2024年湖南省邵阳市邵东县中考三轮冲刺卷数学试题(含解析)

湖南省邵东县2024届中考冲刺卷数学试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知二次函数 图象上部分点的坐标对应值列表如下：
x … -3 -2 -1 0 1 2 …
y … 2 -1 -2 -1 2 7 …
则该函数图象的对称轴是（ ）
A．x=-3 B．x=-2 C．x=-1 D．x=0
2．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（　　）
A．132° B．134° C．136° D．138°
3．用加减法解方程组时，若要求消去，则应（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，，点在以斜边为直径的半圆上，点是的三等分点，当点沿着半圆，从点运动到点时，点运动的路径长为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
5．对于数据：6,3,4,7,6,0,1．下列判断中正确的是（ ）
A．这组数据的平均数是6，中位数是6 B．这组数据的平均数是6，中位数是7
C．这组数据的平均数是5，中位数是6 D．这组数据的平均数是5，中位数是7
6．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝1．M是BD的中点，则CM的长为（　　）
A． B．2 C． D．3
8．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E给好落在AB的延长线上，连接AD，下列结论不一定正确的是（　　）
A．AD∥BC B．∠DAC=∠E C．BC⊥DE D．AD+BC=AE
10．方程的解为（　　）
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=3
11．实数a，b，c在数轴上对应点的位置大致如图所示，O为原点，则下列关系式正确的是(　　)
A．a﹣c＜b﹣c B．|a﹣b|＝a﹣b C．ac＞bc D．﹣b＜﹣c
12．数轴上分别有A、B、C三个点，对应的实数分别为a、b、c且满足，|a|＞|c|，b c＜0，则原点的位置（　　）
A．点A的左侧 B．点A点B之间
C．点B点C之间 D．点C的右侧
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______．
14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，请根据这组数的规律写出第10个数是______．
15．（2016辽宁省沈阳市）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是______．
16．对于一元二次方程，根的判别式中的表示的数是__________．
17．因式分解：_______________．
18．如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F，已知AD=5，AE=2，AF=1．如果以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，那么r的取值范围是______．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2+1=1．
（1）若m是方程的一个实数根，求m的值；
（2）若m为负数，判断方程根的情况．
20．（6分）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，m）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）求m的值及一次函数解析式；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC、PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
21．（6分）化简求值：，其中x是不等式组的整数解．
22．（8分）如图，△DEF是由△ABC通过一次旋转得到的，请用直尺和圆规画出旋转中心．
23．（8分）如图，四边形ABCD，AD∥BC，DC⊥BC于C点，AE⊥BD于E，且DB＝DA．求证：AE＝CD．
24．（10分）在中，，BD为AC边上的中线，过点C作于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取，连接BG，DF．
求证：；
求证：四边形BDFG为菱形；
若，，求四边形BDFG的周长．
25．（10分）（1）计算：|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（）﹣2﹣2sin60°+；
(2)先化简，再求值：÷（2+），其中a= ．
26．（12分）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买A，B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，已知A型板材每张30元，B型板材每张90元，求最多可以制作竖式箱子多少只？
若该工厂仓库里现有A型板材65张、B型板材110张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少只，恰好将库存的板材用完？
若该工厂新购得65张规格为的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材不计损耗，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于20只，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共______只
27．（12分）如图，AB为⊙O的直径，直线BM⊥AB于点B，点C在⊙O上，分别连接BC，AC，且AC的延长线交BM于点D，CF为⊙O的切线交BM于点F．
（1）求证：CF＝DF；
（2）连接OF，若AB＝10，BC＝6，求线段OF的长．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、C
【解题分析】
由当x=-2和x=0时，y的值相等，利用二次函数图象的对称性即可求出对称轴．
【题目详解】
解：∵x=-2和x=0时，y的值相等，
∴二次函数的对称轴为，
故答案为：C．
【题目点拨】
本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性找出对称轴是解题的关键．
2、B
【解题分析】
过E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．
解：
过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，
∵∠C=44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，
∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，
故选B．
“点睛”本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
3、C
【解题分析】
利用加减消元法消去y即可．
【题目详解】
用加减法解方程组时，若要求消去y，则应①×5+②×3，
故选C
【题目点拨】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
4、A
【解题分析】
根据平行线的性质及圆周角定理的推论得出点M的轨迹是以EF为直径的半圆，进而求出半径即可得出答案，注意分两种情况讨论．
【题目详解】
当点D与B重合时，M与F重合，当点D与A重合时，M与E重合，连接BD，FM，AD，EM，
∵
∴
∵AB是直径
即
∴
∴点M的轨迹是以EF为直径的半圆，
∵
∴以EF为直径的圆的半径为1
∴点M运动的路径长为
当 时，同理可得点M运动的路径长为
故选：A．
【题目点拨】
本题主要考查动点的运动轨迹，掌握圆周角定理的推论，平行线的性质和弧长公式是解题的关键．
5、C
【解题分析】
根据题目中的数据可以按照从小到大的顺序排列，从而可以求得这组数据的平均数和中位数．
【题目详解】
对于数据：6，3，4，7，6，0，1，
这组数据按照从小到大排列是：0，3，4，6，6，7，1，
这组数据的平均数是： 中位数是6，
故选C.
