第八章 第3课时二元一次方程组的应用 知识清单＋例题讲解＋课后练习 （含解析）七年级数学下册人教版

第3课时——二元一次方程组的应用
知识点一：列二元一次方程组解应用题：
1.基本步骤：
①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系
②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数
③列方程：根据等量关系与未知数列出二元一次方程组
④解方程组——按照解二元一次方程组的步骤解方程
⑤检验作答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答
2.基本等量关系：
①行程问题基本等量关系：
路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间
顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速）
②工程问题：
工作总量=工作时间×工作效率
注意实际工作情况与计划工作情况之间的关系
③商品销售问题：
利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100%
3.常见的建立方程的方法：
①基本等量关系建立方程
②同一个量的两种不同表达式相等
【类型一：由实际问题抽象出二元一次方程（组）】
1．哥哥和弟弟今年的年龄和是16岁，哥哥对弟弟说：“4年后，我的年龄是你的年龄的2倍．”求弟弟、哥哥今年的年龄，设弟弟，哥哥今年的年龄分别为x岁，y岁，根据题意可列的一个方程为，则另一个方程为（　　）
A． B． C． D．
2．《孙子算经》中有这样一个数学问题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？小明同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（　　）
A． B．
C． D．
3．为了迎接杭州亚运会的召开，某学校组织学生开展有关亚运会的知识竞赛．竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得5分，每答错一道题扣3分，不答的题得1分．已知杭杭同学这次竞赛成绩为60分．设杭杭同学答对了x道题，答错了y道题，则有（　　）
A． B． C． D．
4．六十载春华秋实，一甲子桃李芬芳．2023年10月，重庆外国语学校即将迎来六十华诞，学校决定面向全校学生征集60周年校庆标识、吉祥物设计方案．初一年级某班准备了若干盒巧克力奖励给本班投稿的同学，若每3位同学奖励一盒巧克力，则少2盒；若每4位同学奖励一盒巧克力，则又多了2盒，设该班投稿的同学有x人，巧克力有y盒，依题意得方程组（ ）
A． B．
C． D．
5．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
6．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九十七文钱，甜果苦果买九十九个，甜果一个三文钱，苦果三个一文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果个，买苦果个，则下列关于、的二元一次方程组中符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
7．某商场计划销售一批运动衣，能获得利润12000元，经过市场调查后，进行促销活动，由于降低售价，每套运动衣少获利润10元，但可多销售400套，结果总利润比计划多4000元，求实际销售运动衣多少套？每套运动衣实际利润是多少元？设原计划销售运动衣套，原计划每套运动衣的利润是元，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．由于今年重庆受到洪水袭击，造成南滨路水电站损害，重庆市政府决定对南滨路水电站水库进行加固．现有5辆板车和4辆卡车一次能运49吨水电站加固材料，8辆板车和3辆卡车一次能运58吨水电站加固材料，设每辆板车每次可运x吨货，每辆卡车每次能运y吨货，则可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
9．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有60张正方形纸板和140张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，则可列方程组（ ）
A． B． C． D．
【类型二：二元一次方程组的应用】
10．某医药超市销售两种品牌的消毒液，购买瓶品牌和瓶品牌的消毒液共需元；购买瓶品牌和瓶品牌的消毒液共需元．
(1)求这两种品牌消毒液的单价；
(2)某学校为了给教室进行充分消杀，准备花元购进两种品牌的消毒液，且要求品牌的消毒液的数量比品牌多，请你给出有哪几种购买方案？
11．某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：
批发价（元） 零售价（元）
红色文化衫 25 45
蓝色文化衫 20 35
(1)学校购进红、蓝文化衫各几件
(2)通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润．
12．商店有甲、乙两种型号的足球，已知购买2个甲型号足球和5个乙型号足球共需500元，购买3个甲型号足球和2个乙型号足球共需310元．
(1)甲、乙型号足球的单价各是多少元？
(2)某学校在该店一次性购买甲、乙型号足球共100个，总费用为5900元，这所学校购买了多少个甲型号足球？
13．某书店购进甲、乙两种图书共本，甲、乙两种图书的进价分别为每本10元、30元，甲、乙两种图书的标价分别定为每本15元、40元．
(1)若书店恰好用了元购进这本图书，求购进的甲、乙图书各多少本？
