山东省青岛市部分学校2023-2024八年级下学期4月期中数学试题（含解析）

2023－2024学年度第二学期期中学业水平质量检测八年级数学学科
（考试时间：120分钟；满分：120分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在下面的四个图形中，能由左图经过平移得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列从左到右的变形，是分解因式的是( )
A． B．
C． D．
4．已知点在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．用反证法证明命题：“在中，，则”．应先假设（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知中，，，将绕点A顺时针方向旋转到的位置，连接，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，是的垂直平分线，恰好平分．若，则的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．
8．如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，则阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
9．王老师准备用60元买钢笔和墨囊，已知一支钢笔5元；一盒墨囊8元，他购买了5支钢笔，则他最多还能买（ ）盒墨囊．
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在△ABC中，，按以下步骤作图．若，则的长是（ ）
①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点E，F；
②分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点O；
③作射线，交于点D；
④以点D为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；
⑤分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，连接交于点H

A． B．4 C．3 D．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．分解因式： ．
12．不等式的解集，则m的取值范围为 ．
13．线段的两端点坐标分别为，，经过平移后，点A的对应点，则点B的对应点坐标为 ．
14．如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是 ．
15．若等边内一点P到三边的距离分别为3，4，5，则的面积为 ．
16． 如图，在中，，于，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点，下列五个结论：①；②；③；④；⑤连接，若，则，其中正确的结论有 ．（填序号）
三、解答题（共72分）
17．如图，已知A，B，C是平面直角坐标系上的三个点．

(1)请画出关于原点O对称的；
(2)将向右平移8个单位得到，请画出；
(3)与是否也关于某个点成中心对称？如果是，请写出它们对称中心的坐标，如果不是，请说明理由．
18．尺规作图：如图所示，一条铁路经过、两地，计划修一条经过到铁路的最短公路，并在公路上建一个维修站，使得到、距离相等．
19．（1）解不等式，并把解集表示在数轴上．
（2）求不等式组的解集．
（3）因式分解：．
20．如图，中，，，，过的垂直平分线上一点作于，延长线于；且，连接．
(1)求证：；
(2)的长为______．
21．某印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：
（1）填空：甲种收费的函数表达式是 ，乙种收费的函数表达式是 ．
（2）请你根据不同的印刷数量帮忙确定选择哪种印刷方式较合算．
22．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于E、F．
（1）试说明△CEF是等腰三角形．
（2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，试说明线段AC与线段AB之间的数量关系．
23．要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．

(1)设制作A种木盒x个，则制作B种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材__________张；
(2)该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；
(3)包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．
24．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
根据　　　　，易证△AFG≌　　　　，得EF=BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系　　　　时，仍有EF=BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
25． 在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在第一象限，作射线．给出如下定义：如果点在的内部，过点作于点，于点，那么称与的长度之和为点关于的“内距离”，记作，即．
(1)如图1，若点在的平分线上，则___________，___________，___________；
(2)如图2，若，点（其中）满足，求的值；
(3)若，点在的内部，用含，的式子表示 （直接写出结果）．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查的是平移的概念，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．根据平移的性质判断即可．
【解答】解：D选项图形中，是由如图经过平移得到的图形，
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可求出答案．
【解答】解：A、∵，根据不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变可知：，当不一定小于，故选项不成立，不符合题意；
B、∵，根据不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变可知：，故选项不成立，不符合题意；
C、∵，当时，不等式不成立，故选项不成立，不符合题意；
D、∵，根据不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变可知：，故选项成立，符合题意；
故选：D．
3．A
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
【解答】A、 是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项符合题意；
B、 中含有分式，此选项不符合题意；
C、 不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项不符合题意；
D、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查分解因式的定义，解题的关键是掌握分解因式的定义．
4．C
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内各象限内点的坐标的特征，解不等式组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据点在第四象限，可得，解出即可求解．
【解答】解：∵点在第四象限，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴，
在数轴上表示如下：
故选：C．
5．D
【分析】假设结论不成立，即
【解答】∵命题：“在中，，则”，
∴假设为：，
故选：D
【点拨】本题考查了用反证法证明命题，掌握反证法的假设为结论不成立是解决问题的关键
6．A
【分析】本题主要考查了旋转变换的性质，由，可求出，由旋转得从而可求出
【解答】解：∵在中，，，
∴,
又将绕点A顺时针方向旋转到的位置，
∴,
∴，
故选：A
7．A
【分析】本题考查的是角平分线的性质，含的直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和定理的应用，证明是解本题的关键．先证明，，再求解，利用含30度角的直角三角形的性质可得答案．
【解答】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵平分，且，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了平移的性质．正确表示阴影部分的面积是解题的关键．
由平移的性质可知，，，，则，根据，计算求解即可．
【解答】解：由平移的性质可知，，，，
∴，
∴，
故选：B．
9．B
【分析】本题考查不等式的应用，理解题意，设恰当未知数，找出不等量关系，列出不等式是解题的关键．设他还能买盒墨囊，根据买冰激凌的钱买手抓饼的钱要小于或等于60元，列不待式求解即可．
【解答】解：设他还能买x盒墨囊，根据题意，得：
，
解得：，
∵x为整数，
∴他最多还能买4盒墨囊．
故选：B．
10．B
【分析】过D点作于K，由作法得：平分，根据角平分线的性质可得，再由直角三角形的性质可得，再由勾股定理可得，即可求解．
【解答】解：过D点作于K，如图，

