重庆市沙坪坝区南开中学校2023-2024七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

重庆南开中学2023－2024学年度下学期半期考试初2026届
数学试题
一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡对应的方框涂黑．
1. 下列表情中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
3. 一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 意大利面根根筋道，看起来极易折断，棉花糖柔软、容易固定．利用意大利面做架子，棉花榶做连接，能搭建出“又高又稳”的建筑．在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是（ ）
A 三角形具有稳定性 B. 两点之间，线段最短
C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短
6. 如图，点，，，在同一直线上，，，添加下列条件，不能判定与全等的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如果关于二次三项式是一个完全平方式，那么常数的值是（ ）
A. 13 B. C. 或12 D. 或13
8. 根据流程图中的运算程序，当输入数据时，输出结果为（ ）
A. 1 B. 9 C. 25 D. 81
9. 艳艳与君君约定去爬缙云山，开始两人一起坐缆车至中转点，休息片刻后步行登山至缙云山山顶欣赏美景．设所用的时间为，离山脚的高度为，下图能反映整个上山顶的过程中变量与之间关系的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 两直线平行，同位角相等
B. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是一边上的中线
C. 锐角三角形的高一定在三角形的内部
D. 若的三个内角满足，则是直角三角形
11. 如图，点为边上一点，点为边上的点，将、分别沿着翻折，得到和，若，设，则的度数为（ ）
A B. C. D.
12. 若第一个整式的项数为奇数，则用此整式去乘，若项数为偶数，则用此整式去乘，所得结果记作；若合并同类项后的项数为奇数，则用去乘，若合并同类项后的项数为偶数，则用去乘，所得结果记作，以此类推．下列说法正确的个数为（ ）
①第一个整式为，则；
②第一个整式为，若，则的值为5；
③第一个整式为，若，则．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题（本大题12个小题，每题3分，共36分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上．
13. 福岛第一核电站核废水即便被海水稀释后放射量仍达到贝克勒尔，数据用科学记数法表示为______．
14. 一个等腰三角形的两边长为4和9，则此三角形的周长为______．
15. 已知，则的值是______．
16. 北关中学数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案：首先找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合，记录直杆与地面的夹角；然后使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端点；最后测得，则攀岩墙的高度______．
17. 学校“生物妙妙屋”选修课成员小南观察到某种酵母菌体积随时间变化的情况如下表：
时间
醅母菌体积
则酵母菌体积与时间的关系式为______．
18. 如图，为钝角三角形，分别过点作边上高，已知，，，则的长为______．
19. 若关于的多项式化简后的结果中不含的一次项，则的值为______．
20. 如图，在的边上截取，连接，作的角平分线交于点，若，则______．
21. 近年来，越来越多的游客到重庆来打卡麻辣鲜香的火锅，同时还会购买火锅底料作为伴手礼．洪崖洞某店推出活动：如果一次购买5包以上（不含5包）的火锅底料，超过5包的部分将打折，并依此得到付款金额（元）与购买火锅底料（包）之间的关系如图所示，那么购买18包火锅底料需要付款______元．
22. 如图，在中，，点在外，连接交于点，若，，则的度数为______°．
23. 如图，在中，为外一点，与交于点，过点作交延长线于点为线段上一点，连接，使．下列结论：①；②；③连接则线段关于所在直线对称；④若的面积为1，则的面积为8，其中正确的是______（只填序号）
24. 一个四位自然数，若满足千位数字与十位数之和恰好是百位数字与个位数字之和的，则称这个四位数为“2分倍数”，一个“2分倍数”，记，．若，且被5除余3，则满足条件的四位自然数的值为______．
三、计算题（本大题共5个小题，25－28题每题5分，29题8分，共28分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，诸将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
25. 计算：．