【题目点拨】
本题考查了平均数、中位数的求法，解决本题的关键是明确它们的意义才会计算，求平均数是用一组数据的和除以这组数据的个数；中位数的求法分两种情况：把一组数据从小到大排成一列， 正中间如果是一个数，这个数就是中位数，如果正中间是两个数，那中位数是这两个数的平均数.
6、D
【解题分析】
解：作直径AD，连结BD，如图．∵AD为直径，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，∵AD=10，AB=6，∴BD==8，∴cosD===．∵∠C=∠D，∴cosC=．故选D．
点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
7、C
【解题分析】
延长BC 到E 使BE＝AD，利用中点的性质得到CM＝ DE＝AB，再利用勾股定理进行计算即可解答.
【题目详解】
解：延长BC 到E 使BE＝AD，∵BC//AD，∴四边形ACED是平行四边形，∴DE=AB，
∵BC＝3，AD＝1，
∴C是BE的中点，
∵M是BD的中点，
∴CM＝ DE＝AB，
∵AC⊥BC，
∴AB＝＝，
∴CM＝ ，
故选：C．
【题目点拨】
此题考查平行四边形的性质，勾股定理，解题关键在于作辅助线.
8、B
【解题分析】
根据S△ABE=S矩形ABCD=1= AE BF，先求出AE，再求出BF即可．
【题目详解】
如图，连接BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，BC=AD=1，∠D=90°，
在Rt△ADE中，AE===，
∵S△ABE=S矩形ABCD=1= AE BF，
∴BF=．
故选：B．
【题目点拨】
本题考查矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用面积法解决有关线段问题，属于中考常考题型．
9、C
【解题分析】
利用旋转的性质得BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，∠C=∠E，再通过判断△ABD为等边三角形得到AD=AB，∠BAD=60°，则根据平行线的性质可判断AD∥BC，从而得到∠DAC=∠C，于是可判断∠DAC=∠E，接着利用AD=AB，BE=BC可判断AD+BC=AE，利用∠CBE=60°，由于∠E的度数不确定，所以不能判定BC⊥DE．
【题目详解】
∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，
∴BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，∠C=∠E，
∴△ABD为等边三角形，
∴AD=AB，∠BAD=60°，
∵∠BAD=∠EBC，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠C，
∴∠DAC=∠E，
∵AE=AB+BE，
而AD=AB，BE=BC，
∴AD+BC=AE，
∵∠CBE=60°，
∴只有当∠E=30°时，BC⊥DE．
故选C．
【题目点拨】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．
10、B
【解题分析】
观察可得最简公分母是（x-3）（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【题目详解】
方程的两边同乘(x 3)(x+1)，得
(x 2) (x+1)=x(x 3)，
，
解得x=1.
检验：把x=1代入(x 3)(x+1)=-4≠0.
∴原方程的解为：x=1.
故选B.
【题目点拨】
本题考查的知识点是解分式方程，解题关键是注意解得的解要进行检验.
11、A
【解题分析】
根据数轴上点的位置确定出a，b，c的范围，判断即可．
【题目详解】
由数轴上点的位置得：a＜b＜0＜c，
∴ac＜bc，|a﹣b|＝b﹣a，﹣b＞﹣c，a﹣c＜b﹣c.
故选A．
【题目点拨】
考查了实数与数轴，弄清数轴上点表示的数是解本题的关键．
12、C
【解题分析】
分析：
根据题中所给条件结合A、B、C三点的相对位置进行分析判断即可.
详解：
A选项中，若原点在点A的左侧，则，这与已知不符，故不能选A；
B选项中，若原点在A、B之间，则b>0，c>0，这与b·c<0不符，故不能选B；
C选项中，若原点在B、C之间，则且b·c<0，与已知条件一致，故可以选C；
D选项中，若原点在点C右侧，则b<0，c<0，这与b·c<0不符，故不能选D.
故选C.
点睛：理解“数轴上原点右边的点表示的数是正数，原点表示的是0，原点左边的点表示的数是负数，距离原点越远的点所表示的数的绝对值越大”是正确解答本题的关键.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、a＞﹣．
【解题分析】
试题分析：已知关于x的方程2x2+x﹣a=0有两个不相等的实数根，所以△=12﹣4×2×（﹣a）=1+8a＞0，解得a＞﹣．
考点：根的判别式.
