7.4数学建模活动：周期现象的描述 同步练习（含解析）同步练习2023——2024高中数学人教B版（2019）必修第三册

7.4 数学建模活动：周期现象的描述 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
2．如图，这是一半径为的水轮示意图，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，若当水轮上点从水中浮出时（图中点）开始计时，则（ ）
A．点距离水面的高度与之间的函数关系式为
B．点第一次到达最高点需要
C．在水轮转动的一圈内，有的时间，点距离水面的高度不低于
D．当水轮转动时，点在水面下方，距离水面
3．如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
4．已知简谐振动的振幅为，其图象上相邻的最高点和最低点间的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约. “梦想之星”摩天轮直径约为86米，总高约100米，匀速旋转一周时间为18分钟，配有42个球形全透视360度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱，甲、乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差6分钟，这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为( )
A．79米 B．157米 C．113米 D．189米
6．如图，是底部为不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点，某测量小组为了测得改建筑物的高度，选择了一条水平基线，在两处用测角仪分别测得的仰角分别为，（三点共线）．已知测角仪的高度为，，则该建筑物的高度约为（　　）m．
A．35 B．18 C．17 D．15
7．如图所示，某风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O距离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t（s）后与地面的距离为h（m）．则h与t满足的函数关系为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向．如图所示，月相变化的周期为天(下图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间为（ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
二、多选题
9．潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（其中，），其中y（单位：）为港口水深，x（单位：）为时间，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为，且中午12点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．最高水位为12
C．该港口从上午8点开始首次限制船只出入
D．一天内限制船只出入的时长为
10．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，其中.小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（ ）

A．
B．
C．与时的相对于平衡位置的高度之比为
D．与时的相对于平衡位置的高度之比为2
11．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是（ ）
A．关于的函数是偶函数
B．若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30
C．摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟
D．若甲、乙两游客分别坐在两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米
12．某摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点）．现4号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为分钟．假设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系为，1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为米，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．，
D．若在这段时间内，恰有三次取得最大值，则的取值范围为
三、填空题
13．函数的初始相位为 .
14．函数（为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当 时，游客流量最大．
15．如图，摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱时他距离地面的高度为 .
16．水车又称孔明车，是以水流为动力的机械装置，是我国古老的农业灌溉工具.如图，某水车的半径为4米，圆心距离水面2米，每分钟逆时针匀速旋转5圈.当水车上点从水中浮现时（图中点）开始计时，已知点距离水面的高度（米）关于时间（秒）的函数为，则 ；点第一次到达最高点大约需要 秒.
四、解答题
17．某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟．
(1)求1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式；
(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时的值；
18．深圳别称“鹏城”，“湾区之光”摩天轮位于深圳，是目前亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.已知某摩天轮的直径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，摩天轮运行时按逆时针方向匀速旋转，转一周需要．

(1)游客甲从最低点坐上摩天轮的座舱，转动后距离地面的高度为，求在转动过程中，关于的函数解析式；
(2)已知游客在距离地面时的高度能够获得最佳视觉效果，记某游客从坐上摩天轮后达到最佳视觉效果的时刻依次为，求．
19．深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要，其中心距离地面，半径如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间单位：之后，请解答下列问题．
(1)求出你与地面的距离单位：与时间之间的函数解析式；
(2)当你登上摩天轮后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差单位：关于的函数解析式，并求高度差的最大值．
20．已知一个半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米，且按顺时针方向匀速转动，每秒转动一圈.如果以水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，记点距离水面的高度关于时间的函数解析式为.
(1)在水轮转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式；
(2)在水轮转动的一周内，求点在水面下方的时间段.
21．如图1“Omniverse雕塑”将数学和物理动力学完美融合，遵循周而复始，成就无限，局部可以抽象成如图2，点P以为起始点，在以O为圆心，半径为2（单位：10米），按顺时针旋转且转速为rad/s（相对于O点转轴的速度）的圆周上，点O到地面的距离为a，且（单位：10米），点Q在以P为圆心，半径为1（单位：10米）的圆周上，且在旋转过程中，点Q恒在点P的正上方，设转动时间为t秒，建立如图3平面直角坐标系．

