浙江省宁波市惠贞书院2022-2023八年级下学期数学期中考试卷（含解析）

浙江省宁波市惠贞书院2022-2023学年八年级下学期数学期中试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（3分）若线段a为线段4，线段9的比例中项，则线段a的值是（　　）
A．36 B．6 C．±6 D．±36
2．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
3．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A、B、C都在横线上．若线段AB＝3，则线段AC的长是（　　）
A．1.5 B．3 C．4 D．4.5
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是（　　）
A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C． D．
6．（3分）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔CD的高度，信号塔CD对面有一座高15米的瞭望塔AB，测得瞭望塔底B与信号塔底D之间的距离为25米，若从瞭望塔顶部A测得信号塔顶C的仰角为α，则信号塔CD的高为（　　）
A．米 B．（15+25 sinα）米
C．米 D．（15+25 tanα）米
8．（3分）如图，弦AB，CP相交于点D，点P为弧AB的中点，若AP＝4，DP＝2，则CD＝（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点G为△ABC 的重心，若AC＝6，tan∠ABG＝，那么AG的长为（　　）
A．3 B． C． D．
10．（3分）如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连接BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（　　）
A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差
B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差
D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
二、填空题（每空3分，共24分）
11．（3分）已知，则＝　 　．
12．（3分）比较大小：sin80° 　 　sin50°（填“＞”或“＜”）．
13．（3分）如图，河坝的横断面AB的坡比是1：2，坝高BC＝4米，则AC的长度是 　 　米．
14．（3分）已知∠ACB＝90°，将△ABC按如图的位置放在直角坐标系中，若点A（0，2），点C（1，0），点B的横坐标为4，则点B的纵坐标为：　 　．
15．（3分）如图，在 ABCD中，点E在线段AB上，点F为对角线AC与DE的交点．若AB：AE＝3：2，则△AEF与 ABCD的面积之比为 　 　．
16．（3分）如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为 　 　米．
17．（3分）如图，已知抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点．P为线段BC上一点，连结AC，AP，若∠ACB＝∠PAB，则点P的坐标为 　 　．
18．（3分）如图，在△ABC中，4AB＝5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为 　 　．
三、解答题（46分，其中19、20、21题每题6分，22题8分，23、24题每题10分）
19．（6分）（1）计算：；
（2）在 Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的余弦值和正切值．
20．（6分）如图所示，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．（结果精确到0.1km）
21．（6分）图①，图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中画出△ABC的BC边上的中线AD；
（2）在图②中△ABC的AC边上确定一点E，使；
（3）在图③中△ABC的AB边上确定一点F，使2AF＝3BF．
22．（8分）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以5cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以4cm/s的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值．
（2）当 时，求CQ的长．
23．（10分）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ，BP与CQ的数量关系是　 　；
（2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP＝PQ，∠APQ＝∠ABC，连接CQ，判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为5，CQ＝，求正方形ADBC的边长．
24．（10分）如图，△ABC中，AB＝m，BC＝n（m、n为常数，n＜m），点D是AB上的一点，且∠DCB＝∠A，过点D作DE∥BC于点E．
（1）若m＝8，n＝4，求BD．