14、1
【解题分析】
解：3=2+1；
5=3+2；
8=5+3；
13=8+5；
…
可以发现：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．
则第8个数为13+8=21；
第9个数为21+13=34；
第10个数为34+21=1．
故答案为1．
点睛：此题考查了数字的有规律变化，解答此类题目的关键是要求学生通对题目中给出的图表、数据等认真进行分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．此类题目难度一般偏大．
15、或．
【解题分析】
由图可知，在△OMN中，∠OMN的度数是一个定值，且∠OMN不为直角. 故当∠ONM=90°或∠MON=90°时，△OMN是直角三角形. 因此，本题需要按以下两种情况分别求解.
(1) 当∠ONM=90°时，则DN⊥BC.
过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∵BC=20，
∴在Rt△ABC中，，
∵DE是△ABC的中位线，
∴，
∴在Rt△CFE中，，.
∵BM=3，BC=20，FC=5，
∴MF=BC-BM-FC=20-3-5=12.
∵EF=5，MF=12，
∴在Rt△MFE中，，
∵DE是△ABC的中位线，BC=20，
∴，DE∥BC，
∴∠DEM=∠EMF，即∠DEO=∠EMF，
∴，
∴在Rt△ODE中，.
(2) 当∠MON=90°时，则DN⊥ME.
过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)
∵EF=5，MF=12，
∴在Rt△MFE中，，
∴在Rt△MFE中，，
∵∠DEO=∠EMF，
∴，
∵DE=10，
∴在Rt△DOE中，.
综上所述，DO的长是或.
故本题应填写：或.
点睛：
在解决本题的过程中，难点在于对直角三角形中直角的分类讨论；关键点是通过等角代换将一个在原直角三角形中不易求得的三角函数值转换到一个容易求解的直角三角形中进行求解. 另外，本题也可以用相似三角形的方法进行求解，不过利用锐角三角函数相对简便.
16、-5
【解题分析】
分清一元二次方程中，二次项系数、一次项系数和常数项，直接解答即可．
【题目详解】
解：表示一元二次方程的一次项系数．
【题目点拨】
此题考查根的判别式，在解一元二次方程时程根的判别式△=b2-4ac，不要盲目套用，要看具体方程中的a，b，c的值．a代表二次项系数，b代表一次项系数，c是常数项．
17、x3（y+1）（y-1）
【解题分析】
先提取公因式x3，再利用平方差公式分解可得．
【题目详解】
解：原式=x3（y2-1）=x3（y+1）（y-1），
故答案为x3（y+1）（y-1）．
【题目点拨】
本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握一般整式的因式分解的步骤--先提取公因式，再利用公式法分解．
18、
【解题分析】
因为以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，则圆D与圆O相交，圆心距满足关系式：|R-r|【题目详解】
连接OA、OD，过O点作ON⊥AE，OM⊥AF.
AN=AE=1，AM=AF=2，MD=AD-AM=3
∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠ANO=∠AMO=90°，
∴四边形OMAN是矩形
∴OM=AN=1
∴OA=,OD=
∵以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，则圆D与圆O相交
∴
【题目点拨】
本题考查了圆与圆相交的条件，熟记圆与圆相交时圆的半径与圆心距的关系是关键.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、 (1) ; (2)方程有两个不相等的实根.
【解题分析】
分析：（1）由方程根的定义，代入可得到关于m的方程，则可求得m的值；
（2）计算方程根的判别式，判断判别式的符号即可．
详解：
（1）∵m是方程的一个实数根，
∴m2-（2m-3）m+m2+1=1，
∴m＝ ；
（2）△=b2-4ac=-12m+5，
∵m＜1，
∴-12m＞1．
∴△=-12m+5＞1．
∴此方程有两个不相等的实数根．
点睛：考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
20、（1）m=2；y=x+；（2）P点坐标是（﹣，）．
【解题分析】
（1）利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）设点P的坐标为根据面积公式和已知条件列式可求得的值，并根据条件取舍，得出点P的坐标．
【题目详解】
解：（1）∵反比例函数的图象过点
∴
∵点B（﹣1，m）也在该反比例函数的图象上，
∴﹣1 m=﹣2，
∴m=2；
设一次函数的解析式为y=kx+b，
由y=kx+b的图象过点A，B（﹣1，2），则
解得：
∴一次函数的解析式为
（2）连接PC、PD，如图，设
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴
解得：
∴P点坐标是
【题目点拨】
本题考查待定系数法求反比例函数以及一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键.
