2024年湖南省常德市澧县中考数学最后一模试卷 (含解析)

2024学年湖南省澧县中考数学最后一模试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（ ）
A．3.5 B．4 C．7 D．14
2．从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（　　）
A．① B．② C．③ D．④
3．如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，分别交对角线BD于点F，交BC边延长线于点E．若FG＝2，则AE的长度为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
4．如图，为等边三角形，要在外部取一点，使得和全等，下面是两名同学做法：（ ）
甲：①作的角平分线；②以为圆心，长为半径画弧，交于点，点即为所求；
乙：①过点作平行于的直线；②过点作平行于的直线，交于点，点即为所求．
A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
5．点A（－1，），B（－2，）在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A．＞ B．= C．＜ D．不能确定
6．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（　　）
A．168（1﹣x）2＝108 B．168（1﹣x2）＝108
C．168（1﹣2x）＝108 D．168（1+x）2＝108
7．已知⊙O的半径为5，弦AB=6，P是AB上任意一点，点C是劣弧的中点，若△POC为直角三角形，则PB的长度（　　）
A．1 B．5 C．1或5 D．2或4
8．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E是AB边上一动点（不与A、B重合），且∠EDF=∠A，则下列结论错误的是（　　）
A．AE=BF B．∠ADE=∠BEF
C．△DEF是等边三角形 D．△BEF是等腰三角形
9．九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
10．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．一元二次方程x﹣1＝x2﹣1的根是_____．
12．有一枚质地均匀的骰子，六个面分别表有1到6的点数，任意将它抛掷两次，并将两次朝上面的点数相加，则其和小于6的概率是______．
13．已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，则k的值是_________．
14．已知，则______
15．π﹣3的绝对值是_____．
16．因式分解：9x﹣x2=_____．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）先化简，再求值：，其中x为方程的根．
18．（8分）如图（1），AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由；
若过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的∠1与∠2的关系成立吗？请说明理由．
19．（8分）在“弘扬传统文化，打造书香校园”活动中，学校计划开展四项活动：“A-国学诵读”、“B-演讲”、“C-课本剧”、“D-书法”，要求每位同学必须且只能参加其中一项活动，学校为了了解学生的意思，随机调查了部分学生，结果统计如下：
（1）根据题中信息补全条形统计图．
（2）所抽取的学生参加其中一项活动的众数是 ．
（3）学校现有800名学生，请根据图中信息，估算全校学生希望参加活动A有多少人？
20．（8分）如图，已知，请用尺规过点作一条直线，使其将分成面积比为两部分．（保留作图痕迹，不写作法）
21．（8分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，点A的横坐标是2，点B的纵坐标是-2。
（1）求一次函数的解析式；
（2）求的面积。
22．（10分）现种植A、B、C三种树苗一共480棵，安排80名工人一天正好完成，已知每名工人只植一种树苗，且每名工人每天可植A种树苗8棵；或植B种树苗6棵，或植C种树苗5棵．经过统计，在整个过程中，每棵树苗的种植成本如图所示．设种植A种树苗的工人为x名，种植B种树苗的工人为y名．求y与x之间的函数关系式；设种植的总成本为w元，
①求w与x之间的函数关系式；
②若种植的总成本为5600元，从植树工人中随机采访一名工人，求采访到种植C种树苗工人的概率．
23．（12分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．
24．如图，在△OAB中，OA=OB，C为AB中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，AO与⊙O交于点E，OB与⊙O交于点F和D，连接EF，CF，CF与OA交于点G
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）求证：△GOC∽△GEF；
（3）若AB=4BD，求sinA的值．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、A
【解题分析】
根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
【题目详解】
解：∵菱形ABCD的周长为28，
∴AB=28÷4=7，OB=OD，
∵E为AD边中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE=AB=×7=3.1．
故选：A．
【题目点拨】
本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
2、C
【解题分析】
根据正方形的判定定理即可得到结论．
【题目详解】
与左边图形拼成一个正方形，
正确的选择为③，
故选C．
【题目点拨】
本题考查了正方形的判定，是一道几何结论开放题，认真观察，熟练掌握和应用正方形的判定方法是解题的关键.
