2023-2024高一下册数学第10章 三角恒等变换 单元综合测试（苏教版）(原卷版+解析版)

第10章 三角恒等变换 单元综合测试
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式以及逆用两角和的正弦公式计算可得答案.
【解析】.
故选：C.
2．已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转后经过点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设旋转后对应的角为 ，则，再利用和差公式计算得到答案.
【解析】设旋转后对应的角为 ，则
故选A
【点睛】本题考查了和差公式，没有看清楚旋转方向是容易犯的错误.
3．已知,则
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由同角三角函数基本关系可得：，由诱导公式可得：，再由二倍角公式化简即可．
【解析】因为，所以又，所以，所以，又=，所以==，故选D.
【点睛】本题考查三角函数化简，涉及同角三角函数的基本关系．二倍角公式和诱导公式，注意由角的范围确定三角函数值的正负．
4．已知α、β都为锐角，且、，则α﹣β＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解.
【解析】因为α、β都为锐角，且、，
所以， ，
由，
且α、β都为锐角， 所以
故选：C
【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题.
5．已知，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用两角和的正弦函数化简求得，再利用诱导公式，即可求解，得到答案.
【解析】因为，
所以，
整理得，即，
所以，故选B.
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
6．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形中，，根据这些信息，可得（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得，利用诱导公式和二倍角公式可得，进而可得结果.
【解析】由黄金三角形可知：
故选：B
【点睛】本题考查了三角函数诱导公式和二倍角公式，考查了运算求解能力和转化的数学思维，属于中档题目.
7．设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简a，正切二倍角公式和放缩放化简b，余弦二倍角公式化简c，然后根据正弦函数的单调性比较可得.
【解析】，
，
，
当，单调递增，
所以，所以.
故选：C
8．若，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的对称轴方程为（）
C．存在实数，使得对任意的，都存在、且，满足（，2）
D．若函数，（是实常数），有奇数个零点，，…，，（），则
【答案】B
【分析】A选项，平方后利用辅助角公式化简得到，得到为函数的周期，A错误；
利用整体法求解函数的对称轴方程，B正确；
首先求出，，画出上的的函数图象，问题等价于有两个解，
数形结合得到，无解，C错误；
D选项，的根转化为与交点横坐标，画出图象，结合对称性求解.
【解析】，.
，.
对于A，，
为的周期，A错误；
对于B，的对称轴方程为.
（）.即（）.B正确.
对于C，对，有，
∵在上单调递增，
，
（，2），等价于有两个解，
当时，，显然无解，
不妨设，画出在的的图象，如图所示：
.
或.无解.故C错误；
对于D，的根为与交点横坐标.
有奇数个交点，
，
且，，，，，
，，，，
D错误.
故选：B.
【点睛】较为复杂的函数零点问题，通常转化为两函数的交点问题，数形结合进行求解.
二、多选题
9．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】多项选择题，需要对选项一一验证：
借助于先求出，可以直接求出的值，判断B;
用判断C，二倍角公式判断A、D选项；
【解析】∵，，且
解得：
∴，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
∵，∴.
∵，∴，故D错误.
故选：AC
【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：
(1)角的范围的判断；
(2)对于三角函数求值题，一般是先化简，再求值．
10．已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用同角三角函数的基本关系可得，再由两角差的余弦公式以及积化和差公式逐一判断即可.
【解析】解：因为，，其中，为锐角，
所以：，故A正确；
因为，
所以
，故B错误；
可得，故C正确；
可得，所以，故D错误．
故选：AC．
11．已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．曲线关于点中心对称
C．的最大值为
D．曲线关于直线对称
【答案】ACD
【分析】化简.利用周期公式求出周期可判断A；计算可判断B；
利用可判断C；计算可判断D
【解析】.
对于A，的最小正周期，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，所以，故C正确；
对于D，为函数的最大值，故D正确.
故选：ACD.
12．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，令，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．的最大值为
D．的最小值为
【答案】AD
【分析】利用二倍角公式化简可得，当时，根据余弦型函数值域求法可求得，由此可得，知A正确；通过反例可知B错误；根据区间长度为可知：当在上单调时，最大；当与关于对称轴对称时，最小，根据余弦函数单调区间和对称轴的求法可确定的范围和取值，由此确定的最值，知CD正误.
【解析】，
当时，；
对于A，当时，，
此时，，
，A正确；
对于B，若，则；
当时，，
，，
，B错误；
对于C，最小正周期，，
若取得最大值，则在上单调；
令，解得：，
的单调递增区间为；
当，即时，
，
，，
，；
令，解得：，
的单调递减区间为，
当，即时，
，
，，
，；
综上所述：，C错误；
对于D，若取得最小值，则与关于的对称轴对称；
令，解得：，
当时，，
；
令，解得：，
当时，，
；
综上所述：，D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数值域和最值的求解问题，解题关键是能够根据余弦函数的性质，确定何种情况下能够取得最值，从而结合余弦型函数单调性和对称轴的求法得到的范围，进而确定的最值.
三、填空题
13．若，且，则 ．
【答案】
【分析】由得，结合倍角公式可得，由、结合角的范围排除即可.
【解析】由得，
又，则有，解得或.
∵，，∴，∴，故，故.
故答案为：
14．对任意实数且，函数的图象经过定点P，且点P在角θ的终边上，则 .
【答案】/
【分析】函数过定点得到，再利用和差公式计算得到答案.
【解析】函数的图象经过定点，点P在角θ的终边上，故，
.
故答案为：
15．若正数满足，且，则的值为 .
【答案】/
【分析】利用和差化积公式和诱导公式化简，得出，再利用倍角公式与和差公式化简，再利用弦切互化即可求解.