（2）连结BE，若BE平分∠ABC，求m、n满足的关系式．
（3）设△AED与△BCD的周长和为C，△ABC的周长为l．探究：的值是否存在最大或最小值？若存在，请求出这个值：若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（3分）若线段a为线段4，线段9的比例中项，则线段a的值是（　　）
A．36 B．6 C．±6 D．±36
【解答】解：∵线段a为线段4，线段9的比例中项，
∴，
∴a2＝36，
∴a＝6（负值舍去），
故选：B．
2．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2，
∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．
∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选：C．
3．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A、B、C都在横线上．若线段AB＝3，则线段AC的长是（　　）
A．1.5 B．3 C．4 D．4.5
【解答】解：∵五条平行横线的距离都相等，
∴＝，
∴AC＝AB＝×3＝．
故选：D．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∴cosA＝，＝．
故选：C．
5．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是（　　）
A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C． D．
【解答】解：A、由∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
B、由∠AED＝∠B，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
C、因为＝，此时不确定∠AEB＝∠B，故不能确定△ADE∽△ACB；因此本选项不能判断△ADE∽△ACB，
D、由，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
故选：C．
6．（3分）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝8cm，
∴AP＝AB＝×8＝（4﹣4）cm，
故选：D．
7．（3分）如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔CD的高度，信号塔CD对面有一座高15米的瞭望塔AB，测得瞭望塔底B与信号塔底D之间的距离为25米，若从瞭望塔顶部A测得信号塔顶C的仰角为α，则信号塔CD的高为（　　）
A．米 B．（15+25 sinα）米
C．米 D．（15+25 tanα）米
【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
则AB＝DE＝15米，AE＝BD＝25米，
设CD＝x米，
∴CE＝CD﹣DE＝（x﹣15）米，
在Rt△ACE中，∠CAE＝α，
∴，
∴x＝15+25 tanα，即CD＝（15+25 tanα）米，
故选：D．
8．（3分）如图，弦AB，CP相交于点D，点P为弧AB的中点，若AP＝4，DP＝2，则CD＝（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：∵点P为弧AB的中点，
∴＝，
∴∠DAP＝∠ACP，
∵∠ABD＝∠CPA，
∴△PAD∽△PCD，
∴＝，
∵AP＝4，DP＝2，
∴＝，
∴CP＝8，
∴CD＝CP﹣DP＝8﹣2＝6．
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点G为△ABC 的重心，若AC＝6，tan∠ABG＝，那么AG的长为（　　）
A．3 B． C． D．
【解答】解：∵点G为△ABC 的重心，
∴M，N分别是AC，BC中点，AG＝AN，
∴AM＝AC＝×6＝3，
∵∠BAC＝90°，
∴tan∠ABG＝＝，
∴AB＝9，
∴BC＝＝3，
∵∠BAC＝90°，N是BC中点，
∴AN＝BC＝，
∴AG＝AN＝．
故选：C．
10．（3分）如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连接BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（　　）
A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差
B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差
D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
【解答】解：设矩形的边AH＝x，GH＝y，EG＝a，DC＝b，
则BJ＝x，JC＝a，
∵JI∥CD
∴＝即JI＝
∵矩形ABCD∽矩形FAHG，
∴＝，
即＝，
∴x+a＝
∴S阴影＝BJ JI
＝x
＝xy．
∵S矩形ABJH﹣S矩形HDEG
＝xb﹣ay
＝x ﹣ay
＝xy．
∴S阴影△BIJ＝（S矩形ABJH﹣S矩形HDEG）．
所以一定能求出△BIJ面积的条件是矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差．
故选：B．
二、填空题（每空3分，共24分）
11．（3分）已知，则＝　2　．
【解答】解：因为，
所以x＝，
所以＝＝＝2．
