福建省厦门市翔安区2023-2024八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

翔安区2023-2024学年度第二学期八年级期中联考数学科试卷
满分：150分；考试时间：120分钟
一、单选题（每题4分，共40分）
1. 下列各数中，能使有意义的是（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
2. 下列二次根式，能与合并的是 （ ）
A. B. C. D.
3. 在中，那么它的四个内角按一定顺序的度数比可能为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D. =1
5. 下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是 （ ）
A. 三个角满足关系 B. 三条边满足关系
C. 三边之比为 D. 三个角的比为
6. 已知四边形是平行四边形，对角线、交于点O，E是的中点，以下说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
7. 菱形的周长为20cm，它的一条对角线长为6cm，则其面积为（ ）cm2．
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
8. 一旗杆在其的处折断，量得米，则旗杆原来的高度为（ ）
A. 米 B. 米 C. 10米 D. 米
9. 如图，数轴上的点可近似表示(4)的值是(　　)
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
10. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为(　　)
A 3 B. 4 C. D.
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 计算＝___．
12. ABCD中，∠A＝50°，则∠B＝_____．
13. 平行四边形周长为，两邻边之比为，则_____，______．
14. 如图，在R△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，BD是AC边上的中线，则BD= ________．
15. 一艘小船早晨8：00出发，它以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以12海里/时的速度向南航行，上午10：00，两小船相距_________海里．
16. 如图，在正方形ABCD内有一点P，AD＝2，点M是AB的中点，且∠PMA＝2∠PAD．连接PD，则PD的最小值为 __．
三、解答题（共86分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 如图是的角平分线，交于点，交于．试判断是何图形，并说明理由．
19. 定义：为正实数，若，则称为“和谐勾股数”，为的“兄弟勾股数”．如，则是“和谐勾股数”，是的“兄弟勾股数”．
（1）数______“和谐勾股数”（填“是”或“不是”）；
（2）已知的三边满足．求证：是“和谐勾股数”．
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 四边形是平行四边形，且，求的长．
22. 在如图所示的网格中，线段和直线a如图所示，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在格点上．
（1）在图中画出以线段为一边的正方形，且点C和点D均在格点上，并直接写出正方形的面积为______；
（2）在图中以线段为一腰等腰三角形，点E在格点上，则满足条件的点E有______个；
（3）在图中的直线a上找一点Q，使得的周长最小，最小值是多少？
23. 背景问题】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，是边上的中线，若，求边的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到，依据是______．
A． B． C． D．
（2）由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是___　．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【感悟方法】
（3）如图2，是的中线，交于，交于，．求证：．
24. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，并且a、b满足．一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点分别从点同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）．
（1）求两点的坐标．
（2）当t为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时两点的坐标．
（3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？并求出两点的坐标．
25. 已知正方形，过点作射线与线段交于点，，作于点，点与点关于直线对称，连接．
（1）如图1，当时，
①依题意在图①中补全图并证明： ．
②当，求的度数．
（2）探究与之间的数量关系并加以证明．翔安区2023-2024学年度第二学期八年级期中联考数学科试卷
满分：150分；考试时间：120分钟
一、单选题（每题4分，共40分）
1. 下列各数中，能使有意义的是（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：若有意义，则x-5≥0，
所以x≥5，
故选D．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
2. 下列二次根式，能与合并的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式化简，同类二次根式的概念，二次根式的加减运算，掌握二次根式的加减运算是解题的关键．
根据同类二次根式“根指数相同，被开方数相同”，二次根式的加减运算的方法即可求解．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并；
B、 与 不是同类二次根式，不能合并；
C、与是同类二次根式，能合并，符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并；
故选： C．
