离．数据用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 计算：______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂进行计算即可；
【详解】解：
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查零指数幂、负整数指数幂，掌握相关运算法则是解题的关键．
11. 如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长，题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形，解题的关键是验证能否组成三角形．
【详解】解：若3为腰长，7为底边长，
∵，
∴三角形不存在，
若7为腰长，3为底边长，则符合三角形的两边之各大于第三边，
∴这个三角形的周长，
故答案为：．
12. 若是一个完全平方式，那么的值是________．
【答案】7或-9##-9或7
【解析】
【分析】根据完全平方公式的形式进行求解即可．
【详解】∵
∴
∴或-9．
故答案为：7或-9．
【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的形式．
13. 若，，则，的大小关系是______（填“＜”或“＞”）．
【答案】＞
【解析】
【分析】根据幂的乘方进行解答即可
【详解】解：∵a15=（a3）5=25=32，b15=（b5）3=33=27，32＞27，
∴a15＞b15，
∴a＞b，
故答案为：＞；
【点睛】本题考查了幂的乘方，根据题目所给的运算方法进行比较是解题的关键．
14. 将一副直角三角板如图放置，已知，，当时，______．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理、平行线的性质和判定及三角形外角的性质计算即可.
【详解】如图：
，，
，，
，
故答案为：
【点睛】此题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和判定及三角形外角的性质掌握相应的定理和性质是解答此题的关键.
15. 如图，已知长方形ABCD的长为a，宽为b，若将长方形ABCD向右平移a，再向下平移b，得到长方形，则阴影部分的面积为___________（用含a、b的代数式表示）．
【答案】1.2ab
【解析】
【分析】利用平移的性质求出空白部分的长方形的长，宽即可解决问题．
【详解】解：由题意，空白部分是长方形，长为a，宽为b，
∴阴影部分的面积=ab×2-2×a×b=ab=1.2ab，
故答案为：1.2ab．
【点睛】本题考查平移的性质，列代数式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16. 如图，在中，，，，若四边形面积为84，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的面积，连接， 由于得到由于是得到，同理， ，然后根据面积的和差即可得到结论，知道同高三角形的面积的比等于底的比是解题的关键．
【详解】解： 连接，如图：
∵，
，
，
又∵，
∴，
，
∴，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．）
17. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用幂的乘方，单项式乘以单项式，多项式乘以多项式计算即可；
（2）利用幂的乘方和积的乘方法则计算即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
18. 将下列各式分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式，掌握平方差公式和完全平方公式．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】运用乘法公式，整式的乘法运算，代入求值即可求解．
【详解】解：
，
当时，
原式
．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
20. 已知：，，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）100 （2）4
（3）
【解析】
【分析】（1）逆用同底数幂的乘法进行计算即可；
（2）逆用同底数幂的除法进行计算即可；
（3）逆用幂的乘方，进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴；
【小问3详解】
解：∵，，
．
【点睛】本题考查同底数幂的运算．熟练掌握同底数幂的乘法，除法，幂的乘方法则，是解题的关键．
21. 画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，小正方形的顶点叫格点．
（1）将向左平移6格，再向上平移1格，请在图中画出平移后的；
（2）利用网格在图中画出的高线；
（3）在平移过程中线段所扫过的面积为______；
（4）在图中能使的格点P的个数有______个（点P异于点C）．
【答案】（1）作图见详解
（2）作图见详解 （3）16
（4）5
【解析】
【分析】本题考查的是作图平移变换，平行线的性质，三角形的高，面积，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
（1）根据图形平移的性质画出平移后的即可；
（2）延长，作垂直于，交的延长线于点，即为的高线；
（3）利用大长方形减去四个小直角三角形的面积即可得出结论；
（4）经过点C且与平行的直线上，再过点C作的对称点，过对称点作平行线，这些平行线与格点的交点即为所求．
【小问1详解】
解：（1）如图，即为所求；
【小问2详解】
解：的高线如图；
【小问3详解】
解：线段所扫过的面积等于长方形的面积减去四个直角三角形的面积，
∴线段所扫过的面积：
．
故答案为：16；
【小问4详解】
解：由题意得：符合条件的点在经过点C且与平行的直线上，
再过点C作的对称点，过对称点作平行线，
∵平行线间的距离处处相等，
∴与同底等高，
∴如图，共有5个点．
故答案为：5．
22. 如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H．∠GFH+∠BHC=180°，求证：．
【答案】见解析．
【解析】
【分析】求出∠GFH＋∠FHD＝180°，根据平行线的判定得出FG∥BD，根据平行线的性质得出∠1＝∠ABD，求出∠2＝∠ABD即可．
