浙江省宁波市海曙区外国语学校2023-2024八年级下学期数学期中试题(原卷+解析)

宁波市海曙外国语学校2023学年第二学期期中测试
八年级数学试题卷
（满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2. 数据3，3，4，4，4，5，7的众数是（）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
3. 菱形的两条对角线长分别为6与8，则此菱形的面积为（　 　）
A48 B. 20 C. 14 D. 24
4. 已知反比例函数，则下列各点中，不在该函数图象上的是（）
A. B. C. D.
5. 若正多边形的一个内角是135°，则该正多边形的边数是（）．
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
6. 用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中（）
A. 至少有两个角是直角 B. 没有直角
C. 至少有一个角是直角 D. 有一个角是钝角，一个角是直角
7. 已知平行四边形的对角线，交于点O，点E是边的中点，连接．若的周长为15，则的周长是（）
A. 15 B. 20 C. 25 D. 30
8. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（ ）
A. B. C. 4 D. 8
9. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）的图像与x、y轴分别交于点A、B，直线AB与双曲线）分别交于点P、Q、若，则k的值为（）
A2 B. 4 C. 6 D. 8
10. 如图，已知，，，均垂直于，，，，，则的值为（）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员 10 次射击的平均成绩都是 7 环，其中甲的成绩的方差为 1.2，乙的成绩的方差为 3.9，由此可知_____的成绩更稳定．
12. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则______________．
13. 已知反比例函数位于第二象限与第四象限，则的取值范围是______．
14. 若数据，，的平均数是3，则数据，，的平均数是______．
15. 如图，点在反比例函数上，垂直轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，，若的面积为9，则______．
16. 如图，在正方形中，和分别在边和边上移动，且，，如果，则的最小值为______．
三、解答题（第17题6分，18题6分，19题8分，20题10分，21题10分，22题12分，23题14分，共66分）
17. 图1，图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，，两点都在格点上，连结，请完成下列作图：
（1）以对角线在图1中作一个正方形．且正方形各顶点均在格点上；
（2）以为对角线在图2中作出一个面积为8的平行四边形（不含矩形），且平行四边形顶点在格点上．
18. 为了解全校1000名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，随机调查了该校100名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，结果如表：
时间（分） 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
人数 16 24 14 10 8 6 8 4 6 4
完成下列问题：
（1）根据统计表信息，这100名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的中位数为______，众数为______；
（2）请估计该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生大约有多少人？
19. 如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DE⊥BC于点F，连接EF，求证：
（1）△ADE≌△CDF；
（2）若∠A＝60°，AD＝4，求△EDF的周长．
20. 如图，直线与双曲线相交于两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）直接写出当时，的取值范围；
（3）连接，求的面积．
21. 如图，已知，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求长．
22. 根据以下素材，完成任务
设计货船通过双曲线桥方案
素材1 一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．
素材2 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度（米）与货船增加的载重量（吨）满足函数表达式．
（1）建立平面直角坐标系如图3所示，显然，落在第一象限的角平分线上．
甲说：点可以在第一象限角平分线的任意位置．
乙说：不对吧？当点落在时，______，可得点A的坐标为______，此时过点A的双曲线的函数表达式为______，而点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意；
（2）①若设点坐标为，求出的值以及点所在双曲线的函数表达式；
②此时货船能不能通过该桥洞，若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物（直接写出答案）．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数图象上一点作轴的平行线交直线于点，且．
图1 图2
（1）①求的长度（用含有的代数式表示）；
②求的值，并写出的解析式；
（2）过函数图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？请说明理由；
（3）如图2，若是函数图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由．宁波市海曙外国语学校2023学年第二学期期中测试
八年级数学试题卷
（满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
2. 数据3，3，4，4，4，5，7的众数是（）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了众数的定义，熟知众数的定义是解题关键．一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数．根据众数的定义即可得出答案．
解：数据3，3，4，4，4，5，7中，4出现的次数最多，所以这组数据的众数是4，
故选：B．
3. 菱形的两条对角线长分别为6与8，则此菱形的面积为（　 　）
A. 48 B. 20 C. 14 D. 24
【答案】D
【解析】
6×8÷2=24
故选D.