(1)求经过t秒后，点P到地面的距离PH；
(2)若时，圆周上存在4个不同点P，使得成立，求实数a的取值范围．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．D
【分析】直接由三角函数平移变换法则即可得解.
【详解】由题意只需要将函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象.
故选：D.
2．D
【分析】根据条件，写出点的高度和时间的关系式，再逐项判断对错.
【详解】因为从开始计时，所以水轮的高度和时间的函数关系式为：.
当第一次到达最高点，由，即第一次到达最高点需要；
由，，.
即水轮转动的一圈内，有的时间，点距离水面的高低不低于.
当时，.
故选：D
3．B
【分析】依题意可根据圆周运动规律求出动点的纵坐标关于（单位：）的函数，再由整体代换法即可求出单调增区间的表达式.
【详解】根据题意可设，
因为在单位圆上的角速度大小为，起点为射线与的交点，
所以，
所以动点的纵坐标关于（单位：）的函数，
由，得，
又因为，
所以，，，
所以该函数的单调递增区间是，，，.
故选：B
4．A
【分析】根据正弦型函数的图象与性质求出振幅、周期，再由过点求出初相即可得解.
【详解】由题意可知，， ，
则， ，
.
因为过点，
由，得.
∵，
∴.
因此频率，初相为.
故选：A
5．B
【分析】先求摩天轮的角速度，从而得到两人相差的角度，再建立人距离地面的高度关于转动角之间的函数关系，从而得到所在的高度之和的函数模型，再利用三角函数性质求出最值.
【详解】因为摩天轮匀速旋转一周时间为18分钟，所以摩天轮的角速度为，
又因为甲乙两人进入各自座舱的时间相差6分钟，
所以两人相差的角度为，
设第二个人进仓后转动角时对应的高度为，
因为摩天轮直径约为86米，总高约100米，
所以摩天轮底部距离地面高度为14米，摩天轮半径约为43米，
所以，
因为甲乙两人相差的角度为，
所以甲乙两人所在的高度之和为：，
所以，
所以，
化简可得，
又根据题意可知，所以，
所以当时，即时，取得最大值.
故选：B.
6．B
【分析】作出辅助线，利用三角函数求出高度，得到答案.
【详解】延长交于点，则，，，
因为，，所以，故，
在Rt中，，
故.
故该建筑物的高度约为.
故选：B
7．C
【分析】设h与t满足的函数关系为，由题意求出的最大值和最小值，以及最小正周期，可求出，再将点代入函数解析式求出，由此可得则h与t满足的函数关系.
【详解】设h与t满足的函数关系为，
最大值，最小值，所以，
由题意知，某风车每12 s旋转一周，所以，所以，
又风车从最低点开始运动，所以函数过点，
则，不妨设，
所以h与t满足的函数关系为.
故选：C.
8．B
【分析】根据所给信息分析即可.
【详解】由题图知，地球从到用时天，月球从月地日一条线重新回到月地日一条线，完成一个周期．
故选：B
9．AC
【分析】根据题意可求得，可知A正确；由12点时的水位为8m代入计算可得，即最高水位为10m，B选项错误；易知，解不等式利用三角函数单调性可得从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h，即可判断C正确，D错误.
【详解】对于A，依题意，所以，故A正确；
对于B，当时，，解得，
所以最高水位为10m，故B错误；
对于CD，由上可知，令，解得或者，
所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h，故C正确，D错误.
故选：AC.
10．BD
【分析】根据周期求出，代入则得到，则得到函数解析式，再代入数据即可判断CD.
【详解】由题可知小球运动的周期，所以，解得，故B正确；
当时，.
又，所以，故A错误；
则，
所以与时的相对于平衡位置的高度之比为，故C错误，D正确.
故选：BD.
11．BCD
【分析】
对A，先根据题意确定各参数的值，再根据三角函数的奇偶性判断即可；对B，根据代入解析式可得，或，进而可判断；对C，求解即可；对D，由题意每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，进而可得劣弧的弧长.
【详解】
对A，由题意，，
所以，当时，可得，所以，
故，所以是非奇非偶函数，故A错误；
对B，由题意，即，
即，所以，或，
，即或，，故B正确；
对C，由题意，即，即，
所以，，解得.
所以摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟，故C正确；
对D，因为摩天轮的圆周上均匀地安装着36个座舱，
故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，
因为两个座舱相隔5个座舱，所以劣弧对应的圆心角是，
故（m）.故D正确.
故选：BCD
12．ACD
【分析】
设函数关系的解析式为，根据题意可求得参数，即可得解析式，判断C；将代入，即可判断A，B；求出的表达式，求得其取最大值时，结合题意列出不等式，即可求得范围，判断D.
【详解】设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（，，），
则，，所以（），
依题意，所以，
当时且在0附近为增函数，所以，故（），
则当时，，A，C正确；
当时，，B错误；
对于D：依题意，，
所以
，
今，，解得，，
所以当，时取得最大值，
由于在这段时间内，恰有三次取得最大值，
故，解得，
所以．故D正确．
故选：ACD．
13．
【分析】根据给定函数,结合三角函数的初始相位定义可得.
【详解】函数的初始相位为.
故答案为：.
14．8
【分析】根据余弦函数性质求出函数的最大值及取最大值时的值，由此可得结论.
【详解】因为，
所以，
所以当，即时，取最大值，
所以时，取最大值，
又游客流量越大所需服务工作的人数越多，
所以时，游客流量最大．
15．
【分析】设在时，距离地面的高度为，其中，根据题中条件求出、的值，可得出关于的函数关系式，然后将代入函数解析式，即可得解.
【详解】因为摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，
设在时，距离地面的高度为，其中，
则，可得，则，
由摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈，可得，所以，
即，
当时，可得，即，
因为，解得，
所以，
令，可得.
所以，游客进舱时他距离地面的高度为.
故答案为：.
16． 0 4
【分析】以圆心为原点建立平面直角坐标系，由函数的周期求出，最后由，求出，即可求出函数解析式，则得到的值，令，即即可求得时间．
【详解】以为坐标原点建立如图坐标系，
由题知周期秒，，所以，
又，∴，又因为，则，则，
所以，（）.
令得，∴，
所以，得.所以点第一次到达最高点需要4秒.
故答案为：0；4.
17．(1)
(2)分钟或分钟.
【分析】（1）依题意设（，，），即可得到，，再由周期求出，最后求出即可；
（2）令，结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（，，），
依题意可得，，
．
依题意，，
当时，，，
．
（2）令，即，，
，，
或，解得或，
或时，1号座舱与地面的距离为17米．
18．(1)；
(2)．
【分析】（1）由题意以摩天轮中心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系求出解析式即可；
（2）令，解出时间，即为达到最佳视觉效果的时刻，求解即可.
【详解】（1）以摩天轮中心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系．

