2023年辽宁省丹东第六中学中考数学模拟预测题（原卷版+解析版）

2023年辽宁省丹东六中中考数学结课试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 9的平方根是（ ）
A. B. C. 3 D. -3
【答案】A
【解析】
【分析】利用平方根定义计算即可得到结果．
【详解】解：∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3，
故选A
【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握平方根定义是解本题关键．
2. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数的表达式为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
所得抛物线对应的函数表达式为，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，是解题的关键．
3. 截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628．83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262 883 000 000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将262 883 000 000写成，n为正整数的形式即可．
【详解】解：将262 883 000 000保留1位整数是，小数点向左移动了11位，
则262 883 000 000，
故选B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，掌握中n的取值方法是解题的关键．
4. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：①轴对称图形，不是中心对称图形；
②④既是轴对称图形，也是中心对称图形；
③原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形；
故选：C．
5. 在中，，，，那么的正弦值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正弦的定义；根据正弦的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，
在中，，，，
∴,
故选：D．
6. 如图，在中，为直径，，点D为弦的中点，点E为上任意一点，则的大小可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接OD、OE，先求出∠COD=40°，∠BOC=100°，设∠BOE=x，则∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°；然后运用等腰三角形的性质分别求得∠OED和∠COE，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：连接OD、OE
∵OC=OA
∴△OAC是等腰三角形
∵，点D为弦的中点
∴∠DOC=40°，∠BOC=100°
设∠BOE=x，则∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°
∵OC=OE，∠COE=100°-x
∴∠OEC=
∵OD＜OE，∠DOE=100°-x+40°=140°-x
∴∠OED＜
∴∠CED＞∠OEC-∠OED==20°．
又∵∠CED＜∠ABC=40°，
故答案为C．
【点睛】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本题的关键．
7. 下列说法正确的是（　　）
A. 四边相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线相等的四边形是矩形
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形，菱形，矩形的判定方法即可求解．
【详解】解：、四边相等的四边形是菱形，原选项说法错误，不符合题意；
、对角线平分互相垂直且相等的四边形是正方形，原选项说法错误，不符合题意；
、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原选项说法正确，符合题意；
、对角线平分且相等的四边形是矩形，原选项说法错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查正方形，菱形，矩形的判定方法，掌握特殊四边形的判定知识是解题的关键．
8. 在今年“双”来临之际，某品牌鞋专柜为更好的备货，特整理了前期销售这款鞋子尺码的平均数、中位数、众数、方差，其中作为销售主管最关心的数据是（　　）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】销售主管关注的是这款鞋子相应尺码的销量问题，因此销售主管关注的是众数．
【详解】由于众数是数据中出现最多的数，故销售主管最感兴趣的销售量最多的鞋号即这组数据的众数．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用众数做决策，熟知众数的定义是解题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE=．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点E作EG⊥AB于点G，利用三角函数求得EG=8，BG6，AG=4，再求得点E的坐标为(4，12)，根据题意，直线l经过矩形OABC的对角线的交点H和菱形ABEF的对角线的交点D，根据中点坐标公式以及待定系数法即可求解．
【详解】解：过点E作EG⊥AB于点G，
∵矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，
∴AB=BE=10，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(10，0)，
在Rt△BEG中，tan∠ABE=，BE=10，
∴sin∠ABE=，即，
∴EG=8，BG=6，
∴AG=4，
∴点E的坐标为(4，12)，
根据题意，直线l经过矩形OABC的对角线的交点H和菱形ABEF的对角线的交点D，
点H的坐标为(，)，点D的坐标为(，)，
∴点H的坐标为(5，2)，点D的坐标为(2，8)，
设直线l的解析式为y=kx+b，
把(5，2)，(2，8)代入得，
解得：，
∴直线l的解析式为y=-2x+12，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，待定系数法求函数的解析式，矩形和菱形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
10. 如图，二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：
①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的有（　　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．
由抛物线的开口方向判断与的关系，然后根据对称轴判定与的关系以及；当时，；然后由图象确定当取何值时，．
【详解】解：顶点在轴的上方，
，即，故正确；
对称轴，
；故正确；
，
，
当时，，
，故错误；
根据图示知，当时，有最大值；
当时，有，
所以为实数故正确；
如图，当时，不只是大于故错误．
故选：．
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 在中自变量x的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据分母不为0，且二次根式被开方数非负计算可得．
【详解】解：∵函数要有意义，
则，
解得：且，
故答案为；且．
【点睛】本题考查求函数的取值范围，通常我们关注2个点：分母不为0，二次根式内的式子必须非负．
12. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
13. 将二次函数化成形式为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数化为顶点式：；利用配方法整理即可得解．
【详解】解：，
所以，．
故答案为：．
14. 半径为2的圆内接正三角形的边长是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是圆内接正三角形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．根据题意画出图形，由正三角形及特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：如图，连接，过作于，
为圆内接正三角形，
，
，
，
故答案为：．