4. 已知反比例函数，则下列各点中，不在该函数图象上的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的图象上的点，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．
分别将各点的坐标代入关系式，成立即符合题意，验证即可．
解：对于A，将，代入，得，所以该点不在函数图象上；
对于B，将，代入，得，所以该点在函数图象上；
对于C，将，代入，得，所以该点在函数图象上；
对于D，将，代入，得，所以该点在函数图象上．
故选：A．
5. 若正多边形一个内角是135°，则该正多边形的边数是（）．
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．
解：∵正多边形的一个内角是135°，
∴该正多边形的一个外角为45°，
∵多边形的外角之和为360°，
∴边数＝＝8，
∴这个正多边形的边数是8．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为360°，此题难度不大．
6. 用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中（）
A. 至少有两个角是直角 B. 没有直角
C. 至少有一个角是直角 D. 有一个角是钝角，一个角是直角
【答案】A
【解析】
解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先设这个三角形中有两个角是直角．
故选A．
7. 已知平行四边形的对角线，交于点O，点E是边的中点，连接．若的周长为15，则的周长是（）
A. 15 B. 20 C. 25 D. 30
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到，，，再根据三角形的中位线性质得到，，然后根据三角形的周长求解即可．
解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵点E是边的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵的周长为15，
∴，
∴的周长是，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线性质，熟练掌握平行四边形的性质和三角形的中位线性质的运用是解答的关键．
8. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（ ）
A. B. C. 4 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】由AE为角平分线，得到∠DAE=∠BAE，由ABCD为平行四边形，得到DC//AB，推出AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由△ADF≌△ECF（AAS），得出AF=EF，即可求出AE的长．
解：∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴DC//AB，
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
又F为DC的中点，
∴DF=CF，
∴AD=DF=DC=AB=2，
在Rt△ADG中，DG=1，
∴AG==，
∵DG⊥AE，
∴AF=2AG=2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
在△ADF和△ECF中，，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF=EF，
则AE=2AF=4．
故选：B．
9. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）的图像与x、y轴分别交于点A、B，直线AB与双曲线）分别交于点P、Q、若，则k的值为（）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】过点作轴，轴，设，则有，可求，，从而可求，即可求解．
解：如图，过点作轴，轴，
设，则有，
由得：，，
，，，，
，
，
在中：
，
同理可求：；
，
，
整理得：，
即：，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数中的几何意义，勾股定理，理解的几何意义掌握勾股定理是解题的关键．
10. 如图，已知，，，均垂直于，，，，，则的值为（）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】如图，，，均垂直于，过点作，交于点，交于点，延长交于点，作，交于点，然后根据矩形和直角三角形的性质求解本题通过作辅助线，构造矩形和直角三角形利用矩形和直角三角形的性质和勾股定理求解
解：∵，，均垂直于，
∴，
如图，过点作，交于点，交于点，延长交于点，作，交于点，
∴四边形，，是矩形，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴，
∵，四边形，，是矩形，
∴，，，
∴
∴
故选：C.
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员 10 次射击的平均成绩都是 7 环，其中甲的成绩的方差为 1.2，乙的成绩的方差为 3.9，由此可知_____的成绩更稳定．
【答案】甲
【解析】
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
解：因为S甲2=1.2＜S乙2=3.9，方差小的为甲，所以本题中成绩比较稳定的是甲．
故答案为甲；
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称点的坐标特征，求解即可．
解：点与点关于原点对称，
则，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键．
13. 已知反比例函数位于第二象限与第四象限，则的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数的性质，不等式的性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
由题意得：，再根据不等式的性质即可求解．
解：由题意得：，
∴，
故答案：．