由题意，摩天轮的角速度
所以甲所在的位置的纵坐标
则．
所以关于的函数解析式
（2）令，则．
或，
或，
可得当时，，．当时，，
综上所述，该游客坐上摩天轮后第四次达到最佳视觉效果的时刻．
19．(1)
(2),.
【分析】（1）分析题意，建立直角坐标系后，确定数学模型，分别求出即得；
（2）根据题意，设出两人距离地面的高度得到关于的函数解析式，经过三角恒等变换，化成正弦型函数，利用正弦型函数的性质即可求得.
【详解】（1）
如图，设摩天轮最低处为点,以摩天轮中心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系.依题意，点，以为终边的角为，
因摩天轮每转一圈需要，则摩天轮转动的角速度为，由题意可得：；
（2）设朋友登上摩天轮的时间为，其与地面的距离为，
则我已在摩天轮上的时间为，我与地面的距离为，
故，
由可知：，故当或时，，
即在或时，两人距离地面的高度差最大，为.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查数学建模和三角恒等变换、正弦型函数的性质的应用,属于难题.解决实际应用的问题，关键在于建立坐标系后，对实际问题的分析理解，找到适合的数学模型，求出参数值，再运用该模型解决实际应用问题.
20．(1)，
(2)
【分析】（1）根据函数的最大值和最小值可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，求出该函数的最小正周期，可得出的值，再由，结合的取值范围，可得出的值，由此可得出函数的解析式；
（2）在时，解不等式即可得出结论.
【详解】（1）解：由题意知的最大值为，最小值为，
所以，，解得，
由题意可知，函数的最小正周期为，
则，所以.
当时，，即，可得，
又，所以，所以，.
（2）解：令，得.
由，得，所以，解得，
即在水轮转动的一圈内，点在水面下方的时段是秒到秒.
21．(1)（单位：10米）；
(2).
【分析】（1）利用三角函数的定义与性质计算即可；（2）利用两点的距离公式计算，由可得，化简等式根据三角函数的有界性换元转化为二次函数根的分布计算即可.
【详解】（1）由题意及三角函数的定义可知，
所以（单位：10米）；
（2）根据题意可知，
即，
则，
因为，所以，
即，
令，因为，所以，则，
上式可化为，
设，
因为时，圆周上存在4个不同点P，使得成立，
则在上有两个相异实数根，
即，
解之得.
【点睛】思路点睛：第二问根据三角函数的定义及两点距离公式计算得，展开后得，利用换元法令得，由于一个周期内有四个点满足题意得出函数在上有两个相异实数根，根据一元二次方程根的分布计算即可.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页