【详解】∵∠GFH+∠BHC=180°，∠BHC=∠FHD
∴∠GFH+∠FHD =180°
∴FG//BD
∴∠1=∠ABD
∵BD平分∠ABC
∴∠2=∠ABD
∴∠1=∠2．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，对顶角相等的应用，主要考查学生的推理能力．
23. 如果一个正整数能表示为两个连续正奇数平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”．
（1）写出一个30到50之间的“正巧数”；
（2）设两个连续正奇数为和（其中k是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明．
（3）m，n为正整数，且，若是“正巧数”，求的值．
【答案】（1）32，40，48（选择其中一个即可）；
（2）能被8整除，理由见详解
（3）9
【解析】
【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算；难点是理解“正巧数”都是8的倍数，如果一个数是8的倍数，那么这个数一定是“正巧数”．
（1）根据“正巧数”的定义设0到50之间的“正巧数”为：，为正整数，则，解不等式求出的值即可得出答案；
（2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案；
（3）将整理为，据此可得出的值．
【小问1详解】
解：根据“正巧数”的定义：“正巧数”等于两个正奇数的平方差，
设0到50之间“正巧数”为：，为正整数，
则：，
整理得：，
解得：，
为正整数，
，5，6，
到50之间的“正巧数”共有3个，它们分别是：32，40，48．
即：，，．
∴在32，40，48中任选一个即可；
小问2详解】
解：“正巧数”能被8整除，理由如下：
，
又是正整数，
能被8整除
能被8整除，
“正巧数”能被8整除；
【小问3详解】
解：，
．
24. 如图，在中，，是线段延长线上的动点，在线段上取一点，使．
（1）当点在线段上时，且，求的度数；
（2）若，且是直角三角形，则______
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据三角形外角的定义与角的和差关系求解，即可得到答案；
（2）先利用三角形内角和定理，得到，再分两种情况讨论：①当时；②当时，利用三角形内角和定理与三角形外角的定义分别求解，即可得到答案．
【小问1详解】
解：，，
，
是的外角，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
①如图，当时，
，
，
，
，
是的外角，
，
；
②如图，当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的外角，
，
，
综上可知，的度数为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，根据图形找出角度之间的数量关系是解题关键．
25. 将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题．
（1）观察图1，写出代数式，，之间的等量关系：______；
（2）若，，则 _____；
（3）如图2，边长为5的正方形中放置两个长和宽分别为，（，）的长方形，若长方形的周长为12，面积为，求图中阴影部分的面积的值．
【答案】（1）
（2）28，20 （3）
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值及其在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
（1）根据图1中左边一幅图空白部分面积可以表示为4个小长方形面积，也可以表示为大正方形面积减去中间阴影部分正方形面积进行求解即可；
（2）先根据完全平方公式求出，再代入，即可求出的值，再根据（1）的结论求出的值即可；
（3）由题意得，，根据长方形面积和周长得到，进而得到，再根据正方形面积公式求出，代值计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：图1中左边一幅图空白部分面积可以表示为4个小长方形面积，即；
图1中右边一幅图空白部分面积可以表示大正方形面积减去中间阴影部分正方形面积，即；
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：28，20；
【小问3详解】
解：如图所示，
由题意得，，
∵长方形的周长为12，面积为，
∴，
∴，
∴
．
26. 已知射线射线于点A，点D，F分别在射线，上，过点D，F作射线，，使，如下图所示．
（1）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
（2）如下图，已知的角平分线与的角平分线相交于点P．
①当时，则______；
②当（）时，的大小是否保持不变？若不变，请说明理由；若改变，请求出的度数．
（3）当沿射线平移且时，请直接写出的角平分线与的角平分线所在直线相交形成的的度数．
【答案】（1）DE∥FG，理由见解析
（2）①135°；②的大小保持不变，即
（3）当的角平分线与的角平分线相交于点P时，；当的角平分线与的角平分线的反向延长线相交于点P时，
【解析】
【分析】（1）过点A作，利用平行线的性质和垂线的定义来进行求解；
（2）①利用角平分线定义求得，，再利用三角形内角和定理和对顶角相等求得来求解；②过点P作，根据平行线的性质和角平分线来求解；
（3）利用（2）的方法来求解．
【小问1详解】
解：．
理由如下：
过点A作，
∴．
∵射线射线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
【小问2详解】
解：①∵，，
∴，．
∵平分，平分，
∴，.
∵，
∴，
∴．
故答案为：135°；
②解：的大小保持不变，即．
理由如下：过点P作，
∴．
∵且，
∴，．
∵平分，平分，
∴，
．
∵，
∴．
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如下图，当的角平分线与的角平分线相交于点P时，过点P作，用（2）的方法求得；
如下图，当的角平分线与的角平分线的反向延长线相交于点P时，过点P作，用（2）的方法求得．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线，垂线，理解相关知识是解答关键．