由作法得：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，尺规作图，勾股定理，角平分线的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键．
11．
【分析】本题考查因式分解，提公因式即可分解．
【解答】解：．
故答案为：
12．
【分析】根据不等式性质解答即可，本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【解答】解：∵不等式的解集，
∴，
解得：．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了坐标系中图形的平移，熟知上加下减，左减右加的规律是解题的关键．坐标系中点的平移遵循：上加下减，左减右加的规律，据此可由点A平移前后的坐标得出平移方式，即可解答．
【解答】解：∵点经过平移后得到像点，
∴点A的平移方式是先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，
∴点经过平移后得到的像点的坐标为；
故答案为：．
14．##
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可．
【解答】函数和的图象相交于点
不等式，即解集为：函数的图像在的函数图像上方的范围
观察图可知，解集为
将代入中，
得：
解得：
因此，当时，
即函数与轴的交点为：
，即解集为：函数的图像在轴上方的范围
解集为：
综上：不等式的解集为：
故答案为：
15．
【分析】本题考查等边三角形的面积，勾股定理，
连接，，，过点P作于点D，于点E，于点F，等边的边长为a，则．过点A作于点H，则，，，从而得到方程，求解即可解答．
【解答】解：如图，连接，，，过点P作于点D，于点E，于点F，
∴，，，
设等边的边长为a，即，
∴，
过点A作于点H，则，
∴在中，，
∴，
∴，
解得或（不合题意，舍去）
∴．
故答案为：
16．①②③⑤
【分析】证明，可得，故①正确；由，可得，再证明为等腰三角形，从而得到，进而得到，易知，故②正确；结合可得，进而证明，故③正确；根据题意无法确定、的大小关系，则无法得到，故④错误；结合三角形中线的性质可得，，进而可得，故⑤正确．
【解答】解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
根据题意无法确定的大小、的大小关系，
∴无法得到，故④错误；
∵，
∴，，
∴，
即，
又∵，
∴，故⑤正确．
综上所述，正确的有①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角两锐角互余、等腰三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)与关于点对称，理由见解析
【分析】（1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到A、B、C对应点，然后顺次连接即可；
（2）先根据平移方式找到的对应点，然后顺次连接即可；
（3）求出的中点是同一点，即，则与关于点对称．
【解答】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；

