2023年辽宁省沈阳市虹桥初级中学九年级中考数学模拟预测题（原卷版+解析版）

沈阳市虹桥中学九年级能力训练
考试时间：120分钟试卷 满分：120分
一、选择题(每题2分，共20分)
1. 2022的倒数是（ ）
A. B. 2022 C. D.
2. 五个大小相同的正方体塔成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房450000套，缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求．把450000用科学记数法表示应是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是（　　）
A. a2+2a＝3a3 B. （﹣2a3）2＝4a5
C. （a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2 D. （a+b）2＝a2+b2
5. 调查一个班50名学生每天的睡眠时间，绘制成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数、中位数分别是（ ）
A. B. C. D.
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A B.
C D.
7. 已知直线，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　）
A. 20° B. 30° C. 45° D. 50°
8. 下列事件中，是随机事件是（ ）
A. 画一个三角形，其内角和是180°
B. 投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5
C. 在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片
D. 明天太阳从东方升起
9. 如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（ ）
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
10. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示．则下列结论错误的是（ ）
A. 抛物线过原点 B. C. D.
二、填空题(每题3分，共18分)
11. 因式分解：__________．
12. 二元一次方程组的解是_____．
13. 化简：__________．
14. 若一个圆内接正六边形的边长是4cm，则这个正六边形的边心距=________cm．
15. 如图，点为反比例函数（）图象上一点，点为反比例函数（）图象上一点，直线过原点，且，则，则的值为_____．
16. 如图，将边长为的等边沿射线平移得到，点，分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时，______．
三、解答题(第17小题6分，第18，19小题各8分，共22分)
17. 计算： +|﹣2|﹣2×cos30°+（）﹣1．
18. 一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率（直接写出结果）；
（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表或画树状图法，求由x，y确定的点在函数的图象上的概率．
19. 如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．
（1）求证：∠ACB＝∠DFE；
（2）连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．
四、(每题8分，共16分)
20. 以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）m=　　　，n=　　　；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“软件”所对应圆心角的度数是　　　；
（4）若该公司新聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有　　　名．
21. 在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的倍．若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．
五、(本题10分)
22. 如图，AB是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线与的延长线相交于点P，弦平分，交于点F，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，，求线段的长．
六、(本题10分)
23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，点C是上一点，四边形是矩形，点D和点E分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，且，作直线．
（1）求直线的函数表达式；
（2）求点C的坐标；
（3）将矩形沿射线方向平移，点C，D，O，E的对应点分别为，，，，边始终平行于x轴．
①如图2，当点落在直线OC上时，的面积等于______；
②如图3，点是y轴上一点，在平移过程中，连接，，直接写成的最小值为______．
七、(本题12分)
24. 如图，中，，，点是中点，两边，分别与直线，交于点，，且，连接
（1）如图1，当点，分别在，上时，猜想形状是三角形；线段、、的数量关系是______
（2）如图2，当点，分别在，延长线上时，上述两个结论成立吗 若成立，请完成证明；若不成立，请说明理由．
（3）在(2)的条件下，
①连接，直接写出______
②当时，求的长
八、(本题12分)
25. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣7（a≠0）经过点P（3，8），与x轴交于点A，B（7，0），对称轴直线l交x轴于点M，过点C（3，0）作射线CD交直线l于点D（D在x轴上方），AECD交直线l于点E，EFx轴交射线CD于点F．
