5.4统计与概率的应用 同步练习 （含解析）2023——2024高中数学人教A版（2019）必修第二册

5.4 统计与概率的应用 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．假设第一次感染新冠病毒并且康复后3个月内二次感染的概率大约是0.03，在半年内二次感染的概率是0.5.若某人第一次感染新冠病毒康复后，已经过去了三个月一直身体健康，在未来三个月内此人二次感染的概率是（ ）
A．0.45 B．0.48. C．0.49 D．0.47.
2．七巧板又称七巧图，智慧板，是一种古老的中国传统智力玩具.据清代陆以湉《冷庐杂识》说：“宋黄伯思宴几图，以方几七，长段相参，衍为二十五体，变为六十八名.明严澈蝶几图，则又变通其制，以勾股之形，作三角相错形，如蝶翅.其式三，其制六，其数十有三，其变化之式，凡一百有余.近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.”如图是一个用七巧板拼成的三角形（其中①②为两块全等的小型等腰直角三角形；③为一块中型等腰直角三角形；④⑤为两块全等的大型等腰直角三角形；⑥为一块正方形；⑦为一块平行四边形）.现从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）

A． B． C． D．
3．随着我国经济社会加快发展，人们思想观念不断更新，女性在企业管理中占据着越来越重要的地位，2021年12月21日，国家统计局发布了《中国妇女发展纲要（2011—2020年）》终期统计监测报告．下图为2010—2020年企业职工董事和职工监事中女性所占比重条形统计图，根据此图，判断下列说法错误的是（ ）
A．2010—2020年企业职工董事中女性所占比重的平均值为35.0个百分点
B．2020年企业职工董事中女性比重比2010年提高2.2个百分点
C．2020年企业职工监事中女性比重比2010年提高3.0个百分点
D．2011年企业职工监事中女性比重与董事中女性比重的差最大
4．“社保”已经走入了我们的生活，它包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险、生育保险.全年支出最重要的三项分别为养老保险、失业保险、工伤保险三项，下图是近五年三项社会保险基金的收支情况，下列说法中错误的是（ ）
A．三项社会保险基金在2020年以前收入为逐年递增
B．三项社会保险基金在2016~2019年间收支并未出现“赤字”
C．2020年三项社会保险基金收入合计50666亿元，比上年减少8464亿元，约减少14.3%
D．2020年三项社会保险基金支出合计57580亿元，比上年增加3088亿元，约增长6.7%
5．七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．为比较甲、乙两名学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）
A．乙的数据分析素养优于甲 B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C．甲的六大素养指标值波动性比乙小 D．甲的六大素养中直观想象最差
7．某比赛为甲、乙两名运动员制订下列发球规则：规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，否则乙发球；规则二：从装有个红球与个黑球的布袋中随机地取出个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；规则三：从装有个红球与个黑球的布袋中随机地取出个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.
其中对甲、乙公平的规则是（ ）
A．规则一和规则二 B．规则一和规则三 C．规则二和规则三 D．规则二
8．某地某年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是
A．计算机行业好于化工行业. B．建筑行业好于物流行业.
C．机械行业最紧张. D．营销行业比贸易行业紧张.
二、多选题
9．一座对外封闭的小岛上共有三座城市，三座城市第年居住人口分别为（单位万人，因为统计方法的影响，可能不为整数或有理数），假设出生率与死亡率相当（即总人口不变），每年人口都会在三座城市间流动，如城每年有留在城，有去往城，有去往城，总体流动情况如下表所示：
城市 每年去往 每年去往 每年去往
则以下说法中，正确的有（ ）
A．若，则
B．若三座城市人口均保持每年稳定不变，则
C．无论初始人口如何分布，经过足够久的年份后，三座城市的人口数会趋向相同
D．每两年的人口流动情况为下表所示：
城市 每两年去往 每两年去往 每两年去往
10．某校在开展的“体育节”活动中，为了解学生对“体育节”的满意程度，组织学生给活动打分（分数为整数，满分100分），发现分数均在内，从中随机抽取一个容量为300的样本，并将这些数据分成6组并作出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形（如图所示），则下列说法中正确的是（ ）

A．样本中分数落在的频数为45人 B．样本的众数为75分
C．样本的平均数为75分 D．样本的80百分位数为85分
11．某地区城乡居民储蓄存款年底余额（单位：亿元）变化情况如图所示，下列判断一定正确的是（ ）
A．该地区城乡居民储蓄存款年底余额总数逐年上升
B．到年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额
C．城镇居民存款年底余额逐年下降
D．年城乡居民存款年底余额增长率大约为
12．某校为了更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类 科技创新类 体艺特长类三种类型的校本课程，每位同学从中选择一门课程学习.现对该校5000名学生的选课情况进行了统计，如图1，并用分层随机抽样的方法从中抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图2.则下列说法正确的是（ ）