(2)在销售时，该书店考虑到要迅速将图书售完，于是甲图书打8折，乙图书也打折进行促销，为使甲、乙两种图书全部销售完后共获利元,请问乙图书应打几折出售
14．小明和小亮两人各带20元钱同时到一家文具店购买同一型号的中性笔和笔记本，这种中性笔每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.2元．小明要买3支中性笔和4本笔记本，需花费19元；小亮要买7支中性笔和3本笔记本，需花费19元．
(1)求笔记本的单价和单独购买一支中性笔的价格；
(2)小明和小亮都还想再买一件单价为1.5元的小工艺品，他们利用所带的钱，能否做到既买全了想要的文具，又都能买到一件小工艺品？请通过计算说明．
15．列一元一次方程（组）解应用题．
入秋后，某地发生了洪灾，红星集团及时为灾区购进A，B两种抗洪物资80吨，共用去200万元，A种物资每吨万元，B种物资每吨万元．
(1)求A，B两种物资各购进了多少吨？
(2)该集团租用了大、小两种货车若干辆将这些物资 一次性运往灾区，每辆大货车可运8吨A种物资 和2吨B种物资，每辆小货车可运5吨A种物资和2.5吨B种物资，问租用的大、小货车各多少辆？
16．正值春夏换季的时节，某商场用12000元分别以每件120元和60元的价格购进了某品牌衬衫和短袖共140件．
(1)商场本次购进了衬衫和短袖各多少件？
(2)若该商场以每件180元的价格销售了衬衫总进货量的25%，将短袖在成本的基础上提价20%销售．在销售过程中，有5件衬衫因损坏无法销售，为了减少库存积压，该商场准备将剩下的衬衫在原售价的基础上降价销售，每件衬衫降价多少元，该商场销售完这批衬衫和短袖正好达到益利25.5%的预期目标．
17．一条笔直的铁路线上依次有A，B，C三个车站（B在A，C之间），A，B两站相距600千米，B，C两站相距420千米．甲，乙两列车分别从A，C两站出发，相向而行，甲列车速度为260千米/时，乙列车速度为140千米/时．
(1)若甲，乙两列车同时出发，经过 小时相遇；
(2)若甲，乙两列车同时出发，当乙列车到达B站时，甲列车是否到达C站？此时甲，乙两列车相距多远？
(3)若乙列车先出发1小时，求甲列车经过多少小时与乙列车相距280千米．
18．新新商场第1次用39万元购进A，B两种商品．销售完后获得利润6万元（总利润＝单件利润×销售量），它们的进价和售价如表：
　　商品 价格　　 A B
进价（元/件） 1200 1000
售价（元/件） 1350 1200
（1）该商场第1次购进A，B两种商品各多少件？
（2）商场第2次以原价购进A，B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得的利润等于36 000元，则B种商品是打几折销售的？
知识点二：解三元一次方程组：
1. 三元一次方程的定义：
方程组中含有3个未知数的方程组。
2.解三元一次方程组：
利用带入消元或者加减消元的方法解三元一次方程组即可。
【类型一：解三元一次方程组】
19．解方程组：．
20．解三元一次方程组
21．设线段x、y、z满足，求x、y、z的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据哥哥对弟弟说：“4年后，我的年龄是你的年龄的2倍．”可以列出另一个方程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程．
2．A
【分析】找到题中的等量关系，据此可列方程组求解．
【详解】解：设绳长尺，木长为尺，
依题意得：，
故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解．
3．A
【分析】根据“每答对一道题得+5分，每答错一道题扣3分，不答的题得1分．已知杭杭同学这次竞赛成绩为60分”列出方程．
【详解】解：依题意得：，即．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程．关键是读懂题意，根据题目中的数量关系，列出方程．
4．B
【分析】设该班投稿的同学有x人，巧克力有y盒，若每3位同学奖励一盒巧克力，则人数是巧克力的3倍，故有，若每4位同学奖励一盒巧克力，则人数是巧克力的4倍，故有，列方程组即可．
【详解】解：设该班投稿的同学有x人，巧克力有y盒，
依题意得：
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用；解题的关键是依据等量关系正确列方程．
5．A
【分析】根据题意，列方程求解即可．
【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，
根据“总共饮19瓶酒”可得：
根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：
综上：，
故选：A
【点睛】此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组．
6．C
【分析】若设买甜果个，买苦果个，甜果苦果买九十九个，可列方程为，甜果一个三文钱，苦果三个一文钱，九十七文钱，可列方程为，由此即可求解．
【详解】解：设买甜果个，买苦果个，甜果苦果买九十九个，甜果一个三文钱，苦果三个一文钱，九十七文钱，
∴列方程组得，
故选：．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，理解题目中的数量关系列方程是解题的关键．
7．B
【分析】本题的等量关系为：计划销售的套数×计划每套运动衣的利润=计划获利12000元；实际销售的套数×实际每套运动衣的利润=实际获利元；那么可列出方程组求解．
【详解】解：设原计划销售运动衣x套，每套运动衣的原计划利润为y元． 根据题意得：
故选B．
【点睛】本题考查的是二元二次方程组的应用，理解题意，确定相等关系列出方程组是解本题的关键．
8．B