26. 化简：．
27. 化简：．
28. 化简：．
29. 先化简，再求值：，其中．
四、解答题（本大题5个小题，每小题10分，共50分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
30. 如图，在中，是的角平分线，过点作射线．
（1）用直尺和圆规完成以下基本作图：在的下方作，射线交于点．（保留作图痕迹，不写作法和结论）
（2）在（1）所作图形中，若，求证：．（请补全下面的证明过程）
证明：∵，
①
在中，，
，
，
，
②
是的角平分线，
，
③
，
④
在和中，
，
（ ⑤ ）
31. 如图，在中，，延长至点，使，过点作，使，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
32. 如图1，在长方形中，为边上一点，其中．动点从开始，以的速度沿路线运动，然后以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）________________________．
（2）当的面积为时，求的值．
（3）如图3，当点以的速度在上运动时，动点同时以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为何值时，与全等，请直接写出的值．
33. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．
（1）观察下列图形，将它们与下列公式对应起来．（填写对应公式的序号）
公式①：
公式②：
公式③：
公式④：
图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______．（填序号）
（2）如图3，若，且空白部分的面积为，求大正方形的边长的值．
为了解决这个问题，小敏将阴影部分平移至如图5所示位置，则空白部分的面积可表示为，小敏运用“整体思想”，设，结合公式①，则可计算出的值，从而求出边长．请根据材料，帮助小敏完成后续的解答过程：
（3）如图6，若，空白部分的面积为，且正方形与正方形的面积之和为，求正方形与正方形的面积之差．
34. 为等边三角形，在外作射线为射线上一点，连接，在平面内有一点，满足．
（1）如图1，连接，若点恰好在上，且，求的度数；
（2）如图2，连接，若，且恰好过边的中点，求证：；
（3）如图3，若，连接，当线段长度最小时，在射线上取一点，在边上截取，连接，则当的值最小时，请直接写出的度数．重庆南开中学2023－2024学年度下学期半期考试初2026届
数学试题
一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡对应的方框涂黑．
1. 下列表情中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的性质求解即可求得答案．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的性质，此题比较简单，注意掌握指数的变化时解此题的关键．
3. 一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的特征，根据，求出，然后利用平行线的性质求出，进而求解即可．
【详解】如图所示，
根据直角三角形的性质，得，
∵直尺的对边平行，
∴
∵，
∴．
故选C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的乘法．根据完全平方公式、平方差公式以及多项式除以单项式的法则计算，再逐一判断即可．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：D．
5. 意大利面根根筋道，看起来极易折断，棉花糖柔软、容易固定．利用意大利面做架子，棉花榶做连接，能搭建出“又高又稳”的建筑．在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是（ ）
A. 三角形具有稳定性 B. 两点之间，线段最短
C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．模型中三角形架子是其主要结构，故可用三角形的稳定性解释．
【详解】解：依题意，在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是三角形具有稳定性，
故选：A．
6. 如图，点，，，在同一直线上，，，添加下列条件，不能判定与全等是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理(、、、)逐项判断即可．
【详解】解：A、∵
∴，即，
∵，，
∴，故选项A不符合题意；
B、∵，，，
∴，故选项B不符合题意；
C、∵，，，，
∴不能证明，故选项C符合题意；
D、∵，，，
∴，故选项D不符合题意，
故选：C．
7. 如果关于的二次三项式是一个完全平方式，那么常数的值是（ ）
A. 13 B. C. 或12 D. 或13
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查完全平方式；先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式(完全平方和、差公式)乘积二倍项即可确定m的值.
