福建省龙岩市2024届高中毕业班五月教学质量检测（三模）数学试题（含答案）

福建省龙岩市2024届高中毕业班五月教学质量检测（三模）数学试题
(满分:150分 考试时间:120分钟)
注意事项:
1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.
2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若全集,集合,则
A. B. C. D.[0,3]
2.若复数满足,则复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知,则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知向量.若在上的投影向量为,则
A.2 B.3 C.4 D.5
5.已知球的体积为,且该球的表面积与底面半径为2的圆锥的侧面积相等,则该圆锥的体积为
A. B. C. D.
6.声音的等级(单位:dB)与声音强度x(单位:)满足.喷气式飞机起飞时,声音的等级约为140dB.若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍,则一般说话时声音的等级约为
A.120dB B.100dB C.80dB D.60dB
7.已知曲线与曲线相交于A,B两点,直线AB交轴于点,则点的横坐标的取值范围为
A. B. C. D.
8.已知函数为的零点,为图象的对称轴,且在上有且仅有1个零点,则的最大值为
A.11 B.9 C.7 D.5
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数,则
A.在单调递增 B.是的零点
C.的极小值为0 D.是奇函数
10.在中,内角所对的边分别为且,则
A. B.若,则
C.若,则面积的最大值为 D.若,则
11.已知抛物线与圆交于A,B两点,且.过焦点的直线与抛物线交于M,N两点,点是抛物线上异于顶点的任意一点,点是抛物线的准线与坐标轴的交点,则
A.若,则直线的斜率为 B.的最小值为18
C.为钝角 D.点与点的横坐标相同时,最小
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.在的展开式中,的系数为____________.
13.互不相等的4个正整数从小到大排序为,若它们的平均数为4,且这4个数据的极差是中位数的2倍,则这4个数据的中位数为____________.
14.已知函数有且只有一个零点,则ab的取值范围为____________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题满分13分)
若数列是公差为1的等差数列,且,点在函数的图象上,记数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,记数列的前项和为,证明:.
16.(本题满分15分)
如图,在四棱台中,底面四边形ABCD为菱形,平面ABCD.
(1)证明:;
(2)若M是棱BC上的点,且满足,求二面角的余弦值.
17.(本题满分15分)
某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级,分别对应如下五组质量指标值:.根据长期检测结果,得到芯片的质量指标值服从正态分布,并把质量指标值不小于80的产品称为等品,其它产品称为等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本,统计得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据长期检测结果,该芯片质量指标值的标准差的近似值为11,用样本平均数作为的近似值,用样本标准差作为的估计值.若从生产线中任取一件芯片,试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字);
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表;②参考数据:若随机变量服从正态分布,则,.)
(2)(i)从样本的质量指标值在和[85,95]的芯片中随机抽取3件,记其中质量指标值在[85,95]的芯片件数为,求的分布列和数学期望;
(ii)该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件等品芯片的利润是元,一件等品芯片的利润是元,根据(1)的计算结果,试求的值,使得每箱产品的利润最大.
18.(本题满分17分)
动圆与圆和圆都内切,记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程;
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为,则曲线上一点处的切线方程为:.试运用该性质解决以下问题:点为直线上一点(不在轴上),过点作的两条切线,切点分别为.
(i)证明:;
(ii)点关于轴的对称点为,直线交轴于点,直线交曲线于G,H两点.记的面积分别为,求的取值范围.
19.(本题满分17分)
若函数的定义域为,有,使且,则对任意实数k,b,曲线与直线总相切,称函数为恒切函数.
(1)判断函数是否为恒切函数,并说明理由;
(2)若函数为恒切函数.
(i)求实数的取值范围;
(ii)当取最大值时,若函数为恒切函数,记,证明:.
（注：是自然对数的底数.参考数据：)
龙岩市2024年高中毕业班五月教学质量检测
数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 B C A C B D D B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
题号 9 10 11
选项 BC ACD BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．5 13． 14．
8. [解析]
为的零点
为图象的对称轴
，
又
当时,
,
当时，，故有2个零点,不符合，舍去.
当时，
当时，，此时有且仅有1个零点，
符合，选B.
[解析]
因为抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，
则第一象限内的交点A的纵坐标为，代入圆方程得横坐标为2，即，
所以，，即抛物线方程为，焦点为.
设，对选项A，由得，
则，又因为，解得，
所以直线l的斜率为，故A选项错误；
对选项B，由抛物线定义得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
因此的最小值为，B正确；
对选项C，如图，不妨设在第一象限，
设
设直线，联立抛物线的方程消，
得，
又，
所以，
，为钝角.
故C选项正确；
对选项D，
，，设，则，
由抛物线的定义可得，
，
又，
则，
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为，
故D选项正确.
故选：BCD.
14.[解析]依题意得与只有一个交点，即两曲线相切，
则只有一个解，
，化简得，将其代入，
得，
，即，.
，
则，设，
则，
在单调递减，,
的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15．（本题满分13分）
解：（1）由得，，………………3分
点在函数的图象上，
…………5分
显然数列为等比数列，首项为1，公比为3，则，……………………………………7分
…………………………………………10分
. 13分
16．（本题满分15分）
解：（1）在四棱台中, 延长后必交于一点，
故四点共面， 1分
因为平面,平面,故, 2分
连接，因为底面四边形为菱形，故, 3分
平面,
故平面, 5分
因为平面,所以. 6分
（2）过点A作的垂线，交与点N，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）,
设，则，
由于，故, 9分
则,，
则，，，
记平面的法向量为,
则,即，令，
则，即，
平面的法向量可取为，
则. 14分
所以二面角的余弦值为. 15分
17．（本题满分15分）
解：（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
．
即 2分
，所以，
因为质量指标值近似服从正态分布，
所以
， 4分
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为．
5分
（2）（i），所以所取样本的个数为20件，质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
，，
，，
随机变量的分布列为：
0 1 2 3
9分
所以的数学期望. 10分
（ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件，
设每箱产品的利润为元，
由题意知：，
由（1）知：每箱零件中A等品的概率为，
所以， 所以，
所以
. 12分
令
得，，
又，
所以当时，取得最大值. 14分
所以当时，每箱产品利润最大. 15分
18．（本题满分17分）
（1）设动圆的半径为，由题意得圆和圆的半径分别为，，
因为与，都内切，所以，，
所以， 2分
又，，故，
所以圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设的方程为：，则，，
即所以，
故的方程为：. 4分
（2）（i）证明：设，，，
由题意中的性质可得，切线方程为，
切线方程为，……………………5分
因为两条切线都经过点，所以，，
故直线的方程为：， 7分
所以，.
又，，所以直线. 9分
（ii）由（i）知直线的方程为：，过定点，
设直线的方程为：，
联立，整理得，
由韦达定理得， 11分
又，所以直线的方程为， 12分
令得，
， 14分
所以，设,同理得.
不妨设.
所以
，
所以，当且仅当时，即时取等号.
16分
所以， 17分
19．（本题满分17分）
解：（1）设函数为恒切函数，则有，
使且，即，
解得，故函数是恒切函数. 4分
（2）（i）由函数为恒切函数可知，
存在，使得且，
即解得，， 6分
设，，
当时，递增；当时，递减. 8分
，即实数的取值范围是. 9分
（ii）当时，， 10分
函数为恒切函数. 又，
所以存在，使得，即. 11分
令,则，
当时，递减；当时，递增.
所以当时，
，，
故在上存在唯一，
使得，即. 13分
又由
得
由得，所以. 15分
又，所以当时，有唯一零点，
故由得，即. 16分
17分