A．满意度调查中抽取的样本容量为5000
B．该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1250
C．该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为875
D．若抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30，则
三、填空题
13．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从 箱中取出的.
14．若样本数据是以频率分布直方图的形式给出，这时已不存在原始数据，因此要确定其p%分位数，只能估算，其p%分位数即为频率分布直方图中使左侧小矩形面积之和等于p%的分点值.
例如：若某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图：则可估计其80%分位数为 .
15．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组为的数据不慎丢失，则依据此图可得：
（1）年龄组为对应小矩形的高度为 ；
（2）由频率分布直方图估计志愿者年龄的85%分位数为 岁（结果保留整数）.
16．《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上同侧的三个半圆所围成的图形，其被阿基米德称为鞋匠刀形.如图所示，三个半圆的圆心分别为，，，半径分别为，，（其中），在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为，则 .
四、解答题
17．本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图．
(1)若数据分布均匀， 用频率估计概率，则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率；
(2)现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本，若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间[180， 190)中样本的均值为184 厘米，方差为16，试求这80人的方差.
18．某山村海拔较高，交通极为不便，被称为“云端上的村庄”，系建档立卡贫困村.民政部门为此组建了精准扶贫队对该村进行定点帮扶，扶贫组在实地调研后，立足当地独特优势，大力发展乡村经济，带动全村父老乡亲脱贫奔小康.为了解贫困户的帮扶情况，该地民政部门从本村的贫困户中随机抽取100户对去年的年收入进行了一个抽样调查，得到如下表所示的频数表：
收入（千元）
频数 15 10 35 20 10 10
(1)估计本村的贫困户的年收入的众数、第75百分位数；
(2)用分层抽样的方法从这100户贫困户抽取20户贫困户进行帮扶，若再从抽样调查收入在和的贫困户中随机选取2户作为重点帮扶对象，求至少有一户来自收入在千元的概率；
19．某校为了解学生每日行走的步数，在全校3000名学生中随机抽取200名，给他们配发了计步手环，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示，

(1)求的值，并求出这200名学生日行步数的样本众数、中位数、平均数；
(2)学校为了鼓励学生加强运动，决定对步数大于或等于13000步的学生加1分，计入期末三好学生评选的体育考核分，估计全校每天获得加分的人数.
20．中华人民共和国第十四届全国运动会、全国第十一届残运会暨第八届特奥会将于2021年在中国陕西举行.为宣传全运会、特奥会，让更多的人了解体育运动项目和体育精神，某大学举办了全运会、特奥会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)试根据频率分布直方图求出这100人中成绩低于60分的人数，并估计这100人的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
(2)求出随机抽取的100名学生成绩的第50百分位数（结果保留到小数点后一位）；
(3)若采用分层抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取6人，把6人排成一列，求成绩在的学生站在一起的概率.
21．某商超通过产品 价格 渠道和促销等各种营销策略，销售业绩得到不断提升，商超利润也有较大的攀升，经统计，该商超近7周的利润数据如下：
第周 1 2 3 4 5 6 7
商超利润（单位：万元） 32 35 36 45 47 51 55
(1)若关于具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该商超下周的利润；
(2)该商超为提升业绩，决定对客户开展抽奖促销活动：单张小票不超过500元可参加抽奖一次；单张小票超过500元可参加抽奖两次.若抽中“一等奖”，可获得30元的代金券；抽中“二等奖”，可获得20元的代金券；抽中“谢谢参与”，则没有奖励.已知本次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得二等奖”的概率为.某客户有两次参与抽奖活动的机会，假设两次抽奖之间是否中奖相互独立，求该客户所获得代金券总额（元）的分布列及数学期望.
附：；参考数据：
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】理解题意，康复后半年内感染的概率为康复后三个月感染的概率和康复后前三个月健康而未来三个月感染的概率之和，建立方程式解出即可.
【详解】令康复后前三个月健康而未来三个月内二次感染的概率为,
则可得：,
解得；
故选：B.
2．B
【分析】数形结合，通过对图形的各点标记，以及各块几何图的性质,进行边长运算即可得出结论.
【详解】如图，