3. 在中，那么它的四个内角按一定顺序的度数比可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，且，
A、，故本选项不符合题意；
B、符合，且，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D. =1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘法，加减，性质进行判定即可求解．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意；
B、，原选项正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选： B．
5. 下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形是 （ ）
A. 三个角满足关系 B. 三条边满足关系
C. 三边之比为 D. 三个角的比为
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形内角和定理．熟练掌握勾股定理逆定理，三角形内角和定理是解题的关键．
由，，可得，进而可判断A；由，可得，进而可判断B；由三边之比为，设三边长分别为，则，进而可判断C；由三个角的比为，设三角分别为，则，可求，进而可判断D．
【详解】解：∵，，
∴，A能判断一个三角形是直角三角形，故不符合要求；
∵，
∴，B能判断一个三角形是直角三角形，故不符合要求；
∵三边之比为，设三边长分别为，
∴，C能判断一个三角形是直角三角形，故不符合要求；
∵三个角的比为，设三角分别为，
∴，
解得，，
∴，
∴D不能判断一个三角形是直角三角形，故符合要求；
故选：D．
6. 已知四边形是平行四边形，对角线、交于点O，E是的中点，以下说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、B、C正确；由，得出，选项D错误；即可得出结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
又点是的中点，
是的中位线，
，，
，
，
选项A、B、C正确，不符合题意；
，
，
选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质．还考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．
7. 菱形的周长为20cm，它的一条对角线长为6cm，则其面积为（ ）cm2．
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：如图，
BD=6cm，菱形的周长为20cm，则AB=5cm，
因为菱形的对角线互相垂直平分，则OB=3cm，
由勾股定理得OA=4cm，则AC=8cm，
所以菱形的面积=ACBD=×6×8=24cm2．
故选D．
考点：菱形的性质．
8. 一旗杆在其的处折断，量得米，则旗杆原来的高度为（ ）
A. 米 B. 米 C. 10米 D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】设旗杆原来高度为x米，则由题意可得AB、BC的长，由勾股定理建立方程即可求得x．
【详解】设旗杆原来高度为x米，则由题意得米，米
∵AB⊥AC
∴由勾股定理得：
即
化简得：
由算术平方根的定义得：
即旗杆的高为米．
故选：D
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，由题意设未知数，勾股定理建立方程是关键．
9. 如图，数轴上的点可近似表示(4)的值是(　　)
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
【答案】A
【解析】
【分析】先化简原式得4，再对进行估算，确定在哪两个相邻的整数之间，继而确定4在哪两个相邻的整数之间即可．
【详解】原式=4，
由于23，
∴1＜42．
故选：A．
【点睛】本题考查实数与数轴、估算无理数的大小，解题的关键是掌握估算无理数大小的方法．
10. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为(　　)
A. 3 B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论．
【详解】∵CE=5，△CEF的周长为18，
∴CF+EF=18-5=13．
∵F为DE的中点，
∴DF=EF．
∵∠BCD=90°，
∴CF=DE，
∴EF=CF=DE=6.5，
∴DE=2EF=13，
∴CD=，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=12，O为BD的中点，
∴OF是△BDE的中位线，
∴OF=(BC－CE)=(12－5)=3.5，
故选D．
【点睛】本题考查是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．使用勾股定理是解决这个问题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 计算＝___．
【答案】
【解析】
【分析】利用二次根式的加减法法则计算即可求出答案．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的加减法，要熟记：被开方数相同的二次根式相加减时，把系数相加减，根号部分保持不变．
12. ABCD中，∠A＝50°，则∠B＝_____．
【答案】130°
【解析】
【分析】根据平行四边形的邻角互补即可得出∠B的度数．
【详解】解：∵在 ABCD中∠A＝50°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质. 解决本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质.
13. 平行四边形的周长为，两邻边之比为，则_____，______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质可得，结合的比例即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
故答案为：①；② ．
14. 如图，在R△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，BD是AC边上的中线，则BD= ________．
【答案】1.5
【解析】
【分析】利用勾股定理求出AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，就可求出BD的长.