（1）求抛物线表达式；
（2）如图，当MD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？
（3）当MD＝1时，过点F作FG⊥x轴于点G，点H为射线FG上一点，连接CE，当直线AH与直线CE的夹角为45°时，请直接写出FH的长．沈阳市虹桥中学九年级能力训练
考试时间：120分钟试卷 满分：120分
一、选择题(每题2分，共20分)
1. 2022的倒数是（ ）
A. B. 2022 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，正确掌握倒数的定义是解题的关键．
【详解】解：的倒数是，
故选：C．
2. 五个大小相同的正方体塔成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看第一层有三个小正方形，第二层右边有一个小正方形，
所以其主视图如图所示：
故选：B．
3. 某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房450000套，缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求．把450000用科学记数法表示应是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：．
故选：B．
4. 下列运算正确的是（　　）
A. a2+2a＝3a3 B. （﹣2a3）2＝4a5
C. （a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2 D. （a+b）2＝a2+b2
【答案】C
【解析】
【分析】利用合并同类项、幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式以及完全平方式的计算法则进行计算即可．
【详解】解：a2与2a不是同类项，不能合并，因此选项A不符合题意；
(-2a3)2=4，因此选项B不符合题意；
(a+2)(a-1)=a2+a-2，因此选项C符合题意；
，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式以完全平方式的计算法则，掌握计算法则是正确计算的前提．
5. 调查一个班50名学生每天的睡眠时间，绘制成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数、中位数分别是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了频数分布直方图，众数和中位数，读懂频数分布直方图，掌握众数和中位数的定义是解决本题的关键．
根据众数的定义及所给频数分布直方图可知，睡眠时间为7小时的人数最多，根据中位数的定义，把睡眠时间按从小到大排列，第25和26位学生的睡眠时间的平均数是中位数，从而可得结果．
【详解】解：由频数分布直方图知，睡眠时间为7小时的人数最多，从而众数为；
把睡眠时间按从小到大排列，第25和26位学生的睡眠时间的平均数是中位数，
而第25位学生的睡眠时间为，第26位学生的睡眠时间为，其平均数为，
故选：C．
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】准确求解不等式组，在进行判断即可．
【详解】
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
在数轴上表示为：
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
7. 已知直线，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　）
A. 20° B. 30° C. 45° D. 50°
【答案】D
【解析】
【分析】根据两直线平行，内错角相等计算即可．
【详解】因为，所以∠2=∠1+30°，
所以∠2=30°+20°=50°，
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，清楚两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．
8. 下列事件中，是随机事件的是（ ）
A. 画一个三角形，其内角和是180°
B. 投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5
C. 在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片
D. 明天太阳从东方升起
【答案】B
【解析】
【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为不确定事件；事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的，据此逐项判断即可．
【详解】解：、画一个三角形，其内角和，是必然事件；
、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5，属于随机事件；
、在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片，是不可能事件；
、明天太阳从东方升起，是必然事件；
故选：B．
【点睛】本题主要考查随机事件的概念：随机事件是可能发生，也可能不发生的事件．
9. 如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（ ）
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
【答案】C
【解析】
分析】连接OB，OC，根据勾股定理逆定理可得∠AOB＝90°，∠ABO＝∠BAO＝45°，根据圆周角定理可得∠COB＝2∠CAB＝60°，∠OBC＝∠OCB＝60°，由此可求得答案．
【详解】解：如图，连接OB，OC，
∵OA＝OB＝1，AB＝，
∴OA2＋OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
又∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝105°，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．
10. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示．则下列结论错误的是（ ）
A. 抛物线过原点 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线对称轴为直线x＝2及抛物线的对称性可判断选项A、C不符合题意，由c＝0可判断选项B不符合题意，由x＝ 1时y＞0可判断选项D符合题意．
【详解】解：∵抛物线经过（4，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线经过（0，0），选项A不符合题意；
将（0，0）代入y＝ax2＋bx＋c得c＝0，
∴abc＝0，选项B不符合题意；
∵抛物线对称轴为直线，
∴b＝ 4a，
∴4a＋b＝0，选项C不符合题意；
∵x＝ 1时，y＝a b＋c＞0，
∴选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题(每题3分，共18分)
11. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12. 二元一次方程组的解是_____．
【答案】
【解析】
【分析】通过观察可以看出y的系数互为相反数，故①+②可以消去y，解得x的值，再把x的值代入①或②，都可以求出y的值．
【详解】，
①+②得：4x＝8，
解得x＝2，
把x＝2代入②中得：2+2y＝5，
解得y＝1.5，
所以原方程组的解为．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是消元，消元的方法有两种：①加减消元法，②代入消元法．
13. 化简：__________．
【答案】1
【解析】
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的．
【详解】解：
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
14. 若一个圆内接正六边形的边长是4cm，则这个正六边形的边心距=________cm．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形的性质解答即可．
【详解】解：如图，AB=4cm，
过点O作OG⊥AB于G，
∵此多边形是正六边形，
∴，
∴，
∴（cm），
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，三角函数，正确掌握正六边形的性质是解题的关键．
15. 如图，点为反比例函数（）图象上一点，点为反比例函数（）图象上一点，直线过原点，且，则，则的值为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】因为所求反比例函数图象在第三象限，所以，点A在函数上，则点的横坐标和纵坐标围成的三角形面积为矩形面积的一半，同理点B的横纵坐标围成的三角形面积为，通过构造三角形相似，即可求解．
【详解】如图：
过点A做轴于点C，过点B做轴于点D，
轴，轴，
，
又，
，
点A为反比例函数上的一点，
，
，
，
又函数图像在第三象限
【点睛】本题考查的是反比例函数上点的几何意义，以及相似三角形的性质，能够根据题意画出辅助线证明相似是解题关键．
16. 如图，将边长为的等边沿射线平移得到，点，分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时，______．
【答案】或##8或4
【解析】
【分析】先根据为直角三角形进行分类讨论：当时，根据直角三角形斜边中线等于斜边上的一半，即可求出，进而求出，长度即可；当时，根据直角三角形中，角所对直角边是斜边长度的一半，可以求出，进而求出，长度就解决了．
【详解】解：如图，当时，
∵，
∴是斜边上的中线，
∴，
∴，
∴，
故将向右平移个单位即可，
∴；
如图，当时，
∵，是等边三角形，点，分别为，的中点，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，，
∴，
∴在中，，，
∴，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
故将向右平移个单位即可，
∴；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，平移的基本规律，熟练掌握平移的基本特点，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．
三、解答题(第17小题6分，第18，19小题各8分，共22分)
17. 计算： +|﹣2|﹣2×cos30°+（）﹣1．
【答案】4
【解析】
【分析】根据二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂计算．
【详解】解：原式＝2+2﹣﹣2×+2
＝2+2﹣﹣+2
＝4．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解本题的关键．
18. 一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率（直接写出结果）；
（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表或画树状图法，求由x，y确定的点在函数的图象上的概率．
【答案】（1）P（奇数）
（2）P（点在函数的图象上）
【解析】
【分析】（1）直接利用简单事件的概率公式计算可得；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与由x，y确定的点在函数的图象上的的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【小问1详解】
解：P（奇数）
【小问2详解】
解：列表得：
x y 1 2 3 4
1
2
3
4
共有12种等可能的结果，其中点在函数的图象上的有2种，
∴.P（点在函数的图象上）