15. 扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留）为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形面积公式可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：该扇形的面积为；
故答案．
【点睛】本题主要考查扇形面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
16. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据二次项系数非零及根判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
【详解】解：关于的方程有两个实数根，
，
解得：，
，
，
的取值范围为且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
17. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是______．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设，，结合正方形的性质，全等三角形的判定和性质，得到≌≌，然后表示出点C和点D的坐标，求出，即可求出答案．
【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图：
∵，
设，，
∴点A为（，0），点B为（0，）；
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴≌≌，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为（，），点D的坐标为（，），
∵点C在函数的函数图像上，
∴，即；
∴，
∴经过点D的反比例函数解析式为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的性质，三角函数，余角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的表示出点C和点D的坐标，从而进行解题．
18. 如图，将矩形沿着翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上，小炜同学得出以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的是______．
【答案】①④⑤
【解析】
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质分析判断①；通过点G为中点，点E为中点，设，利用勾股定理分析求得与的数量关系，从而判断③；利用相似三角形的判定和性质分析判断和和的数量关系，从而判断④和⑤；根据相似三角形的判定分析判断②．
【详解】解：由折叠性质可得：，，，，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
设，则，
∴，
在中，，
，
解得：，
∴，故③错误；
在中，设则，
解得：
在中，
故④⑤正确；
∵，
∴
∴不相似，故②错误；
综上，正确的是①④⑤，
故答案：①④⑤．
【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质和勾股定理是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 先化简，后求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、负整数指数幂、特殊角的三角函数值是解题的关键．根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值把化简，代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，
原式．
20. 列分式方程解应用题
磁悬浮列车是一种靠磁悬浮力来推动的列车，磁悬浮列车的建设是中国交通发展史上的一次精彩跨越．A，B两站之间的距离为，其间运行的磁悬浮列车的平均速度是地铁的平均速度的6.25倍，且乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少小时．求该磁悬浮列车的平均速度
【答案】该磁悬浮列车的平均速度为．
【解析】
【分析】设地铁的平均速度为，则该磁悬浮列车的平均速度为，根据“乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少小时”，得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设地铁的平均速度为，则该磁悬浮列车的平均速度为．
由题意知，．
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
所以．
答：该磁悬浮列车的平均速度为．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21. 为了解市区A校落实双减政策的情况，有关部门抽查了A校901班同学，以该班同学参加课外活动的情况为样本，对参加“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类”活动的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图.
（1）该班参加球类活动的学生占班级人数的百分比是______；
（2）请把图2（条形统计图）补充完整：
（3）该校学生共720人，则参加棋类活动的人数约为______.
（4）该班参加舞蹈类活动的4位同学中，恰有2位男生（分别用表示）和2位女生（分别用表示），现准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率.
【答案】（1）；
（2）补图见解析； （3）人；
（4）恰好选中一男一女的概率是，树状图见解析
【解析】
【分析】（1）根据绘画类的人数除以百分比得出中人数，根据球类的人数即可求解；
（2）根据音乐类的占比乘以总人数，得出人数，补全统计图即可求解；
（3）根据乘以棋类人数的占比即可求解．
【小问1详解】
总人数有：（人），
该班参加球类活动的学生占班级人数的百分比是；
【小问2详解】
音乐类的人数为人，补全条形统计图如下：
【小问3详解】
（人）；
【小问4详解】
画树状图，如图：
∴（一男一女）．
答：恰好选中一男一女的概率是．
【点睛】本题考查了扇形统计图与扇形统计图信息关联，画条形统计图，样本估计总体，画树状图法求概率，从统计图表中获取信息是解题的关键．
22. 如图，某地计划打通一条东西方向的隧道，无人机先从点A的正上方点C，沿正东方向以6的速度飞行到达点D，测得A的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点E，测得点B的俯角为，求的长度（结果精确到1m，参考数据：，，，）．
【答案】242m
【解析】
【分析】过点B作，垂足为F，根据路程速度时间得到，，在，与中，根据三角函数即可得到答案；
【详解】解：过点B作，垂足为F，
由题意得：，，，，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的长度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形解决仰俯角问题，解题的关键是根据行程问题得到相应线段的长度及熟练掌握三角函数的定义．
23. 丹东是我国最大的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降低0.1元，愿意多经销500件，请问，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
【答案】单价为12时，利润最大
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．由总利润=每件利润×批发件数，列出函数关系式，根据二次函数性质可得答案．
【详解】解：设厂家批发单价是x元，获利为y元，
∵，
∴当时，y取最大值20000，
∴厂家批发单价是12元时，可以获利最多为20000元．
24. 如图，是⊙的直径，是⊙的切线，、是⊙的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P．
（1）求证：；
（2）若⊙的半径，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据是的切线，得出．根据，可证．得出．根据同弧所对圆周角性质得出即可；
（2）连接．根据直径所对圆周角性质得出，．可证．得出．根据勾股定理．再证．求出即可．
【小问1详解】
证明：∵是的切线，
∴．
∵
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
【小问2详解】
解：如图，连接．
∵为直径，
∴
，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
，
∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，熟练掌握圆周角性质和三角形相似判定与性质是解题关键．