14. 若数据，，的平均数是3，则数据，，的平均数是______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了算术平均数，掌握平均数的公式是解题的关键．
根据平均数的公式进行计算即可．
解：∵数据，，的平均数是3，
∴，
∴
．
故答案为：7．
15. 如图，点在反比例函数上，垂直轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，，若的面积为9，则______．
【答案】
【解析】
【分析】此题重点考查反比例函数中比例系数的几何意义，解题的关键是正确地作出辅助线．
过点作轴的垂线，得到矩形，连接，则矩形的面积是面积的2倍，所以只要根据的面积求出的面积即可．
解：如图，连接，作轴于点，
∵垂直轴，，
∴四边形为矩形，
，
，
，
，，
，
，
∵，
∴．
故答案为：．
16. 如图，在正方形中，和分别在边和边上移动，且，，如果，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先证明，则为等腰直角三角形，因此，转化为，可求，，设正方形边长为a，则，设，则在中，由勾股定理得：，化简得到，故问题转化为求a的最小值，当时即可求解．
解：如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
设正方形边长为a，则，
在中，由勾股定理得，，
设，
则在中，由勾股定理得：
，
解得：，
即，故问题转化为求a的最小值，
∵，即时，最小，正方形边长a最小，
∵时，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，垂线段最短等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键．
三、解答题（第17题6分，18题6分，19题8分，20题10分，21题10分，22题12分，23题14分，共66分）
17. 图1，图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，，两点都在格点上，连结，请完成下列作图：
（1）以为对角线在图1中作一个正方形．且正方形各顶点均在格点上；
（2）以为对角线在图2中作出一个面积为8的平行四边形（不含矩形），且平行四边形顶点在格点上．
【答案】（1）作图见
（2）作图见
【解析】
【分析】（1）根据正方形的判定与性质，结合网格特点作图即可；
（2）根据平行四边形的判定与性质，结合网格特点作图即可．
【小问1】
解：如图所示的正方形即为所求
∵，同理可求，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形；
【小问2】
解：如图所示的平行四边形即为所求：
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴平行四边形即为所求．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图、平行四边形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握正方形，平行四边形的判定与性质．
18. 为了解全校1000名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，随机调查了该校100名学生一周内平均每天在家进行体育锻炼时间的情况，结果如表：
时间（分） 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
人数 16 24 14 10 8 6 8 4 6 4
完成下列问题：
（1）根据统计表信息，这100名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的中位数为______，众数为______；
（2）请估计该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生大约有多少人？
【答案】（1）25，20
（2）360
【解析】
【分析】本题考查了利用统计表获取信息的能力．利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．同时考查了中位数和众数的概念以及用样本估计总体．
（1）找出表格中按大小次序排好后位于中间的数和出现次数最多的数即可求解．
（2）借助表格查找时间不少于35分钟学生的人数，除以样本容量，然后乘全校人数即可求解．
【小问1】
解：将数据从小到大排列，第50，51名学生的锻炼时间为25分钟，
∴中位数为，
锻炼时间为20分钟的人数最多为24人，
∴众数为20；
【小问2】
解：（人），
故该校一周内平均每天在家体育锻炼时间不少于35分钟的学生大约有360人．
19. 如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DE⊥BC于点F，连接EF，求证：
（1）△ADE≌△CDF；
（2）若∠A＝60°，AD＝4，求△EDF的周长．
【答案】（1）见解析；（2）6
【解析】
【分析】（1）利用菱形的性质得到AD=CD，∠A=∠C，进而利用AAS证明两三角形全等；
（2）由△ADE≌△CDF得到DE=DF，进而证明出△DEF是等边三角形，再解直角三角形求出DF的长，即可求出△EDF的周长．
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C，
∵DE⊥BA，DF⊥CB，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
在△ADE和△CDF，
∵，
∴△ADE≌△CDF；
（2）∵△ADE≌△CDF，
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∵菱形ABCD，DE⊥AB于点E，∠A＝60°，
∴∠ADC＝120°，∠ADE＝30°，
∴∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
在Rt△AED中，∵AD＝4，∠A＝60°，
∴DE＝sin60°AD＝2，
∴△EDF的周长＝3DE＝6．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握菱形的性质以及AAS证明两三角形全等，此题难度一般．
20. 如图，直线与双曲线相交于两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）直接写出当时，的取值范围；
（3）连接，求的面积．
【答案】（1）直线的解析式为；双曲线的解析式为