3、D
【解题分析】
根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出=2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由AD∥BC，DG=CG，可得出AG=GE，即可求出AE=2AG=1．
【题目详解】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴=2，
∴AF=2GF=4，
∴AG=2．
∵AD∥BC，DG=CG，
∴=1，
∴AG=GE
∴AE=2AG=1．
故选：D．
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
4、A
【解题分析】
根据题意先画出相应的图形，然后进行推理论证即可得出结论．
【题目详解】
甲的作法如图一：
∵为等边三角形，AD是的角平分线
∴
由甲的作法可知，
在和中，
故甲的作法正确；
乙的作法如图二：
在和中，
故乙的作法正确；
故选：A．
【题目点拨】
本题主要借助尺规作图考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
5、C
【解题分析】
试题分析：对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小，根据题意可得：－1＞－2，则．
考点：反比例函数的性质．
6、A
【解题分析】
设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1-x），第二次后的价格是168（1-x）2，据此即可列方程求解．
【题目详解】
设每次降价的百分率为x，
根据题意得：168（1-x）2=1．
故选A．
【题目点拨】
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
7、C
【解题分析】
由点C是劣弧AB的中点，得到OC垂直平分AB，求得DA=DB=3，根据勾股定理得到OD==1，若△POC为直角三角形，只能是∠OPC=90°，则根据相似三角形的性质得到PD=2，于是得到结论．
【题目详解】
∵点C是劣弧AB的中点，
∴OC垂直平分AB，
∴DA=DB=3，
∴OD=，
若△POC为直角三角形，只能是∠OPC=90°，
则△POD∽△CPD，
∴，
∴PD2=4×1=4，
∴PD=2，
∴PB=3﹣2=1，
根据对称性得，
当P在OC的左侧时，PB=3+2=5，
∴PB的长度为1或5.
故选C．
【题目点拨】
考查了圆周角，弧，弦的关系，勾股定理，垂径定理，正确左侧图形是解题的关键．
8、D
【解题分析】
连接BD，可得△ADE≌△BDF，然后可证得DE=DF，AE=BF，即可得△DEF是等边三角形，然后可证得∠ADE=∠BEF．
【题目详解】
连接BD，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ADB=∠ADC，AB∥CD，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，
同理：∠DBF=60°，
即∠A=∠DBF，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
∵∠ADE+∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
∵在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴DE=DF，AE=BF，故A正确；
∵∠EDF=60°，
∴△EDF是等边三角形，
∴C正确；
∴∠DEF=60°，
∴∠AED+∠BEF=120°，
∵∠AED+∠ADE=180°-∠A=120°，
∴∠ADE=∠BEF；
故B正确．
∵△ADE≌△BDF，
∴AE=BF，
同理：BE=CF，
但BE不一定等于BF．
故D错误．
故选D．
【题目点拨】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
9、C
【解题分析】
试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，．故选C．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
10、D
【解题分析】
试题分析：∵代数式有意义，
∴，
解得x≥0且x≠1．
故选D．
考点：二次根式，分式有意义的条件．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、x＝0或x＝1．
【解题分析】
利用因式分解法求解可得．
【题目详解】
∵(x﹣1)﹣(x+1)(x﹣1)=0，
∴(x﹣1)(1﹣x﹣1)=0，即﹣x(x﹣1)=0，
则x=0或x=1，
故答案为：x=0或x=1．
【题目点拨】
本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
12、
【解题分析】
列举出所有情况，看两个骰子向上的一面的点数和小于6的情况占总情况的多少即可．
【题目详解】
解：列表得：
两个骰子向上的一面的点数和小于6的有10种，
则其和小于6的概率是，
故答案为：．
【题目点拨】
本题考查了列表法与树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件树状图法适用于两步或两步以上完成的事件解题时还要注意是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
13、－1
【解题分析】
∵关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，
∴x=-y③，
把③代入②得：-y+2y=-1，
解得y=-1，所以x=1，
把x=1，y=-1代入①得2-3=k，
即k=-1.
故答案为-1
14、34
【解题分析】
∵，∴=，
故答案为34.
15、π﹣1．
【解题分析】
根据绝对值的性质即可解答.
【题目详解】
π﹣1的绝对值是π﹣1．
故答案为π﹣1．
【题目点拨】
本题考查了绝对值的性质，熟练运用绝对值的性质是解决问题的关键.
16、x（9﹣x）
【解题分析】
试题解析：
故答案为
点睛：常见的因式分解的方法：提取公因式法，公式法，十字相乘法.
三、解答题（共8题，共72分）
17、1
【解题分析】
先将除式括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简．然后解一元二次方程，根据分式有意义的条件选择合适的x值，代入求值．
【题目详解】
解：原式＝．
解得，
，
∵时，无意义，
∴取．
当时，原式＝．
18、详见解析.
【解题分析】
（1）根据全等三角形判定中的“SSS”可得出△ADC≌△CBA，由全等的性质得∠DAC=∠BCA，可证AD∥BC，根据平行线的性质得出∠1=∠1；
（1）（3）和（1）的证法完全一样．先证△ADC≌△CBA得到∠DAC=∠BCA，则DA∥BC，从而∠1=∠1．
【题目详解】
证明：∠1与∠1相等．
在△ADC与△CBA中，
，
∴△ADC≌△CBA．（SSS）
∴∠DAC=∠BCA．
∴DA∥BC．
∴∠1=∠1．
②③图形同理可证，△ADC≌△CBA得到∠DAC=∠BCA，则DA∥BC，∠1=∠1．
19、（1）见解析（2）A-国学诵读（3）360人
【解题分析】
（1）根据统计图中C的人数和所占百分比可求出被调查的总人数，进而求出活动B和D人数，故可补全条形统计图；（2）由条形统计图知众数为“A-国学诵读”（3）先求出参加活动A的占比，再乘以全校人数即可.