25. 如图①，在正方形中，点E为边的中点，P为对角线上的一点，连接交于点F，连接、、．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）如图②，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）证明即可得证；
（2）先证明，即有，则有，即可得，即可证明，则结论得证；
（3）过点P作，垂足N．先证明．即有．根据点E为的中点，有，即．利用勾股定理即可求出AE，即．设为x，则，．则在中，依据，有，解方程即可求出EN，则PE可得．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，为对角线，
∴，．
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵在正方形ABCD中，，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图，过点P作，垂足N．
∵，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
又∵点E为的中点，
∴，
∴．
∴．
∵，，
∴．即PN=BN，
设为x，则，．
在中，得，即，
解得．
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
26. 如图，对称轴为直线的抛物线图象与轴交于点、点在点的左侧，与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图，若点为抛物线上第二象限内的一个动点，点为线段上一动点，当的面积最大时，求周长的最小值；
（3）如图，将原抛物线绕点旋转，得新抛物线，在新抛物线的对称轴上是否存在点使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或或
【解析】
【分析】（1）根据对称轴为直线，可得，再把点，代入解析式即可求解；
（2）过点作的平行线，当直线与抛物线只有一个交点时，面积最大，由此可对称点的坐标；再根据轴对称最值问题可求出周长的最小值；
（3）由可得原抛物线的顶点坐标，由旋转的性质可得的顶点坐标，进而可求出的对称轴；则需要分类讨论当时；当时；当时，分别建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线过点，点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
由（1）知函数解析式为：．
，
直线：，
过点作，设直线的解析式为：，
当的面积最大时，直线与抛物线有且仅有一个交点，
令，整理得，
，
解得：，
，
，即；
作点关于轴对称点，连接交轴于点，如图，此时的周长最小，
，
，
，，
周长的最小值为：．
【小问3详解】
由（1）知原抛物线的顶点坐标，绕点旋转后的顶点，
的对称轴为直线；
设点的坐标为，
若是等腰三角形，则需要分类讨论：
当时，如图；
，解得；
或；
当时；
，无解；
当时，如图，
，解得，
．
综上可知，存在，点的坐标为或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积最值问题，轴对称最值问题，等腰三角形存在性问题，（2）关键是求出点的坐标；（3）关键是进行正确的分类讨论，根据两点间距离公式建立方程．2023年辽宁省丹东六中中考数学结课试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 9的平方根是（ ）
A. B. C. 3 D. -3
2. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数的表达式为（　　）
A. B.
C. D.
3. 截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628．83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262 883 000 000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形是（　　）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
5. 在中，，，，那么的正弦值是( )
A. B. C. D.
6. 如图，在中，为直径，，点D为弦的中点，点E为上任意一点，则的大小可能是（ ）
A. B. C. D.
7. 下列说法正确是（　　）
A. 四边相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线相等的四边形是矩形
8. 在今年“双”来临之际，某品牌鞋专柜为更好的备货，特整理了前期销售这款鞋子尺码的平均数、中位数、众数、方差，其中作为销售主管最关心的数据是（　　）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE=．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，二次函数（，，是常数，）图象一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：
①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的有（　　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 在中自变量x的取值范围是______．
12. 因式分解：______．
13. 将二次函数化成形式为___________．
14. 半径为2的圆内接正三角形的边长是___________．
15. 扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留）为____________．
16. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______．
17. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是______．
18. 如图，将矩形沿着翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上，小炜同学得出以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的是______．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 先化简，后求值：，其中．
20. 列分式方程解应用题
磁悬浮列车是一种靠磁悬浮力来推动的列车，磁悬浮列车的建设是中国交通发展史上的一次精彩跨越．A，B两站之间的距离为，其间运行的磁悬浮列车的平均速度是地铁的平均速度的6.25倍，且乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少小时．求该磁悬浮列车的平均速度
21. 为了解市区A校落实双减政策的情况，有关部门抽查了A校901班同学，以该班同学参加课外活动的情况为样本，对参加“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类”活动的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图.
（1）该班参加球类活动的学生占班级人数的百分比是______；
（2）请把图2（条形统计图）补充完整：
（3）该校学生共720人，则参加棋类活动的人数约为______.
（4）该班参加舞蹈类活动的4位同学中，恰有2位男生（分别用表示）和2位女生（分别用表示），现准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率.
22. 如图，某地计划打通一条东西方向的隧道，无人机先从点A的正上方点C，沿正东方向以6的速度飞行到达点D，测得A的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点E，测得点B的俯角为，求的长度（结果精确到1m，参考数据：，，，）．
23. 丹东是我国最大的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降低0.1元，愿意多经销500件，请问，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
24. 如图，是⊙的直径，是⊙的切线，、是⊙的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P．
（1）求证：；
（2）若⊙的半径，求线段的长．
25. 如图①，在正方形中，点E为边的中点，P为对角线上的一点，连接交于点F，连接、、．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）如图②，若，，求的长．
26. 如图，对称轴为直线的抛物线图象与轴交于点、点在点的左侧，与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图，若点为抛物线上第二象限内的一个动点，点为线段上一动点，当的面积最大时，求周长的最小值；
（3）如图，将原抛物线绕点旋转，得新抛物线，在新抛物线对称轴上是否存在点使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．