【解析】依题意，
因为
所以
又因为，所以，
所以，
所以
，
所以
.
故答案为：.
16．若函数的图象经过点和，且当时，恒成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】先根据将转化为来表示，由此化简的解析式，对进行分类讨论，根据恒成立列不等式来求得的取值范围.
【解析】因为经过点和，所以，，可得，故
.
因为，所以，所以，
当时，，可得，
所以，要使恒成立，
只要，即，又，从而；
当时，；
当时，，所以，
所以，要使恒成立，
只要，解得，又，从而.
综上所述，a的取值范围为.
故答案为：
【点睛】求解不等式恒成立的问题，主要解题思路是转化为求函数的最值来进行求解，如本题中恒成立，就转化为的值域，也即三角函数的值域来进行求解.
四、解答题
17．已知锐角与钝角，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式求解；
(2)根据两角和的正切公式求解.
【解析】（1）因为，，且，，
所以，，
所以.
（2）由（1）得，
所以.
18．已知平面向量，，函数.
(1)求函数相邻两对称轴的距离；
(2)求函数在区间上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量数量积求解函数的表达式，利用正弦型函数的性质即可求解；
（2）利用整体法结合正弦型函数的性质即可求解函数在区间上的值域.
【解析】（1）解：，
故函数的周期是，则函数相邻的两条对称轴的距离是.
（2）∵，∴，
∴函数的值域是.
19．已知．
(1)求的单调递增区间；
(2)若，求的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最大值和最小值分别为，
【分析】（1）对化简得，则，，解出即可；
（2）由范围有，结合正弦函数的最值即可得到答案.
【解析】（1）依题意得：
，
由，，
得，
所以的单调递增区间为．
（2）由（1）知，，
当时，，
则当，即时，，
当，即时，，
所以在时的最大值和最小值分别为：，．
20．在条件：①；②；③中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.
已知，且满足条件___________.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)任选①②③，；
(2)任选①②③，．
【分析】（1）选①由诱导公式得，代入求值式化简即得；选②，结合平方关系求得，然后代入求值，选③，解法同选②；
（2）选①，利用（1）及平方关系求得，然后再求得，计算的值，由角范围可得角的大小．选②或选③，解法都同选①求出后解法．
【解析】（1）选①，，由诱导公式得，
则；
选②，，两边平方得，所以，又，所以，即，，
从而由解得，或（舍去），
；
选③，，因为，所以，即，，
因此由可解得，或（舍去），
以下同选②；
（2）选①，因为，所以，即，，
由（1），所以，所以（负值舍去），，
，，
，
又，所以．
选②或③，均由（1）得，，
，，
，
又，所以．
21．某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域（即区域），地面形状如图所示．已知已有两面墙的夹角为锐角，假设墙的可利用长度（单位：米）足够长．
(1)在中，若边上的高等于，求；
(2)当的长度为6米时，求该活动区域面积的最大值．
【答案】(1)
(2)平方米
【分析】（1）过点作交于．设，则，，
在中，求得，由计算即可得解；
（2）设，则，，从而得出，利用三角恒等变换、辅助角公式及三角函数的性质即可得到答案．
【解析】（1）过点作交于．
设米，，则米，米．
在中，．
故．
（2）设，则米，米，
因为，所以，
所以，当时，该活动区域的面积取得最大值，最大值为平方米．
22．已知函数
(1)化简的表达式.
(2)若的最小正周期为，求的单调区间
(3)将（2）中的函数f（x）图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于对称.若对于任意的实数a，函数与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)在上单调递增，在上单调递减
(3)
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数；
（2）根据最小正周期公式求，再采用代入的方法求函数的单调区间；
（3）首先根据三角函数平移变换，以及函数性质求，并求得，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求的取值范围.
【解析】（1）依题意，
（2）由（1）知，，解得，则，
当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，
由得：，由得：，
所以在上单调递增，上单调递减;
（3）由（2）及已知，，因图像关于对称，则，
解得:,又，即有，，于是.
由得：，，而函数的周期，
依题意，对于在上均有不少于6个且不多于10个根，则有,即，解得：，
所以正实数λ的取值范围是.第10章 三角恒等变换 单元综合测试
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转后经过点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知,则
A． B． C． D．
4．已知α、β都为锐角，且、，则α﹣β＝（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则
A． B． C． D．
6．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形中，，根据这些信息，可得（ ）
A． B． C． D．
7．设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
8．若，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的对称轴方程为（）
C．存在实数，使得对任意的，都存在、且，满足（，2）
D．若函数，（是实常数），有奇数个零点，，…，，（），则
二、多选题
9．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．曲线关于点中心对称
C．的最大值为
D．曲线关于直线对称
12．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，令，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．的最大值为
D．的最小值为
三、填空题
13．若，且，则 ．
14．对任意实数且，函数的图象经过定点P，且点P在角θ的终边上，则 .
15．若正数满足，且，则的值为 .
16．若函数的图象经过点和，且当时，恒成立，则实数a的取值范围是 .
四、解答题
17．已知锐角与钝角，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
18．已知平面向量，，函数.
(1)求函数相邻两对称轴的距离；
(2)求函数在区间上的值域.
19．已知．
(1)求的单调递增区间；
(2)若，求的最大值和最小值．
20．在条件：①；②；③中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.
已知，且满足条件___________.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
21．某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域（即区域），地面形状如图所示．已知已有两面墙的夹角为锐角，假设墙的可利用长度（单位：米）足够长．
(1)在中，若边上的高等于，求；
(2)当的长度为6米时，求该活动区域面积的最大值．
22．已知函数
(1)化简的表达式.
(2)若的最小正周期为，求的单调区间
(3)将（2）中的函数f（x）图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于对称.若对于任意的实数a，函数与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围.