北师大版九年级 数学下册第二章二次函数 专题02二次函数y=ax2的图像和性质 题型专练（含解析）

专题02 二次函数的相图像和性质（七大类型）
【题型1 二次函数y=ax2顶点与对称轴问题】
【题型2 二次函数y=ax2顶开口方向和开口大小问题】
【题型3 二次函数y=ax2图像性质】
【题型4 二次函数y=ax2平移规律】
【题型5 二次函数y=ax2中y值大小比较问题】
【题型6二次函数y=ax2与一次函数综合问题】
【题型7 二次函数y=ax2图像及性质的实际应用】
【题型1 二次函数y=ax2顶点与对称轴问题】
1．抛物线的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数的顶点坐标是 ．
【题型2 二次函数y=ax2顶开口方向和开口大小问题】
3．下列抛物线中，开口最小的是（ ）
A． B． C． D．
【题型3 二次函数y=ax2图像性质】
4．抛物线的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
5．抛物线，，的共同性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是轴 C．都有最高点 D．随的增大而增大
6．关于函数y＝36x2的叙述，错误的是（　　）
A．图象的对称轴是y轴
B．图象的顶点是原点
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．y有最大值
7．对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数有最小值 B．函数图象开口向下
C．函数图象顶点坐标是 D．y随x增大而减小
8．关于函数的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．的值越大，开口越大 B．的值越小，开口越小
C．的绝对值越大，开口越小 D．的绝对值越小，开口越小
9．抛物线与在同一平面直角坐标系内，下列说法不正确的是（　　）
A．顶点坐标相同 B．对称轴相同
C．开口方向相反 D．都有最小值
10．下列关于二次函数的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点 B．当时，y随x的增大而减小
C．当时，y有最大值为0 D．它的图象的对称轴是直线
11．如图，的图象上可以看出，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．任写一个开口向上，对称轴为轴的二次函数解析式 ．
13．已知抛物线有最低点，则 ；
14．如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：①；②；③；④．比较的大小，用“”连接为 ．

【题型4 二次函数y=ax2平移规律】
15．在平面直角坐标系中，将抛物线向上平移6个单位，得到的抛物线所对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
16．把抛物线向上平移2个单位后，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
17．将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 二次函数y=ax2中y值大小比较问题】
18．已知二次函数的图象上有两点，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
20．已知点在抛物线上，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．不能确定
21．点，在抛物线上，则 （填“＞”，“＜”或“＝”）
22．函数的图象对称轴左侧上有两点，，则 0（填“>”、“<”或“=”号）．
【题型6二次函数y=ax2与一次函数综合问题】
23．下列图象中，当时，函数与的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【题型7 二次函数y=ax2图像及性质的实际应用】
24．如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积是（　　）

A．4π B．2π C．π D．无法确定
25．在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为 ．