【分析】根据5辆板车和4辆卡车一次能运49吨水电站加固材料，8辆板车和3辆卡车一次能运58吨水电站加固材料，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设每辆板车每次可运x吨货，每辆卡车每次能运y吨货，依题意得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系列出方程组是解题的关键．
9．B
【分析】设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，根据60张正方形纸板和140张长方形纸板建立等式．
【详解】解：设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，
根据竖式无盖纸盒用到个正方形纸板和个长方形纸板，横式无盖纸盒用到个正方形纸板和个长方形纸板，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理清楚量与量之间的等量关系．
10．(1)品牌消毒液的单价是元，品牌消毒液的单价是元
(2)购买方案有两种，分别是：品牌消毒液瓶，购买品牌消毒液瓶；品牌消毒液瓶，购买品牌消毒液瓶
【分析】（1）购买瓶品牌和瓶品牌共需元；购买瓶品牌和瓶品牌共需元，设品牌的单价是元，品牌的单价是元，根据数量关系列方程，即可求解；
（2）由（1）中的单价可知，设购买品牌消毒液瓶，购买品牌消毒液瓶，且，列出方程，通过试值的方法即可求解．
【详解】（1）解：设品牌消毒液的单价是元，品牌消毒液的单价是元，
∴，解方程组得，，
∴品牌消毒液的单价是元，品牌消毒液的单价是元．
（2）解：设购买品牌消毒液瓶，购买品牌消毒液瓶，且，
∴，即，
经过计算，当的值取是为分数，不满足条件，
∴当时，，满足条件；
当时，，不满足条件；
当时，，不满足条件；
当时，，不满足条件；
…
当时，，满足条件；
…
当时，，则，不满足条件；
综上所示，购买方案有两种，分别是品牌消毒液瓶，购买品牌消毒液瓶；品牌消毒液瓶，购买品牌消毒液瓶．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组在实际中的运用，理解题目中的数量关系，列方程组，掌握解方程组，根据实际情况考虑未知数的取值是解题的关键．
11．(1)学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件
(2)这次义卖活动共获得元利润
【分析】（1）设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件，根据两种文化衫220件共花费4800元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润=每件利润×数量，即可求出结论．
【详解】（1）解：设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件，
依题意，得：，
解得：．
答：学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件；
（2）(元)．
答：该校这次义卖活动共获得元利润．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12．(1)甲型号足球的价格为50元、乙型号足球的价格为80元；
(2)这所学校购买了70个甲型号足球．
【分析】（1）设甲型号足球的价格为x元，乙型号的足球的价格为y元，根据“购买2个甲型号足球和5个乙型号足球共需500元，购买3个甲型号足球和2个乙型号足球共需310元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设这所学校买了m个甲型号足球，买了n个乙型号足球，根据该学校一次性购买甲、乙型号足球共100个且共花费5900元，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲型号足球的价格为x元，乙型号的足球的价格为y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲型号足球的价格为50元、乙型号足球的价格为80元；
（2）解：设这所学校买了m个甲型号足球，买了n个乙型号足球，
依题意得：，
解得：．
答：这所学校购买了70个甲型号足球．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
13．(1)购进甲图书本，乙图书本
(2)九
【分析】（1）根据数量与总进价列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据总利润列出一元一次方程求解即可．
【详解】（1）设购进甲、乙图书各x本、y本，
∴，
解得：，
∴购进甲图书本，乙图书本．
（2）设乙图书应打a折出售，
，
∴
∴乙图书应打九折出售．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是找到相等关系，列出方程或方程组．
14．(1)单独购买一支中性笔的价格是元，笔记本的单价是元
(2)能，说明见解析
【分析】（1）根据题意，设单独购买一支中性笔的价格是元，笔记本的单价是元，依题意列出方程组，解方程组即可得出结果；
（2）计算出两人合在一起买的费用，比较即可得出结论．
【详解】（1）解：设单独购买一支中性笔的价格是元，笔记本的单价是元，
根据题意，可得：，
解得：，
∴单独购买一支中性笔的价格是元，笔记本的单价是元；
（2）解：能，说明如下：
∵若两人各自购买，则要买到想买的文具，小明要花费19元，小亮花费19元，因每人有20元，
又∵一件小工艺品的单价为1.5元，
∴两人都将无法再买小工艺品；
∵若两人合在一起买文具，则买文具所需费用为：（元），
又∵两人共有40元，（元），（元），，