【详解】解：在Rt△ABC中，
AC=
∵ BD是AC边上的中线，
∴AC=2BD
∴BD=3÷2=1.5
故答案为1.5
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
15. 一艘小船早晨8：00出发，它以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以12海里/时的速度向南航行，上午10：00，两小船相距_________海里．
【答案】20
【解析】
【详解】分析：正东方向与正南方向正好构成直角,因而两船所经过的路线,与两船之间的连线正好构成直角三角形.根据勾股定理即可求解.
详解：在直角△OAB中,
OB=2×8=16海里.OA=12海里,
根据勾股定理:海里.
故答案为:20.
点睛：本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.
16. 如图，在正方形ABCD内有一点P，AD＝2，点M是AB的中点，且∠PMA＝2∠PAD．连接PD，则PD的最小值为 __．
【答案】##
【解析】
【分析】过M作MK⊥AP于K，连接MD，由∠AMP＝2∠PAD，可得∠AMP＝2∠AMK，即知∠AMK＝∠PMK，从而△AKM≌△PKM（ASA），PM＝AMABAD＝1，可得点P的轨迹是以M为圆心，1为半径的半圆，故当M、P、D共线时，PD最小，PD的最小值为MD﹣1，在Rt△AMD中，MD，即可得答案．
【详解】解：过M作MK⊥AP于K，连接MD，如图：
∵∠PAD＝90°﹣∠MAK＝∠AMK，∠AMP＝2∠PAD，
∴∠AMP＝2∠AMK，
∴∠AMK＝∠PMK，
∵MK＝MK，∠AKM＝∠PKM＝90°，
∴△AKM≌△PKM（ASA），
∴PM＝AMABAD＝1，
∴点P的轨迹是以M为圆心，1为半径的半圆，
当M、P、D共线时，PD最小，PD的最小值为MD﹣1，
在Rt△AMD中，MD，
∴PD最小为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查正方形中的动点问题，涉及三角形全等的判定与性质，解题的轨迹是求出P的轨迹是以M为圆心，1为半径的半圆．
三、解答题（共86分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握二次根式的性质化简，乘方运算，零次幂的运算，二次根式的混合运算法则是解题的关键．
（1）先计算二次根式的性质化简，乘方运算，零次幂的运算，再根据实数的混合运算即可求解；
（2）根据二次根式乘除法运算法则，实数的运算法则即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 如图是的角平分线，交于点，交于．试判断是何图形，并说明理由．
【答案】四边形为菱形．理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定，先判定四边形是平行四边形，然后再推出一组邻边相等．
【详解】结论：四边形为菱形
证明：如图，
∵，，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平行四边形为菱形．
19. 定义：为正实数，若，则称为“和谐勾股数”，为的“兄弟勾股数”．如，则是“和谐勾股数”，是的“兄弟勾股数”．
（1）数______“和谐勾股数”（填“是”或“不是”）；
（2）已知的三边满足．求证：是“和谐勾股数”．
【答案】（1）是 （2）证明过程见详解
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，定义新运算，理解定义新运算的规则，掌握勾股定理的运用是解题的关键．
（1）根据定义，运用勾股定理即可求解；
（2）运用完全平方公式，偶次幂的非负性，分别算出的值，根据定义新运算的方法即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴是“和谐勾股数”，
故答案为：是；
【小问2详解】
证明：已知，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，都是正实数，
∵，，，
∴，
∴是“和谐勾股数”．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先计算括号内代数式，然后化除法为乘法进行化简，然后代入求值．
【详解】解：原式=
=
=
当时，原式=．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
21. 四边形是平行四边形，且，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理的运用，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质可得，，根据勾股定理逆定理可得，在直角中，根据勾股定理可得的长，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，则，
∵，即，
∴是直角三角形，即，，
在直角中，，
∴，
∴的长为．
22. 在如图所示的网格中，线段和直线a如图所示，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在格点上．
（1）在图中画出以线段为一边的正方形，且点C和点D均在格点上，并直接写出正方形的面积为______；
（2）在图中以线段为一腰的等腰三角形，点E在格点上，则满足条件的点E有______个；
（3）在图中的直线a上找一点Q，使得的周长最小，最小值是多少？
【答案】（1）10 （2）6
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握正方形和等腰三角形的判定与性质及轴对称最短路线问题．
（1）根据正方形的判定与性质作图即可；
（2）分点为顶点和点为顶点两种情况分别确定点即可；