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意区分所摸球是放回实验还是不放回实验是解题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19. 如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．
（1）求证：∠ACB＝∠DFE；
（2）连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．
【答案】（1）见解析 （2）四边形BFEC是平行四边形
【解析】
【分析】（1）证△ABC≌△DEF（SSS），再由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由（1）可知，∠ACB=∠DFE，则BC∥EF，再由平行四边形的判定即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵AF=CD，
∴AF ＋ CF = CD ＋ CF，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
△ABC≌△DEF（SSS）
【小问2详解】
如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：
由（1）可知，∠ACB=∠DFE，
∴BC EF，
又∶ BC = EF，
四边形BFEC是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行网边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
四、(每题8分，共16分)
20. 以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）m=　　　，n=　　　；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“软件”所对应圆心角的度数是　　　；
（4）若该公司新聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有　　　名．
【答案】（1）50，10；（2）补全条形统计图见解析；（3）72°；（4）估计“总线”专业的毕业生有180名．
【解析】
【分析】(1)根据条形统计图和扇形统计图的数据计算即可．
(2)先算出硬件专业的毕业生人数,再补充统计图即可．
(3)先算出软件专业的占比,再利用周角相乘即可算出圆心角．
(4)用600与总线所占比相乘即可求出．
【详解】（1）由统计图可知，，n=10．
（2）硬件专业的毕业生为人，则统计图为
（3）软件专业的毕业生对应的占比为，所对的圆心角的度数为．
（4）该公司新聘600名毕业生，“总线”专业的毕业生为名．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的画图和信息获取,关键在于通过图象获取有用信息．
21. 在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的倍．若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．
【答案】甲骑行的速度为18千米/时
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的应用，设乙骑行的速度是y千米/时，则甲骑行的速度是千米/时．再利用两个人的骑行时间建立相等关系，列方程求解即可．
【详解】解：设乙骑行的速度是y千米/时，则甲骑行的速度是千米/时．
由题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
则．
答：甲骑行的速度为18千米/时．
五、(本题10分)
22. 如图，AB是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线与的延长线相交于点P，弦平分，交于点F，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图1，连接，证明，可得，则，证明，可得，从而可得结论；
（2）如图2，连接，证明，可得可得，，证明为等腰直角三角形，从而可得答案．
【小问1详解】
证明：如图1，连接，
∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
如图2，连接，
∵是的直径，，
∴，
∵，
∴，∴
∴，
∴，∴，
∵平分，
∴
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，灵活的运用以上知识解题是关键．
六、(本题10分)
23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，点C是上一点，四边形是矩形，点D和点E分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，且，作直线．
（1）求直线的函数表达式；
（2）求点C的坐标；
（3）将矩形沿射线方向平移，点C，D，O，E的对应点分别为，，，，边始终平行于x轴．
①如图2，当点落在直线OC上时，的面积等于______；
②如图3，点是y轴上一点，在平移过程中，连接，，直接写成的最小值为______．
【答案】（1）
（2）
（3）①8；②16
【解析】
【分析】（1）根据一次函数图象经过的两个点和点，代入解析式即可求解；
（2）根据，点C在直线上，设，则，代入直线解析式即可求解点C的坐标；
（3）① 根据图形平移的特征，四边形是矩形平移之后还是矩形，利用对应线段的相互平行，证明，，得到为等腰三角形，是的高和中线，且垂直平分，，再根据，即可求出的高，面积即得解；
② 要求最小值，通常是利用“两点之间线段最短”，利用对称性将其中一条线段进行转化．作点关于直线的对称点，连接，则，过点作，过点作，与交于点，通过构造平行四边形，得到，当，，三点共线时，的值最小，最小值为．然后利用中点坐标公式，求出点、的坐标，最后利用两点间的距离公式即可求出最小值为．
【小问1详解】
解： 一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点
，
解得：，