26．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，若，则a的值是 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据抛物线解析式，可直接求出对称轴．
【详解】解：抛物线解析式为，
对称轴为．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是记住二次函数的对称轴是直线．
2．
【分析】把二次函数的解析式化为顶点式即可．
【详解】解：，
故顶点坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数一般式与顶点式的转化．
3．D
【分析】根据二次函数的开口大小与有关，越大，开口越小．
【详解】解：∵，
∴，，，中开口最小的是．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟知二次函数的开口大小与有关，越大，开口越小是解题的关键．
4．A
【分析】根据抛物线的图象和性质，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的图象得对称轴为y轴，顶点坐标为原点，开口向上，
∴抛物线的图象一定经过第一、二象限．
故选：A
【点睛】本题主要查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
5．B
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以解答本题．
【详解】解：抛物线，，共有的性质是：
顶点坐标是都是即原点，对称轴都是y轴，
故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．D
【分析】根据二次函数的性质得出函数y＝36x2的对称轴及其增减性即可得出结论．
【详解】解：∵函数y＝36x2的顶点在原点，
∴其对称轴是y轴，顶点是原点，故A、B正确；
∵函数y＝36x2的开口向上，顶点是原点，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，y有最小值，故C正确，D错误．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2（a≠0）的顶点在原点，对称轴是y轴是解题的关键．
7．B
【分析】根据二次函数的性质进行逐项判断即可．
【详解】解：二次函数，开口向下，有最大值，对称轴为y轴，顶点为，
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
故A，C，D不符合题意；B符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟记二次函数的开口方向，顶点坐标，函数最值，增减性是解本题的关键．
8．C
【分析】抛物线的开口方向由a的符号确定，开口大小由|a|确定，据此回答.
【详解】解：因为|a|越大，抛物线的开口越小；
|a|越小，抛物线的开口越大．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线的开口，开口大小由|a|确定：|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．
9．D
【分析】利用抛物线的性质解答即可．
【详解】解：两个函数的顶点坐标都是（0，0），二次项的系数互为相反数，说明一个开口向上，一个开口向下．
故两条抛物线的交点为原点，两条抛物线关于x轴对称且两条抛物线关于原点对称；一个有最小值，一个有最大值．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数（a≠0）的性质，是基础知识，需熟练掌握．抛物线（a≠0）是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，a＞0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；a＜0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
10．B
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：A、因为，把代入，解得，故它的图象经过点，
故该选项是错误的，不符合题意；
B、因为，对称轴，开口向上，当时，y随x的增大而减小，故该选项是正确的，符合题意；
C、因为，对称轴，开口向上，当时，y有最小值为0，故该选项是错误的，不符合题意；
D、因为，对称轴，故该选项是错误的，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，难度较小．
11．C
【分析】根据函数图形得出和时的函数值，再确定出抛物线的最低点的函数值，即可．
【详解】解：由图象可知时，，
当时，，
而抛物线的对称轴为时，，
故选：．
【点睛】此题是二次函数图象上的点的坐标特征，主要从图象上看到关键的信息，解本题的关键是自变量的范围内包括对称轴，要特别注意．
12．（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：二次函数开口向上说明，对称轴为y轴，则有该二次函数解析式可以为；
故答案为（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．2
【分析】抛物线有最低点，则抛物线开口向上，即可求解．
【详解】解：因为抛物线有最低点，
∴抛物线开口向上，，
则，
故答案为：2
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14．
【分析】根据抛物线的开口方向和大小解答．
【详解】解：由抛物线的开口方向和大小可知，，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象，掌握抛物线的开口越大，二次项系数的绝对值越小是解题的关键．
15．A
【分析】根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可．
【详解】解：将抛物线向上平移6个单位，可得：；
故选A．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规则，是解题的关键．
16．D
【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像的平移规律解答即可．
【详解】将抛物线向上平移2个单位所得的抛物线的关系式为．
故选：D．
17．D
【分析】根据二次函数平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．
【详解】解：将抛物线先向右平移个单位，得到，
再向上平移个单位，得到的抛物线是，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键．
18．A
【分析】先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点A和点B的横坐标，结合给出的纵坐标的大小，判断a的取值范围即可．
【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线，
∴点关于对称轴对称的点的坐标为，
∵，且，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数固象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．
19．B
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入二次函数解析式，计算出、、的值，然后比较它们的大小．
【详解】解：当时，；
当时，；
当时，；
所以．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
20．A
【分析】分别把代入解析式求解．
【详解】把代入得，
把代入得，
，
，
故选：A.
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数上点的特征．
21．<
【分析】根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线，抛物线的开口向下，比较即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴是直线，抛物线的开口向下，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质等知识点，能熟记二次函数的图象和性质的内容是解此题的关键．
22．<
【分析】根据函数的性质进行判断即可；
【详解】解：∵的图象对称轴为轴，开口向上，顶点在原点，
∴在轴左侧随的增大而减小，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是对函数增减性的应用．
23．D
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象等知识，二次函数当时，开口向上，当时，开口向下；一次函数当函数图象经过一二三象限时，，，图象经过一三四象限时，，，函数图象经过一二四象限时，，，函数图象经过二三四象限时，，，据此结合条件逐项判断即可求解．
【详解】解：A. 直线经过的象限得到，，与矛盾，该选项是错误的；
B. 抛物线开口向下得到，而由直线经过第一、三象限得到，该选项是错误的；
C. 根据抛物线开口向上得到，而由直线经过第二、四象限得到，该选项是错误的；
D. 根据抛物线开口向下得到，则直线经过第二、四象限，并且，得到直线与y轴的交点在x轴下方，该选项是正确的；
故选：D
24．B
【分析】据函数与函数的图象关于轴对称，得出阴影部分面积即是半圆面积求出即可．
【详解】解：是函数的图象，是函数的图象，且当相等时，两个函数的函数值互为相反数，
函数的图象与函数的图象关于轴对称，
阴影部分面积即是半圆面积，
面积为：．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，根据已知得出阴影部分面积即是半圆面积是解题关键．
25．
【分析】根据二次函数性质可得出点 的坐标， 求得直线 为 ，联立方程求得 的坐标，即可求得 的坐标，同理求得 的坐标，即可求得 的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点 的坐标；
【详解】解：∵A点坐标为，
∴直线为，
∵，
∴直线为，
解得或，
∴，
∴，
∵，
∴直线为，
解得或，
∴，
∴
…，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键
26．
【分析】
将分别代入和，即可得出求出，长度，根据得出，从而得出a的值
【详解】
解：把代入中得，，
∴
∴A的横坐标为，B横坐标为
∴
把代入得，，
∴
∴C的横坐标为，D横坐标为
∴
∵，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键．
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