（3）作出点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，正方形即为所求，
，
正方形面积为10，
故答案为：10；
【小问2详解】
解：如图，满足条件的点有6个，
故答案为：6；
【小问3详解】
解：作出点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求．
此时的周长最小，
∴，
∴的周长最小，且为．
23. 【背景问题】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，是边上的中线，若，求边的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到，依据是______．
A． B． C． D．
（2）由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是___　．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【感悟方法】
（3）如图2，是的中线，交于，交于，．求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）证明过程见详解
【解析】
【分析】（1）根据题意，运用边角边的方法证明；
（2）由（1）中三角形全等可得，在中根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，由此即可求解；
（3）如图所示，延长至点，使得，连接，可证，可得，，，由此即可求解．
【详解】解：（1）延长至点，使，连接，
∵点是的中点，
∴，且（对顶角相等），
在中，
，
∴，
故选：；
（2）由（1）可得，
∴，，则，
在中，，
∴，
故答案为：；
（3）如图所示，延长至点，使得，连接，
∵点是的中点，
∴，且，
在中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形中线，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等边对等角，等角对等边等知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，并且a、b满足．一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点分别从点同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）．
（1）求两点的坐标．
（2）当t为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时两点的坐标．
（3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？并求出两点的坐标．
【答案】（1），
（2）当时，四边形是平行四边形；，
（3）或；，，或，
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的性质得出，的值进而得出答案；
（2）由题意得：，，根据平行四边形性质可得，进而得到关于t方程，解方程即可得出答案；
（3）①当时，，解方程得到的值，再求点坐标；②当时，由题意得：，，进而得到方程，再解方程即可．
【小问1详解】
解：由题意得，，
，
，
，
，，，
，
点坐标为，点的坐标为；
【小问2详解】
解：如图：
由题意得：，，
，，
，
当时，四边形是平行四边形，
，
解得：，
当时，四边形是平行四边形，
此时，点的坐标为，点的坐标为；
【小问3详解】
解：是以为腰的等腰三角形，
分两种情况：或．
①当时，如图，过作于，
，
四边形是矩形，
，，
，
中：，
，
，即，
解得：，
，；
②当时，过作轴于，
，
由题意得：，，
则，
解得：，
，
故，，
综上所述，当或时，是以为腰的等腰三角形；
，，或，．
【点睛】此题主要考查了二次根式性质、解不等式组、平行四边形的判定，矩形判定与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，关键是注意分类讨论，不要漏解．
25. 已知正方形，过点作射线与线段交于点，，作于点，点与点关于直线对称，连接．
（1）如图1，当时，
①依题意在图①中补全图并证明： ．
②当，求的度数．
（2）探究与之间的数量关系并加以证明．
【答案】（1）①证明过程见详解；②的度数为
（2）或
【解析】
【分析】（1）①连接，根据题意可得是的垂直平分线，根据正方形的性质可得，由此即可求证；②根据平行线的性质可得，可证，设，，根据平角的性质列方程求解即可；
（2）根据题意，分类讨论：当时；当时；当时；运用三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理等知识，图形结合即可求解．
【小问1详解】
解：①补全图形如下，连接，
∵于点，点与点关于直线对称，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵是对角线，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即，且，
∴，
∴的度数为；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，对角线交于点，交于点，
第一种情况：当点在上运动时，即，
由（1）的证明可得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，即；
第二种情况：如图所示，当时，
点重合，不存在，舍去；
第三种情况：如图所示，当点在上运动时，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，点的运动，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识的综合运用，掌握以上知识的综合运用，点的运动规律是解题的关键．