直线的函数表达式为：．
【小问2详解】
解： 点D和点E分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，且，
设，则，
点C的坐标为，
点C直线上，
，解得，
点C的坐标为．
【小问3详解】
解：① ，相交于点，
四边形是矩形，将矩形沿射线方向平移，边始终平行于x轴，
四边形也是矩形，且轴，轴，
，轴，
，
为的高，
，，
，又，，
，
，，即为等腰三角形，是的高和中线．
，
，
，
，
，
．
② 如图，
作点关于直线的对称点，连接，则，过点作，过点作，与交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，当，，三点共线时，的值最小，最小值为，
连接交直线于点，过点作轴于点，由对称性可知，，
，
，
，
点，点，
，
在中，，
，，
，
，即，
解得，
点横坐标为，又点在直线：上，
，
点，
是中点，设点，
则，即，解得，
，即，解得，
点横坐标为，
四边形是平行四边形，
，，，
点横坐标为，
点
，
，
的最小值为16．
【点睛】本题综合考查了一次函数，矩形的性质，三角形全等，图形的平移变换，两条线段和的最值求取，两点间的距离公式，中点坐标公式，解直角三角形，熟练掌握相关性质，以及利用对称性构造平行四边形求线段的最值是解决问题的关键．
七、(本题12分)
24. 如图，中，，，点是中点，两边，分别与直线，交于点，，且，连接
（1）如图1，当点，分别在，上时，猜想形状是三角形；线段、、的数量关系是______
（2）如图2，当点，分别在，延长线上时，上述两个结论成立吗 若成立，请完成证明；若不成立，请说明理由．
（3）在(2)的条件下，
①连接，直接写出______
②当时，求的长
【答案】（1）等边．
（2）是等边三角形成立；不成立，应为
（3）①；②
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质；
（1）由可证，可得，，可得结论；
（2）由可证，可得，，可得结论；
（3）①由全等三角形的性质可得，由面积的和差关系可求解；
②由线段的和差关系可求解．
【小问1详解】
解：如图，取的中点，连接，，
，，点是中点，
，，，
点是的中点，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：等边，；
【小问2详解】
是等边三角形仍然成立，不成立，理由如下：
如图2，取的中点，连接，，
，，点是中点，
，，
点是的中点，
，
是等边三角形，
，，
∴，
，
，，
是等边三角形，
，
；
【小问3详解】
①，，
，
，
，
故答案为：
②
．
八、(本题12分)
25. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣7（a≠0）经过点P（3，8），与x轴交于点A，B（7，0），对称轴直线l交x轴于点M，过点C（3，0）作射线CD交直线l于点D（D在x轴上方），AECD交直线l于点E，EFx轴交射线CD于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，当MD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？
（3）当MD＝1时，过点F作FG⊥x轴于点G，点H为射线FG上一点，连接CE，当直线AH与直线CE的夹角为45°时，请直接写出FH的长．
【答案】（1）：y＝-x2+8x﹣7；（2）当MD=时，点F恰好落在该抛物线上；（3）或13．
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）先证明四边形ACFE是平行四边形，从而得点F的坐标为F(6，5)，再求出直线CF的解析式为：y=x-5，进而即可求解；
（3）由DM=1，可得F(6，3)，分两种情况：①如图所示：当点H在x轴的下方时，设AH与EC交于点K，过点K作KR⊥y轴于点R，过点A作AQ⊥EC于点Q，通过相似三角形的判定和性质，得出K(，-)，从而得直线AK的解析式为：y=-2x+2，进而求出H的坐标，即可求解；：②如图所示：当点H在x轴的上方时，用同样的方法求解即可．
【详解】解：（1）把P（3，8），B（7，0）代入y＝ax2+bx﹣7（a≠0）得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝-x2+8x﹣7；
（2）∵y＝-x2+8x﹣7=-(x-4)2+9，
∴M(4，0)，A(1，0)，
∴AC=3-1=2，
∵AE∥CD，EF∥x轴，，
∴四边形ACFE是平行四边形，
∴EF=AC=2，
∴点F的横坐标为：x=4+2=6，
把x=6代入y＝-x2+8x﹣7可得：y=-36+48-7=5，即F(6，5)，
设直线CF的解析式为：y=kx+b，
则，解得：，解得：，
∴直线CF的解析式为：y=x-5，
当x=4时，y=×4-5=，
∴当MD=时，点F恰好落在该抛物线上；
（3）∵DM=1，
∴CM=DM，即是等腰直角三角形，∠DAM=45°，
∴是等腰直角三角形，
∵MG=EF=AC=2，
∴FG=CG=1+2=3，
∴EM= FG=3，即F(6，3)，
①如图所示：当点H在x轴的下方时，设AH与EC交于点K，过点K作KR⊥y轴于点R，过点A作AQ⊥EC于点Q，
∵∠ACQ=∠ECM，∠AQC=∠EMC=90°，
∴，
∴，即：，
∴CQ=，AQ=，
∵∠AKQ=45°，
∴是等腰直角三角形，即：QK=AQ=，
∴EK=++=，
∵KR∥CM，
∴，即：KR=，ER=，
∴MR=，即：K(，-)，
∴直线AK的解析式为：y=-2x+2，
把x=6代入y=-2x+2，得y=-10，
∴H(6，-10)，即：FH=3+10=13；
②如图所示：当点H在x轴的上方时，设AH与EC交于点K，过点K作KR⊥y轴于点R，过点A作AQ⊥EC于点Q，
同理可得：CQ=，QK=AQ=，CK=-=
∴EK=-=，
∵KR∥CM，
∴，即：KR=，ER=，
∴MR=3-=，即：K(，)，
∴直线AK的解析式为：y=x-，
把x=6代入y=x-，得y=，
∴H(6，)，即：FH=3-=；
综上所述：FH=或13．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法，添加合适的辅助线，构造等腰直角三角形和相似三角形，是解题的关键．