21、当x=﹣3时，原式=﹣，当x=﹣2时，原式=﹣1．
【解题分析】
先化简分式，再解不等式组求得x的取值范围，在此范围内找到符合分式有意义的x的整数值，代入计算可得．
【题目详解】
原式=÷
=
=，
解不等式组，
解不等式①，得：x＞﹣4，
解不等式②，得：x≤﹣1，
∴不等式组的解集为﹣4＜x≤﹣1，
∴不等式的整数解是﹣3，﹣2，﹣1．
又∵x+1≠0，x﹣1≠0∴x≠±1，
∴x=﹣3或x=﹣2，
当x=﹣3时，原式=﹣，
当x=﹣2时，原式=﹣1．
【题目点拨】
本题考查了分式的化简求值及一元一次不等式组的整数解，求分式的值时，一定要选择使每个分式都有意义的未知数的值.
22、见解析
【解题分析】
试题分析：首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可.
解：如图所示，点P即为所求作的旋转中心．
23、证明见解析.
【解题分析】
由AD∥BC得∠ADB＝∠DBC,根据已知证明△AED≌△DCB（AAS）,即可解题.
【题目详解】
解：∵AD∥BC
∴∠ADB＝∠DBC
∵DC⊥BC于点C，AE⊥BD于点E
∴∠C＝∠AED＝90°
又∵DB＝DA
∴△AED≌△DCB（AAS）
∴AE＝CD
【题目点拨】
本题考查了三角形全等的判定和性质,属于简单题,证明三角形全等是解题关键.
24、（1）证明见解析（2）证明见解析（3）1
【解题分析】
利用平行线的性质得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证，
利用平行四边形的判定定理判定四边形BDFG为平行四边形，再利用得结论即可得证，
设，则，利用菱形的性质和勾股定理得到CF、AF和AC之间的关系，解出x即可．
【题目详解】
证明：，，
，
又为AC的中点，
，
又，
，
证明：，，
四边形BDFG为平行四边形，
又，
四边形BDFG为菱形，
解：设，则，，
在中，，
解得：，舍去，
，
菱形BDFG的周长为1．
【题目点拨】
本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，正确掌握这些定义性质及判定并结合图形作答是解决本题的关键．
25、（1）5+；（2）
【解题分析】
试题分析：（1）先分别进行绝对值化简，0指数幂、负指数幂的计算，特殊三角函数值、二次根式的化简，然后再按运算顺序进行计算即可；
（2）括号内先通分进行加法运算，然后再进行分式除法运算，最后代入数值进行计算即可.
试题解析：（1）原式=2﹣1+4﹣2×+2=2﹣1+4﹣+2=5+；
（2）原式==，
当a=时，原式==．
26、（1）最多可以做25只竖式箱子；（2）能制作竖式、横式两种无盖箱子分别为5只和30只；（3）47或1．
【解题分析】
表示出竖式箱子所用板材数量进而得出总金额即可得出答案；设制作竖式箱子a只，横式箱子b只，利用A型板材65张、B型板材110张，得出方程组求出答案；设裁剪出B型板材m张，则可裁A型板材张，进而得出方程组求出符合题意的答案．
【题目详解】
解：设最多可制作竖式箱子x只，则A型板材x张，B型板材4x张，根据题意得
解得．
答：最多可以做25只竖式箱子．
设制作竖式箱子a只，横式箱子b只，根据题意，
得，
解得：．
答：能制作竖式、横式两种无盖箱子分别为5只和30只．
设裁剪出B型板材m张，则可裁A型板材张，由题意得：
，
整理得，，．
竖式箱子不少于20只，
或22，这时，或，．
则能制作两种箱子共：或．
故答案为47或1．
【题目点拨】
本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，列出等式．
27、（1）详见解析；（2）OF＝．
【解题分析】
（1）连接OC，如图，根据切线的性质得∠1+∠3=90°，则可证明∠3=∠4，再根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后根据等角的余角相等得到∠BDC=∠5，从而根据等腰三角形的判定定理得到结论；
（2）根据勾股定理计算出AC=8，再证明△ABC∽△ABD，利用相似比得到AD=，然后证明OF为△ABD的中位线，从而根据三角形中位线性质求出OF的长．
【题目详解】
（1）证明：连接OC，如图，
∵CF为切线，
∴OC⊥CF，
∴∠1+∠3＝90°，
∵BM⊥AB，
∴∠2+∠4＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠3+∠5＝90°，∠4+∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠5，
∴CF＝DF；
（2）在Rt△ABC中，AC＝＝8，
∵∠BAC＝∠DAB，
∴△ABC∽△ABD，
∴，即，
∴AD＝，
∵∠3＝∠4，
∴FC＝FB，
而FC＝FD，
∴FD＝FB，
而BO＝AO，
∴OF为△ABD的中位线，
∴OF＝AD＝．
【题目点拨】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理．