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
∴，
∴或，
故选：D．
8. 根据流程图中的运算程序，当输入数据时，输出结果为（ ）
A. 1 B. 9 C. 25 D. 81
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式求值问题．根据图中的程序表，把代入，求出的值，得出的值即可．
【详解】解：当时，，
当时，，
故选：C．
9. 艳艳与君君约定去爬缙云山，开始两人一起坐缆车至中转点，休息片刻后步行登山至缙云山山顶欣赏美景．设所用的时间为，离山脚的高度为，下图能反映整个上山顶的过程中变量与之间关系的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了函数图象．根据一开始是坐缆车上山，休息一段时间后是步行登山至缙云山山顶，因此休息前路程变化比休息后的路程变化快，由此判定即可．
【详解】解：由题意可得，
刚开始，艳艳与君君是坐缆车上山，变化趋势比较快，
休息一段时间，步行登山至缙云山山顶，变化趋势比较平缓，
故选：B．
10. 下列说法错误是（ ）
A. 两直线平行，同位角相等
B. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是一边上的中线
C. 锐角三角形的高一定在三角形的内部
D. 若的三个内角满足，则是直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查判断命题的真假．分别根据平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及三角形的高线逐项判断即可作出选择．
【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，说法正确，但不符合题意；
B、等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线所在的直线，原说法错误，但符合题意；
C、锐角三角形的高一定在三角形的内部，说法正确，但不符合题意；
D、若的三个内角满足，则最大角为，所以是直角三角形，说法正确，但不符合题意；
故选：B．
11. 如图，点为边上一点，点为边上的点，将、分别沿着翻折，得到和，若，设，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，翻折的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
过点A作，由平行线的性质及翻折的性质得，
，设，
由三角形内角和定理及平角的意义即可求解．
【详解】解：过点A作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将、分别沿着翻折，得到和，
∴，
∴，
设，
∵在中，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
12. 若第一个整式的项数为奇数，则用此整式去乘，若项数为偶数，则用此整式去乘，所得结果记作；若合并同类项后的项数为奇数，则用去乘，若合并同类项后的项数为偶数，则用去乘，所得结果记作，以此类推．下列说法正确的个数为（ ）
①第一个整式，则；
②第一个整式为，若，则的值为5；
③第一个整式为，若，则．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算．计算即可判断①正确；，由，得到，化简即可判断②错误；分别计算出和，再计算，得到即可判断③正确．
【详解】解：①第一个整式为，则；①正确；
②第一个整式为，则，
∵，
∴，即，
∴，②错误；
③第一个整式为，则，
，
∴
，
∵，
∴，③正确；
故选：C．
二、填空题（本大题12个小题，每题3分，共36分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上．
13. 福岛第一核电站核废水即便被海水稀释后放射量仍达到贝克勒尔，数据用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故答案为：．
14. 一个等腰三角形的两边长为4和9，则此三角形的周长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据腰为4或9分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断．
【详解】当等腰三角形的腰为4时，三边为，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为9时，三边为，三边关系成立，周长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据已知边哪个为腰，分类讨论．
15. 已知，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则的逆用，可把变为，然后代入求值即可．
【详解】解：∵
∴．
故答案为：
16. 北关中学数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案：首先找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合，记录直杆与地面的夹角；然后使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端点；最后测得，则攀岩墙的高度______．
【答案】5
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的应用，全等三角形的性质和判定，根据题意证明出，进而得到．
【详解】∵，
∴
∵
∴
∵，
∴
∴．
故答案为：5．
17. 学校“生物妙妙屋”选修课成员小南观察到某种酵母菌体积随时间变化的情况如下表：
时间
醅母菌体积
则酵母菌体积与时间的关系式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了函数的表示方法，根据表格，找到y随自变量x的变化规律，写出函数的关系式，观察表格，发现：当每增大，就增大，即可求解．
【详解】解：观察表格，发现：当每增大，就增大，
∴，
故答案为：．
18. 如图，为钝角三角形，分别过点作边上的高，已知，，，则的长为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了利用三角形的面积求高线的长．利用三角形的面积公式求得，再利用，求解即可．
【详解】解：∵，，且，
∴，
∵，且，
∴，
解得，
故答案为：6．