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式、函数与不等式的关系，三角形面积以及观察函数图象的能力．
（1）由点的坐标求出，得出双曲线的解析式为，求出的坐标为，由点和的坐标以及待定系数法即可求出直线的解析式为直线；
（2）根据图象即可求得；
（3）设直线与轴交于点，则，由，即可求得答案．
【小问1】
解：把代入得，，
，
双曲线的解析式为，
点在双曲线上，
，
，
，
把，代入，得，
解得：，
直线的解析式为；
【小问2】
解：的解集为一次函数图像在反比例函数图像下方时对应的交点横坐标的取值范围，
∴由图象可得：的取值范围为或．
【小问3】
设直线与轴交于点，
如图，
当时，得，
∴，
；
21. 如图，已知，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得到，推出，根据平行四边形的判定即可得到结论；
（2）过作于，根据矩形的判定和性质和勾股定理可以求出的长，进而求出的长，再根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【小问1】
证明：，，
垂直平分，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
【小问2】
过作于，
，
，
由（1）可知，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
∴，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
22. 根据以下素材，完成任务
设计货船通过双曲线桥的方案
素材1 一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．
素材2 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度（米）与货船增加的载重量（吨）满足函数表达式．
（1）建立平面直角坐标系如图3所示，显然，落在第一象限的角平分线上．
甲说：点可以在第一象限角平分线的任意位置．
乙说：不对吧？当点落在时，______，可得点A的坐标为______，此时过点A的双曲线的函数表达式为______，而点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意；
（2）①若设点坐标为，求出的值以及点所在双曲线的函数表达式；
②此时货船能不能通过该桥洞，若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物（直接写出答案）．
【答案】（1）12，，
（2）①；②2吨
【解析】
【分析】（1）过点C作轴于点G，在中，运用勾股定理求得，而，则；过点、分别作轴、轴的平行线交于，过点作于，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理求得，即可求出点A的双曲线的函数表达式；
（2）①可表示，，则，而，
代入得：，解方程即可求出，继而求出点C坐标以及过点C的反比例函数解析式；
②设，，其中，则，，可得，由，，可得，，可得，再根据矩形的性质可得，即可判断此时货船不能通过；运用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得直线与双曲线的交点，即可求得答案．
【小问1】
解：过点C作轴于点G，
∵点落在时，
则，而，
∴为等腰直角三角形，则，
则在中，，而，
∴；
设直线表达式为：，
代入得：，
∴第一象限角平分线为直线，
落在第一象限的角平分线上，
、关于对称，即、关于第一象限角平分线对称，
点是的中点，，
过点、分别作轴、轴的平行线交于，过点作于，如图，
∴，
∴，
∴
则、是等腰直角三角形，
，
设，
则在中，由勾股定理得：，
解得，
，
，
，
，同理可求：，
∴，
设反比例函数解析式为：，
将点A代入得：，
点在双曲线上，
点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意．
【小问2】
解：①由题意得，
由（1）得，，
∴，，
∴，而，
代入得：，
解得：，
∴，
∴，
∴经过点C的双曲线表达式为：；
②设，，其中，则，如图，
点在直线上，
，即，
∴，，
，，
∴，即，
∵，与x轴正方向夹角为，
∴线段的水平距离和铅锤距离均为，
∴，
，
，
，
∴反比例函数解析式为，
由，解得：，，
∴，，
四边形是矩形，
，，
∵，
∴，
同理可求，
即，
，
∴同理可求
即：，
，
此时货船不能通过该桥洞；
∵，
∴，
∴设直线的解析式为，把代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
联立得，
解得：（舍去），，
，
，即，
，
，
故要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．
【点睛】本题是反比例函数应用题，考查了待定系数法，一次函数、反比例函数的图象和性质，矩形的性质等，解题关键是关键是根据坐标系列出相应的函数解析式．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数图象上一点作轴的平行线交直线于点，且．
图1 图2
（1）①求的长度（用含有的代数式表示）；
②求的值，并写出的解析式；
（2）过函数图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？请说明理由；
（3）如图2，若是函数图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①；②，解析式为：
（2）成立，理由见
（3）存在点P，且为，此时周长最小值为4
【解析】
【分析】（1）用a的代数式表示出、，根据求出的值，然后利用待定系数法求出的值即可；
（2）设，则，根据两点间距离公式求出的长即可；
（3）设直线交轴于点，连接，，结合（2）可知，当且仅当、、三点共线时，矩形的周长取到最小值．
【小问1】
解：①∵轴，
∴，
∴时，，
∴，
②∵，
∴，
解得：，
∴，
将点A代入得：，
∴解析式为：；
【小问2】
解：成立，
设，则，
，
∴
而，
∴
．
【小问3】
解：存在点P，使得矩形的周长取得最小值，
设直线交轴于点，连接，，由（2）得，，
∵矩形的周长，
，
当且仅当、、三点共线时，矩形的周长取到最小值，
∴，将代入得，
∴此时，点的坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及两点间距离公式、垂线段最短、存在性问题，综合性很强，要灵活处理，同时注意从多角度解题．