陕西省商洛市洛南中学2024届高三高考冲刺预测（一）文科数学试题（含解析）

普通高等学校招生全国统一考试冲刺预测 全国卷（一）
文科数学
本试卷满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数为虚数单位，则在复平面内复数所对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A. B. C. D.
7.某地质勘探单位从甲 乙 丙 丁 戊5人中选取2人到某矿区进行地质勘探，则甲被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知正方体的外接球的球心为，则（ ）
A. B. C. D.
9.函数的两条相邻的对称轴的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.的图象关于点对称
C.的图象关于直线对称
D.在上单调递增
10.已知椭圆的长轴长为20，离心率为，左 右焦点为，若上的点满足，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
11.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为，插入11个数后这13个数之和为，则依此规则，下列说法错误的是（ ）
A.插入的第8个数为
B.插入的第5个数是插入的第1个数的倍
C.
D.
12.已知关于的方程且有两个不等实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知实数满足约束条件则目标函数的最大值为__________.
14.已知向量，且，则__________.
15.已知直线与直线，若，则的最大值为__________.
16.在中，三内角所对的边分别为，且，则的面积为__________.
三 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22 23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
已知数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前项和.
18.（12分）
如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
19.（12分）
市场调查员小王统计了某款拖把的销售单价（单位：元）与月销量（单位：个）之间的一组数据如下表所示：
单价元 18 19 20 21 22
月销量个 570 520 420 320 270
（1）根据以往经验，与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；
（2）若这款拖把的进货价为14元/个，根据（1）中回归方程，求该拖把月利润最大时拖把的单价为多少元.（结果精确到0.1元）
附：回归直线方程中，.
20.（12分）
已知双曲线的离心率为2，实轴的左 右顶点分别为，虚轴的上 下顶点分别为，且四边形的面积为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知直线与交于两点，若，求实数的取值范围.
21.（12分）
已知函数.
（1）当时，求的零点个数；
（2）已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，曲线与曲线交于两点，求的值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
普通高等学校招生全国统一考试冲刺预测 全国卷
文科数学参考答案
（一）
1.A ，故选A.
2.B 复数在复平面内复数所对应的点为，该点位于第二象限，故选B.
3.B 或或“”是“”的必要不充分条件，故选B.
4.C 将点代入，得抛物线抛物线的准线方程为，故选C.
5.A 当时，，故排除选项C；当时，，故排除选项B；令，则在上恒成立，函数在区间上是奇函数，其函数图象关于原点对称，故排除选项D，故选A.
6.D 该算法的功能是计算，故选D.
7.D 从甲 乙 丙 丁 戊5人中选取2人的所有等可能结果有甲乙 甲丙 甲丁 甲戊 乙丙 乙丁 乙戊 丙丁 丙皮 丁戊，共10种，其中甲被选中的结果有甲乙 甲丙 甲丁 甲戊，共4种，故所求概率为，故选D.
8.D 设正方体的棱长为，则，易知正方体的外接球的球心为体对角线的中点，.在中，由余弦定理可得，故选D.
9.C 由题知，，由得函数的最小正周期为，解得，故A错误；的图像不关于点对称，故B错误；当时，的图象关于直线对称，故C正确；令，得的单调递增区间为在上单调递增，在上单调递减，在上不具有单调性，故选C.
10.A 由题知，解得椭圆的左 右焦点为，若上的点满足由椭圆定义得①.由余弦定理得②，联立①②，得，的面积是，故选A.
11.D 依题意，，故，故，故A正确；因为，故B正确；因为包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，故公比，所以，假设正确，要证：，即证，即证，即证，即证，而，故C正确；而，假设D正确，即证，即证，即证，即证，即证：，即证，而，故假设不成立，D错误.
12.A 关于的方程且有两个不等实根，即关于的方程且有两个不等实根，即函数与且函数的图象有两个交点，由指数函数与对数函数的图象可知，当时，函数与且函数的图象有且只有1个交点，，联立，得.令，则，且在上单调递增，，，即，即，令在上单调递增，在，上单调递减，则，又当时，，且，
画出大致图象如图所示，由图知，，解得，故选A.
13. 作出可行域如图中阴影部分所示（包含边界），目标函数的几何意义为可行域内一点与点连线所在直线的斜率的最大值，由图知，当目标函数经过点时，取得最大值，且.
14. 向量，且，解得，即.
15. 直线与直线，即，当且仅当时取等 ，的最大值为.
16. ，即由正弦定理得.又由余弦定理得，即，由余弦定理得.又的面积为.
17.解：（1）当时，，
当时，①
②
由①②得，
.
又，
是首项为-3，公比为2的等比数列.
，
.
（2）由（1）知，，
数列的前项和为，
，
，
.
18.（1）证明：平面平面.
分别是梭的中点，，
，
梯形的面积为，
又.
又平而.
（2）解：，
.
设点到平面的距离为，
则，即，
解得，
即点到平面的距离为.
19.解：（1），
.
，
故关于的回归直线方程为.
（2）每月的总利润，
抛物线的对称轴方程为，
该拖把月利润最大时拖把的单价为19.6元.
20.解：（1）由双曲线的几何性质可知，四边形是菱形，且，
四边形的面积为，①
又离心率为，②
联立①②可得，
双曲线的标准方程为.
（2）设，线段中点，
咲立消去整理可得，
即且①，
.
.
.
，
②，
又.③，
由①②③得或，
实数的取值范围是.
21.解：（1）的定义域为，
则，
显然，
当时，，
在上为增函数，
当时，；当时，，
存在，使得，
当时，的零点个数为1.
（2），
则.
当时，恒成立，
.
设，则，
在上单调递增.
又，
在是增函数.
.
故若在上恒成立，则，
实数的取值范围为.
22.解：（1）由曲线的参数方程为（为参数），
消去参数并整理得，
由，得，
又，
曲线的直角坐标方程为.
（2）联立
消去并整理得.
解得.
代入，得.
不妨取.
则.
.
23.解：（1），
函数的值域为.
（2），
若恒成立，则，
解得或，
实数的取值范围为.