【题目详解】
（1）由题意可得，被调查的总人数为12÷20%=60，希望参加活动B的人数为60×15%=9，希望参加活动D的人数为60-27-9-12=12，故补全条形统计图如下：
（2）由条形统计图知众数为“A-国学诵读”；
（3）由题意得全校学生希望参加活动A的人数为800×=360（人）
【题目点拨】
此题主要考查统计图的应用，解题的关键是根据题意求出调查的总人数再进行求解.
20、详见解析
【解题分析】
先作出AB的垂直平分线，而AB的垂直平分线交AB于D，再作出AD的垂直平分线，而AD的垂直平分线交AD于E，即可得到答案.
【题目详解】
如图
作出AB的垂直平分线，而AB的垂直平分线交AB于D，再作出AD的垂直平分线，而AD的垂直平分线交AD于E，故AE＝AD，AD＝BD，故AE＝AB，而BE＝AB，而△AEC与△CEB在AB边上的高相同，所以△CEB的面积是△AEC的面积的3倍，即S△AEC∶S△CEB＝1∶3.
【题目点拨】
本题主要考查了三角形的基本概念和尺规作图，解本题的要点在于找到AB的四分之一点，即可得到答案.
21、（1）；（2）6.
【解题分析】
（1）由反比例函数解析式根据点A的横坐标是2，点B的纵坐标是-2可以求得点A、点B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）令直线AB与y轴交点为D，求出点D坐标，然后根据三角形面积公式进行求解即可得.
【题目详解】
（1）当x=2时，=4，
当y=-2时，-2=，x=-4，
所以点A（2，4），点B（-4，-2），
将A，B两点分别代入一次函数解析式，得
，
解得：，
所以，一次函数解析式为；
(2)令直线AB与y轴交点为D，则OD=b=2，
.
【题目点拨】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
22、（1）；（2）①；②
【解题分析】
（1）先求出种植C种树苗的人数，根据现种植A、B、C三种树苗一共480棵，可以列出等量关系，解出y与x之间的关系；
（2）①分别求出种植A，B，C三种树苗的成本，然后相加即可；
②求出种植C种树苗工人的人数，然后用种植C种树苗工人的人数÷总人数即可求出概率．
【题目详解】
解：（1）设种植A种树苗的工人为x名，种植B种树苗的工人为y名，则种植C种树苗的人数为（80-x-y）人，
根据题意，得：8x+6y+5（80-x-y）=480，
整理，得：y=-3x+80；
（2）①w=15×8x+12×6y+8×5（80-x-y）=80x+32y+3200，
把y=-3x+80代入，得：w=-16x+5760，
②种植的总成本为5600元时，w=-16x+5760=5600，
解得x=10，y=-3×10+80=50，
即种植A种树苗的工人为10名，种植B种树苗的工人为50名，种植B种树苗的工人为：80-10-50=20名．
采访到种植C种树苗工人的概率为：=．
【题目点拨】
本题主要考查了一次函数的实际问题，以及概率的求法，能够将实际问题转化成数学模型是解答此题的关键．
23、1．
【解题分析】
试题分析：根据相似三角形的判定与性质，可得答案．
试题解析：∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，又∠C=90°，∴∠BED=∠C．又∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴，∴DE===1．
考点：相似三角形的判定与性质．
24、 (1)见解析;(2)见解析;(3).
【解题分析】
（1）利用等腰三角形的性质，证明OC⊥AB即可；
（2）证明OC∥EG，推出△GOC∽△GEF即可解决问题；
（3）根据勾股定理和三角函数解答即可．
【题目详解】
证明：（1）∵OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB，
∴⊙O是AB的切线．
（2）∵OA=OB，AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OE=OF，
∴∠OFE=∠OEF，
∵∠AOB=∠OFE+∠OEF，
∴∠AOC=∠OEF，
∴OC∥EF，
∴△GOC∽△GEF，
∴，
∵OD=OC，
∴OD EG=OG EF．
（3）∵AB=4BD，
∴BC=2BD，设BD=m，BC=2m，OC=OD=r，
在Rt△BOC中，∵OB2=OC2+BC2，
即（r+m）2=r2+（2m）2，
解得：r=1.5m，OB=2.5m，
∴sinA=sinB=.
【题目点拨】
考查圆的综合题，考查切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．