19. 若关于的多项式化简后的结果中不含的一次项，则的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】此题主要考查了多项式乘多项式．直接利用多项式乘法结合一次项次数为零进而得出答案．
【详解】解：
，
∵所得的结果中不含x的一次项，
∴，
解得：．
故答案为：2．
20. 如图，在的边上截取，连接，作的角平分线交于点，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，根据，平分得出，根据可得，进而即可求解．
【详解】解：∵，平分
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
21. 近年来，越来越多的游客到重庆来打卡麻辣鲜香的火锅，同时还会购买火锅底料作为伴手礼．洪崖洞某店推出活动：如果一次购买5包以上（不含5包）的火锅底料，超过5包的部分将打折，并依此得到付款金额（元）与购买火锅底料（包）之间的关系如图所示，那么购买18包火锅底料需要付款______元．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求得时的解析式，进而将代入，即可求解．
【详解】解：设时，与的函数关系式为，
将代入得，
解得：
∴
当时，
故答案为：．
22. 如图，在中，，点在外，连接交于点，若，，则的度数为______°．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理的应用，根据题意得出，设，则，表示出，根据，建立方程，解方程得出，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
设，则
又∵，
∴
∵
∴
即
解得：
∴
故答案为：．
23. 如图，在中，为外一点，与交于点，过点作交延长线于点为线段上一点，连接，使．下列结论：①；②；③连接则线段关于所在直线对称；④若的面积为1，则的面积为8，其中正确的是______（只填序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质．证明，得到，①正确；再证明，推出，②正确；证明四边形是正方形，推出③正确；求得的面积为4，推出的面积为5，说明④错误．
【详解】解：∵，
∴，
∵，∴，
∴，
∴，①正确；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，②正确；
∵，
∴四边形是长方形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴线段关于所在直线对称，③正确；
∵，，，，
∴，
∴，，
∵的面积为1，
∴正方形的面积为4，
∴的面积为4，即的面积为4，
∴的面积为5，
∴的面积为5，
∴的面积为10，④错误，
故答案为：①②③．
24. 一个四位自然数，若满足千位数字与十位数之和恰好是百位数字与个位数字之和的，则称这个四位数为“2分倍数”，一个“2分倍数”，记，．若，且被5除余3，则满足条件的四位自然数的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了数字类规律、因式分解，二元一次方程的解等知识，根据，得出，则，根据且被5除余3，得出能被整除，进而根据，分类讨论，即可求解．
【详解】解：∵，这个四位数为“2分倍数”，
∴即
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴，
∵且被5除余3，
∴
即能被整除，
∵且为正整数，
∴，，
当时，不能被整除，
当时，不能被整除，
当时，能被整除，
∴
故答案为：．
三、计算题（本大题共5个小题，25－28题每题5分，29题8分，共28分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，诸将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
25. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数的乘方运算，零指数幂与负整数指数幂，根据以上运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：
．
26. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了幂的运算．根据同底数乘法、除法和积的乘方法则计算即可求解．
【详解】解：
．
27. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算．根据多项式乘多项式，单项式乘多项式的法则化简，再合并同类项即可求解．
【详解】解：
．
28. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式的计算，根据平方差公式与完全平方公式的计算，即可求解．
【详解】解：
．
29 先化简，再求值：，其中．
【答案】，3
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算．先利用整式的混合运算将括号内的式子化简，再根据多项式除以单项式法则得出化简结果，最后再将代入进行计算即可．
【详解】解：
，
当时，
原式．
四、解答题（本大题5个小题，每小题10分，共50分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
30. 如图，在中，是的角平分线，过点作射线．
（1）用直尺和圆规完成以下基本作图：在的下方作，射线交于点．（保留作图痕迹，不写作法和结论）
（2）在（1）所作图形中，若，求证：．（请补全下面的证明过程）
证明：∵，
①
在中，，
，
，
，
②
是的角平分线，
，
③
，
④
在和中，
，
（ ⑤ ）
【答案】（1）见解析 （2）；；；；
【解析】
【分析】（1）根据尺规作图－作一个角等于已知角的方法作出图形即可；
（2）利用三角形内角和定理结合等腰三角形的性质求得，推出，再利用证明，即可证明．
【小问1详解】
解：所作图形如图所示，
【小问2详解】
证明：∵，
，
在中，，
，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
在和中，
，
．
故答案为：；；；；．
【点睛】本题考查了尺规作图－作一个角等于已知角，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．利用证明是解题的关键．
31. 如图，在中，，延长至点，使，过点作，使，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）10