（3）解：与关于点对称，理由如下：
由题意得，，，，，，，
∴的中点坐标分别为，，，即的中点是同一点，
∴与关于点对称．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形变化——平移和中心对称，画平移图形，画中心对称图形，找对称中心等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
18．见解析
【分析】本题考查了作垂线，垂线段最短，垂直平分线的性质；先过点作的垂线，再作的垂直平分线，两直线相交于，点即为所求
【解答】如图所示，点即为所求；
19．（1）；数轴见解析；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了解不等式和不等式组，因式分解，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）先去括号，然后再移项，合并同类项，最后把系数化为1，并把解集表示在数轴上即可；
（2）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可；
（3）用提公因式法分解因式即可．
【解答】解：（1），
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
把解集表示在数轴上，如图所示：
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：；
（3）
．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，垂直平分线的性质，勾股定理；
（1）根据题意得出，进而证明，即可得证；
（2）勾股定理求得，根据垂直平分线的性质得出，，，证明四边形是矩形，可得，，设，则，，在，中得出，进而根据建立方程，解方程得出，进而在中，勾股定理，即可求解．
【解答】（1）解：∵，
∴，
在中，
∴，
∴，
（2）∵中，，，，
∴
∵是的垂直平分线，
∴，，，
又∵
∴
∴四边形是矩形，
∴，，
设，则，，
∴，
在中，，
在中，
∵
∴
解得：，
∴，
在中，．
故答案为：．
21．（1）y=0.1x+6（x≥0）；y=0.12x（x≥0）（2）当0≤x＜300时，选择乙种方式较合算；当x=300时，选择甲乙两种方式都可以；当x>300时，选择甲种方式较合算．
【分析】（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，直接运用待定系数法就可以求出结论；
（2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当y1＞y2时，当y1=y2时，当y1＜y2时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式．
【解答】解：（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，
由题意，得，12=100k1，
解得：，k1=0.12，
∴y1=0.1x+6（x≥0），y2=0.12x（x≥0）；
（2）由0.1x+6＞0.12x，得x＜300；
由0.1x+6=0.12x，得x=300；
由0.1x+6＜0.12x，得x＞300．
由此可知：当0≤x＜300时，选择乙种方式较合算；
当x=300时，选择甲乙两种方式都可以；
当x>300时，选择甲种方式较合算．
22．（1）见解析（2）见解析
【分析】（1）首先根据条件∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，可证出∠B+∠BAC＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，再根据同角的补角相等可得到∠ACD＝∠B，再利用三角形的外角与内角的关系可得到∠CFE＝∠CEF，最后利用等角对等边即可得出答案；
（2）线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，由于AE是∠BAC的平分线，得到∠CAE＝∠EAB，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠EAB，
∵∠EAB+∠B＝∠CEA，∠CAE+∠ACD＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CF＝CE，
∴△CEF是等腰三角形；
（2）∵点E恰好在线段AB的垂直平分线上，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠EAB，
∴∠CAB＝2∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴AC＝AB．
【点拨】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
23．(1)，
(2)制作A种木盒100个，B种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板50张
(3)A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元
【分析】（1）根据题意即可求解；
（2）根据题意可得，制作一个A种木盒需要长、宽均为的木板5个，制作一个B种木盒需要长、宽均为的木板1个，长为10cm、宽为的木板4个；甲种方式可切割长、宽均为的木板4个，乙种方式可切割长为10cm、宽为的木板8个；列关系式求解即可；
（3）先根据（2）中数据求得总成本金额，根据利润=售价-成本列式，根据一次函数的性质进行求解即可．
【解答】（1）解：∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个，
故制作B种木盒个；
∵有200张规格为的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张，
故使用乙种方式切割的木板材张；
故答案为：，．
（2）解：使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出个长、宽均为的木板，
使用乙种方式切割的木板材张，则可切割出个长为、宽为的木板；
设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为的木板个，
制作B种木盒个，则需要长、宽均为的木板个，需要长为、宽为的木板个；
故
解得：，
故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个，
使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，
（3）解：∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，
故总成本为（元）；
∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元，
即，
解得：，
故的取值范围为；
设利润为，则，
整理得：，
∵，故随的增大而增大，
故当时，有最大值，最大值为，
则此时B种木盒的销售单价定为（元），
即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一次函数的性质，一元一次不等式组的应用，根据题意找出等量关系进行列式是解题的关键．
24．解：（1）SAS；△AFE．
（2）∠B+∠D=180°．
（3）BD2+EC2=DE2．理由见解析
【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．
【解答】解：（1）思路梳理
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，
AI
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
则∠DAG=∠BAE，AE=AG，BE=DG，
∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，
即∠EAF=∠FAG，
在△EAF和△GAF中，，
∴△AFG≌△AEF（SAS）．
∴EF=FG=DG+DF=BE+DF；
故答案为：SAS；△AFG；
（2）类比引申
∠B+∠ADC=180°时，EF=BE+DF；理由如下：
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2所示：

∴∠BAE=∠DAG，BE=DG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF，
∴EF=BE+DF，
故答案为：∠B+∠ADC=180°；
（3）联想拓展
猜想：DE2=BD2+EC2．理由如下：
把△ACE绕点A逆时针旋转90°到ABF的位置，连接DF，如图3所示：

则△ABF≌△ACE，∠FAE=90°，
∴∠FAB=∠CAE．BF=CE，∠ABF=∠C，
∴∠FAE=∠BAC=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAD=90°-45°=45°，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
在△ADF和△ADE中，
∴△ADF≌△ADE（SAS），
∴DF=DE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
∴∠C=∠ABF=45°，
∴∠DBF=∠ABF+∠ABC=90°，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD2+BF2=DF2，
∴BD2+EC2=DE2．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度．
25．(1)2；2；4
(2)
(3)
【分析】（1）由角平分线的性质得，即可得到；
（2）过点C作轴于点M，过点C作于点N，得到，，是等腰直角三角形，由得到，由勾股定理得到，则，可得到，解方程即可得到a的值；
（3）过点Q作轴于点C，交于点D，则四边形是矩形，证得，即可得到，由勾股定理得到，则，同理可得，则,得到，即可得到答案．
【解答】（1）解：∵点在的平分线上，
∴，
，
故答案是：2；2；4．
（2）解：过点C作轴于点M，过点C作于点N，

∵点（其中），
∴，，是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：过点Q作轴于点C，交于点D，则四边形是矩形，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴,
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查角平分线的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，坐标与图形，添加合适的辅助线构造直角三角形，是解题的关键．