故答案为：2．
12．（3分）比较大小：sin80° 　＞　sin50°（填“＞”或“＜”）．
【解答】解：由于“一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大”可知，
∵80°＞50°，
∴sin80°＞sin50°，
故答案为：＞．
13．（3分）如图，河坝的横断面AB的坡比是1：2，坝高BC＝4米，则AC的长度是 　8　米．
【解答】解：∵河坝的横断面AB的坡比是1：2，
∴＝，
∵BC＝4米，
∴AC＝8米，
故答案为：8．
14．（3分）已知∠ACB＝90°，将△ABC按如图的位置放在直角坐标系中，若点A（0，2），点C（1，0），点B的横坐标为4，则点B的纵坐标为：　　．
【解答】解；作BD⊥x轴于D，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCD＝90°，
∵∠ACO+∠OAC＝90°，
∴∠BCD＝∠OAC，
∴△AOC∽△CDB，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．（3分）如图，在 ABCD中，点E在线段AB上，点F为对角线AC与DE的交点．若AB：AE＝3：2，则△AEF与 ABCD的面积之比为 　2：15　．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，CB＝AD，AC＝CA，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA，
∴S△ABC＝S△CDA＝S ABCD，
∵AE∥CD，AB＝CD，AB：AE＝3：2，
∴△AEF∽△CDF，
∴＝＝＝＝，
∴＝，
∴EF＝DF，AF＝AC，
∴S△AEF＝S△ADF，S△ADF＝S△CDA＝×S ABCD＝S ABCD，
∴S△AEF＝×S ABCD＝，
∴S△AEF：S ABCD＝2：15，
故答案为：2：15．
16．（3分）如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为 　　米．
【解答】解：如图，过点P作PQ⊥BE，交AF于点M，由于3FD＝2FA，可是AF＝x米，则DF＝x米，
∵四边形ACDF是矩形，
∴AF∥CD，
∴△PAF∽△PBE，
∴＝，
即＝．
解得x＝，
即AF＝米，
故答案为：．
17．（3分）如图，已知抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点．P为线段BC上一点，连结AC，AP，若∠ACB＝∠PAB，则点P的坐标为 　（，﹣）　．
【解答】解：过P点作PH⊥AB于H点，如图，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣3，∴A（﹣1，0），B（3，0），
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），∵OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∴BC＝3，
∵∠ACB＝∠PAB，∠ABP＝∠CBA，
∴△BAP∽△BCA，
∴BA：BP＝BC：BA，
即4：BP＝3：4，
解得BP＝，
∴BP＝BH＝BP＝×＝，
∴OH＝3﹣＝，
∴P点坐标为（，﹣）．
故答案为：（，﹣）．
18．（3分）如图，在△ABC中，4AB＝5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为 　　．
【解答】解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h．
∵＝＝＝＝，
∴BD＝CD．
如图，延长AC，在AC的延长线上截取AM＝AB，则有AC＝4CM．连接DM．
在△ABD与△AMD中，
∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴MD＝BD＝CD．
过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K．
∵MN∥AD，
∴＝＝，
∴CK＝CD，
∴KD＝CD．
∴MD＝KD，即△DMK为等腰三角形，
∴∠DMK＝∠DKM．
由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1＝∠2；
∵MN∥AD，
∴∠3＝∠4＝∠1＝∠2，
又∵∠DKM＝∠3（对顶角）
∴∠DMK＝∠1，
∴DM∥GN，
∴四边形DMNG为平行四边形，
∴MN＝DG＝2FD．
∵点H为AC中点，AC＝4CM，
∴＝．
∵MN∥AD，
∴＝，即，
∴＝．
故答案为：．
方法二：
如图，有已知易证△DFE≌△GFE，
故∠5＝∠B+∠1＝∠4＝∠2+∠3，又∠1＝∠2，
所以∠3＝∠B，则可证△AGH∽△ADB
设AB＝5a，则AC＝4a，AH＝2a，
所以AG/AD＝AH/AB＝2/5，而 AD＝AG+GD，故GD/AD＝3/5，
所以AG：GD＝2：3，F是GD的中点，
所以AG：FD＝．
三、解答题（46分，其中19、20、21题每题6分，22题8分，23、24题每题10分）
19．（6分）（1）计算：；
（2）在 Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的余弦值和正切值．
【解答】解：（1）＝×﹣+1＝1﹣+1＝；
（2）如图，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴AB＝＝＝13，
∴cosA＝＝，tanA＝＝，
∴∠A的余弦值为，∠A的正切值为．