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，
（1）首先根据题意得到，然后利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
32. 如图1，在长方形中，为边上一点，其中．动点从开始，以的速度沿路线运动，然后以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）________________________．
（2）当的面积为时，求的值．
（3）如图3，当点以的速度在上运动时，动点同时以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为何值时，与全等，请直接写出的值．
【答案】（1），，
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，全等三角形的性质，三角形的面积公式；
（1）根据函数图象分析当点运动到上时，不变化，得出，当时，点在上，得出，根据从到的运动时间为，用路程除以时间，即可求解．
（2）分当在上时，当在上时，根据三角形的面积为得出到的距离为，即可求解．
（3）分和根据全等三角形的性质得出线段相等，进而建立方程组，解方程组，即可求解；
【小问1详解】
解：依题意，，
当点运动到上时，不变化，
∵
∴
解得：
根据图2可得，
当时，点在上，
∴，
∵从到的运动时间为
∴
故答案为：，，．
∵四边形是长方形，
∴
【小问2详解】
∵，的面积为
∴到的距离为
当在上时，，
当在上时，
∴
【小问3详解】
解：∵，
∴当与全等时，有两种情况，
①时，
∴解得：
②时，
∴解得：
33. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．
（1）观察下列图形，将它们与下列公式对应起来．（填写对应公式的序号）
公式①：
公式②：
公式③：
公式④：
图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______．（填序号）
（2）如图3，若，且空白部分的面积为，求大正方形的边长的值．
为了解决这个问题，小敏将阴影部分平移至如图5所示位置，则空白部分的面积可表示为，小敏运用“整体思想”，设，结合公式①，则可计算出的值，从而求出边长．请根据材料，帮助小敏完成后续的解答过程：
（3）如图6，若，空白部分的面积为，且正方形与正方形的面积之和为，求正方形与正方形的面积之差．
【答案】（1）②，③，④，①
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式在几何中的应用．熟练掌握完全平方公式、平方差公式在几何中的应用是解题的关键．
（1）由题意知，图1对应公式，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式，然后作答即可；
（2）由，可得，，由题意知，，则，由公式①，可得，即，计算求出满足要求的解即可；
（3）由题意知，，，可得，，整理得，则，即，根据，代值求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，图1对应公式，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式，
故答案为：②，③，④，①．
【小问2详解】
解：∵，
∴，，
由题意知，，
∴，
由公式①，可得，即，
，
∴或，
解得，或（舍去），
∴大正方形的边长的值为．
【小问3详解】
解：由题意知，，，
∴，
∴，整理得，
∴，
∴，
∴，
∴正方形与正方形的面积之差为．
34. 为等边三角形，在外作射线为射线上一点，连接，在平面内有一点，满足．
（1）如图1，连接，若点恰好在上，且，求的度数；
（2）如图2，连接，若，且恰好过边的中点，求证：；
（3）如图3，若，连接，当线段的长度最小时，在射线上取一点，在边上截取，连接，则当的值最小时，请直接写出的度数．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）；
【解析】
【分析】（1）本题考查了三角形全等和等边三角形的性质，找到全等的条件是解题的关键．根据，，可知为等边三角形，利用公共角，证得，再证，得到，，由此可得度数， ，即得解；
（2）本题考查了三角形全等和等边三角形的性质，通过“截长补短法”构造三角形全等是解题的关键．要证，由于三边不在一条直线上，因此考虑“截长补短法”把线段进行转化．在上取点，使得，连接、、，证明，再证，最后证明为等边三角形，即得证；
（3）本题考查了动点问题，解题的关键是首先证明点的运动轨迹，找到何时线段最短，然后构造三角形，确定何时的值最小．以为边向下作等边三角形，连接，证明，得到，即得当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足，由此得到当时，线段最短．要证明两条线段的最小值，通常利用两点之间线段最短，因此需要将其中一条线段进行转化．以点为顶点，作，且，连接，证明 ，得到，由此，只需求的值最小，由图可知当三点共线时，取得最小值，最后根据三角形内角和，求角即可；
【小问1详解】
解：如图，
，，
为等边三角形，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故．
【小问2详解】
解：在上取点，使得，连接、、，如图所示，
为边的中点
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
为等边三角形，
，
故 ，
【小问3详解】
解：以为边向下作等边三角形，连接，如图所示，
和都是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足，
当线段的长度最小时，即过点向直线作垂线，为垂足，
即， ，
，，
，
在中，，
又 ，
，
，
以点为顶点，作，且，连接，如图所示，
，
，
，
，
连接交射线于点，在中，
，
当三点共线时，的值最小，如图所示，
此时， ，
为等腰三角形，又，
，
在中，，
，
在中，，
，
又 （前面已证），
，
在中，，
在中，，
，
故当的值最小，．
【点睛】本题是一道有关三角形的动点问题，综合考查了三角形全等判定与性质，等边三角形性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和，两点之间线段最短求最值．当看到要证明线段相等的时候，可以考虑“截长补短法”，当看到动点问题时，考虑首先证明动点的运动轨迹，当求线段的最值问题考虑利用“两点之间线段最短”的原理，其中作出恰当的辅助线，构造三角形证明全等是解决本题的关键．