∴两人应该合在一起买文具，才能既买全了想要的文具，又都能买到一件小工艺品．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，准确找到题目中的等量关系、列出方程是解本题的关键．
15．(1)购进A种物资60吨，则购进B种物资20吨
(2)租用大货车5辆，租用大货车4辆
【分析】（1）根据A，B两种抗洪物资80吨，共用去200万元，找出等量关系式列方程即可解得．
（2）根据题意列出二元一次方程组即可解得．
【详解】（1）解：设购进A种物资x吨，则购进B种物资吨，
根据题意得，
解得，
则，
即购进A种物资60吨，则购进B种物资20吨，
答：购进A种物资60吨，则购进B种物资20吨；
（2）设租用大货车m辆，租用大货车n辆，
根据题意得，
解得，
即租用大货车5辆，租用大货车4辆．
答：租用大货车5辆，租用大货车4辆．
【点睛】此题考查了一元一次方程和二元一次方程的实际应用，解题的关键是找出等量关系式列出方程．
16．(1)衬衫60件，短袖80件
(2)降价15元
【分析】（1）设商场本次购进了衬衫x件，短袖y件， 利用总价=单价×数量，结合商场共购进了某品牌衬衫和短袖共140件，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）每件衬衫降价元，根据预期利润=衬衫利润-衬衫降价亏损-衬衫损坏+短袖利润，即可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设商场本次购进了衬衫x件，短袖y件，
依题意的：，
解得：．
答：商场本次购进了衬衫60件，短袖80件
（2）以180元的价格销售的衬衫：（件），
降价销售的衬衫：（件），
销售短袖的利润：（元），
设：每件衬衫降价元，
依题意得：
解得：
答：每件衬衫降价15元，该商场销售完这批村衫和短袖正好达到益利25.5%的预期目标．
【点睛】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17．(1)
(2)当乙列车到达B站时，甲列车未到达C站，此时甲，乙两列车相距180千米
(3)甲列车经过1.5小时或2.9小时与乙列车相距280千米
【分析】（1）设经过x小时相遇，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）先求出乙列车到达B站所用的时间，再求出此时甲列车行驶的路程，即可得出答案；
（3）设甲列车经过m小时与乙列车相距280千米，分相遇前距280千米和相遇后距280千米，两种情况列出两个一元一次方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：设经过x小时相遇，
由题意得：，
解得：，
故答案为：2.55；
（2）（小时），
，
（千米），
答：当乙列车到达B站时，甲列车未到达C站，此时甲，乙两列车相距180千米；
（3）设甲列车经过m小时与乙列车相距280千米，
由题意得：或，
解得：或2.9，
答：甲列车经过1.5小时或2.9小时与乙列车相距280千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解决问题的关键．
18．（1）A商品200件，B商品150件；（2）8.5折
【分析】（1）设该商场第1次购进A商品x件，购进B商品y件，根据“该商场第1次用39万元购进A、B两种商品．销售完后获得利润6万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设B种商品是打m折销售，根据第2次经营活动获得利润等于36000元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）设该商场第1次购进A商品x件，购进B商品y件，依题意得：
解得：．
答：该商场第1次购进A商品200件，B商品150件．
（2）设B种商品是打m折销售，依题意得：
解得：m=8.5．
答：B种商品是打8.5折销售的．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
19．
【分析】①②得：④，把③代入④求出x，把代入③求出y，再把，代入①求出z即可．
【详解】解：，
①②得：
④，
把③代入④得：
，
解得：，
把代入③得：
，
把，代入①得：
，
解得：，
原方程组的解为：．
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，正确掌握三元一次方程组的解法是解题的关键．
20．.
【分析】先用①＋②得x－y＝5，再用②－③，得x＋2y＝11，两方程相减求得y的值，把y的值代入x－y＝5求得x的值，把x，y的值代入③可求得z的值.
【详解】①＋②，得3x－3y＝15，
即x－y＝5，④
②－③，得x＋2y＝11，⑤
⑤－④，得3y＝6，
所以y＝2，
把y＝2代入④，得x＝7.
再把x＝7，y＝2代入③，得z＝－2.
所以方程组的解为
【点睛】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成其余两个未知数的二元一次方程组．
21．．
【分析】设＝＝＝k，从而可得x+y＝2k，z+x＝3k，y+z＝4k，进而可得x+y+z＝k，然后根据x+y+z＝18，求出k的值，从而求出x+y＝8，z+x＝12，y+z＝16，最后进行计算即可解答．
【详解】解：设＝＝＝k，
∴x+y＝2k，z+x＝3k，y+z＝4k，
∴x+y+z+x+y+z＝9k，
∴2x+2y+2z＝9k，
∴x+y+z＝k，
∵x+y+z＝18，
∴k＝18，
∴k＝4，
∴x+y＝8，z+x＝12，y+z＝16，
∴z＝10，y＝6，x＝2，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是令＝＝＝k，并求出k值．
答案第1页，共2页
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