20．（6分）如图所示，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．（结果精确到0.1km）
【解答】解：如图，过点C作CD⊥l于点D，设CD＝x km．
在△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，
∴AD＝CD＝x km．
在△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝x km．
∵AD﹣BD＝AB，
∴x﹣x＝2，
∴x＝+1≈2.7．
故景点C到观光大道l的距离约为2.7km．
21．（6分）图①，图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中画出△ABC的BC边上的中线AD；
（2）在图②中△ABC的AC边上确定一点E，使；
（3）在图③中△ABC的AB边上确定一点F，使2AF＝3BF．
【解答】解：（1）如图①，AD即为所求．
（2）如图②，取格点H，使CH＝3，且∠BCH＝90°，连接BH交AC于点E，
则点E即为所求．
（3）如图③，取格点M，N，使AM：BN＝3：2，且AM∥BN，连接MN交AB于点F，
则△AFM∽△BFN，
则AF：BF＝AM：BN＝3：2，
即2AF＝3BF，
则点F即为所求．
22．（8分）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以5cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以4cm/s的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值．
（2）当 时，求CQ的长．
【解答】解：（1）①△BPQ与△ABC相似时，
则，
∵BP＝5t，QC＝4t，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴，
解得：t＝1；
②△BPQ与△BCA相似时，
则，即，
解得：t＝，
综合上述：当t＝1或t＝时，△BPQ与△ABC相似；
（2）过P作PH⊥BC于H，
∵∠C＝90°，
∴∠BHP＝∠C＝90°，
∴PH∥AC，
∴△PBH∽△ABC，
∴，
∴，
∴BH＝4t，PH＝3t，
∵，
∴HQ＝3PH＝6t，
∴4t+6t+4t＝8，
∴t＝，
∴CQ＝4×＝，
答：CQ的长为．
23．（10分）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ，BP与CQ的数量关系是　BP＝CQ　；
（2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP＝PQ，∠APQ＝∠ABC，连接CQ，判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为5，CQ＝，求正方形ADBC的边长．
【解答】解：（1）问题发现：∵△ABC和△APQ都是等边三角形，
∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝60°，
∴∠BAP＝∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，
，
∴△BAP≌△CAQ（SAS），
∴BP＝CQ，
故答案为：BP＝CQ；
（2）变式探究：∠ABC＝∠ACQ，
理由如下：∵AB＝BC，
∴∠BAC＝，
∵AP＝PQ，
∴∠PAQ＝，
∵∠APQ＝∠ABC，
∴∠BAC＝∠PAQ，
∴△BAC∽△PAQ，
∴＝，
∵∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∴△BAP∽△CAQ，
∴∠ABC＝∠ACQ；
（3）解决问题：如图3，连接AB、AQ，
∵四边形ADBC是正方形，
∴＝，∠BAC＝45°，
∵Q是正方形APEF的中心，
∴＝，∠PAQ＝45°，
∴∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，即∠BAP＝∠CAQ，
∵＝，
∴△ABP∽△ACQ，
∴＝＝，
∵CQ＝，
∴BP＝1，
设PC＝x，则 BC＝AC＝1+x，
在Rt△APC中，AP2＝AC2+PC2，即52＝（1+x）2+x2，
解得，x1＝﹣4（舍去），x2＝3，
∴正方形ADBC的边长为：3+1＝4．
24．（10分）如图，△ABC中，AB＝m，BC＝n（m、n为常数，n＜m），点D是AB上的一点，且∠DCB＝∠A，过点D作DE∥BC于点E．
（1）若m＝8，n＝4，求BD．
（2）连结BE，若BE平分∠ABC，求m、n满足的关系式．
（3）设△AED与△BCD的周长和为C，△ABC的周长为l．探究：的值是否存在最大或最小值？若存在，请求出这个值：若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴，即，
解得：BD＝2；
（2）∵DE∥BC，
∴∠CBE＝∠DEB，
∵BE平分∠CBA，
∴∠CBE＝∠ABE，
∴∠ABE＝∠DEB，
∴DE＝BD，
∵∠A＝∠BCD，∠CBA＝∠DBC，
∴△DBC∽△CBA．
∴，
∴BD＝，
∴AD＝AB﹣BD＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴m2﹣n2＝mn；
（3）存在最大值；理由如下：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
由（1）得：BD＝，
∴＝＝﹣，
当时，即m＝2n，有最大值，最大值为＝．