为等腰直角三角形， 连接,
由题可知， 分别为的中点，
设，则,, , ,
则,
阴影部分②的面积为,
阴影部分⑦的面积为
则从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为，
故选：B.
3．A
【分析】本题考查学生筛选整合信息，处理信息的能力。此类题要求学生在对题目内容的理解与辨析，找出文章条形统计图中相对应的信息并进行计算，即可得到结论.
【详解】解：2010—2020年企业职工董事中女性所占比重的平均值为个百分点，选项A错误；
2020年企业职工董事中女性比重比2010年提高34.9－32.7＝2.2个百分点，选项B正确；
2020年企业职工监事中女性比重比2010年提高38.2－35.2＝3.0个百分点，选项C正确；
2011年企业职工监事中女性比重与董事中女性比重的差最大，为4个百分点，选项D正确．
故选:A．
4．D
【分析】数形结合，根据柱状图中给定数据结合题意代入所有选项求值即可得到D选项数据计算错误.
【详解】
选项 正误 原因
A √ 由条形图可知社会保险基金在2016~2019年收入是逐年递增的
B √ 社会保险基金在2016~2019年间收支并未出现“赤字”
C √ 2020年三项社会保险基金收入合计50666亿元，比上年减少8464亿元，约减少14.3%
D × 2020年三项社会保险基金支出合计57580亿元，比上年增加3088亿元，约增长5.7%，选项D是6.7%，故D错误
故选：D.
5．D
【分析】先逐个求解所有5个三角形的面积，再根据要求计算概率.
【详解】如图所示，，，，，的面积分别为，，．
将，，，，分别记为，，，，，从这5个三角形中任取出2个，则样本空间，共有10个样本点．
记事件表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和”，则事件包含的样本点为，，，共3个，所以．
故选：D．
6．C
【分析】根据所给的六大素养雷达图逐个分析即可.
【详解】A选项,甲的数据分析素养为分, 乙的数据分析素养为分, 乙的数据分析素养低于甲,选项错误;
B选项,乙的数学建模素养为分, 乙的数学抽象为素养分,选项错误;
C选项, 甲的六大素养指标值分别为,,,,,;乙的六大素养指标值分别为,,,,,,甲的六大素养指标值波动性比乙小,选项正确;
D选项,由C可知,甲的六大素养中,数学抽象,数学建模和数学运算最差,直观想象最最好,选项错误;
故选C.
【点睛】本题考查了命题真假的判断以及统计图雷达图的识别和应用,考查学生简单的推理,属于基础题.
7．B
【分析】计算出三种规则下甲发球和乙发球的概率，当两人发球的概率均为时，该规则对甲、乙公平，由此可得出正确选项.
【详解】对于规则一，每人发球的机率都是，是公平的；
对于规则二，记个红球分别为红，红，个黑球分别为黑、黑，
则随机取出个球的所有可能的情况有（红，红），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（黑，黑），共种，其中同色的情况有种，
所以甲发球的可能性为，不公平；
对于规则三，记个红球分别为红、红、红，则随机取出个球所有可能的情况有（红，红），（红，红），（红，黑），（红，红），（红，黑），（红，黑），共种，其中同色的情况有种，所以两人发球的可能性均为，是公平的.
因此，对甲、乙公平的规则是规则一和规则三.
故选B.
【点睛】本题考查利用规则的公平性问题，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，正确理解题意是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
8．B
【详解】∵用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，
∴建筑行业招聘人数是76516，而应聘人数没有排在前五位，小于65280，
建筑行业人才是供不应求，
∵物流行业应聘人数是74570，
而招聘人数不在前五位，要小于70436，
∴物流行业是供大于求，
∴就业形势是建筑行业好于物流行业，
故选B.
9．BCD
【分析】由题意知，与满足的关系式，逐项计算即可得出答案.
【详解】由题意知与满足关系式：，其中，
对于A，当，
则，则，故A错误；
对于B，在上述关系式中令，反解线性方程组，
即可知恒成立，从而，故B正确；
对于C，由流动比例的轮换对称性及总人口不变，知三座城市人口趋于相同，故C正确；
对于D，将代入，
则，故D正确.
故选:BCD.
10．AB
【分析】根据频率分布直方图得到各组概率，根据概率和为1得到分数落在的频率进而求解其频数，从而判断A；根据频率最高的区间得到众数，从而判断B；根据频率分布直方图的平均数与百分位数求法计算，从而判断C和D.
【详解】设分数落在的频率为，
由题意得，各组频率依次为，，，，，，
所以，解得.
对于A，样本中分数落在的频数为人，故A正确；
对于B，由题意知，样本中的频率最高，所以众数为75分，故B正确；
对于C，样本的平均数为分，故C错误；
对于D，分数小于80的频率为，分数小于90的频率为，所以样本的80百分位数位于，设为，
则，解得，故D错误.
故选：AB
11．AD
【解析】结合扇形图与条形图分析对比，对选项逐一分析判断.
【详解】由条形图可知，余额总数逐年上升，故A项正确；由城乡储蓄构成百分比可知，年农村居民存款年底总余额占，城镇居民存款年底总余额占，没有超过，故B项错误；城镇居民存款年底余额所占的比重逐年下降，但城镇居民存款年底余额年，年，年分别为（亿元），（亿元），（亿元），总体不是逐年下降的，故C项错误，年城乡居民存款年底余额增长率大约为，故D项正确.
故选：AD.
12．BC
【分析】根据满意率调查图表即可判断A选项，根据扇形统计图计算即可判断B选项，根据题意计算即可判断C选项，列出方程即可判断D选项.
【详解】满意率调查中抽取的样本容量为错误；
由扇形统计图知，
则人，B正确；
该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为人，C正确；
抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30，
则，则，D错误.
故选：BC.
13．甲.
【解析】分别求出甲箱中取到白球的概率和乙箱中取到白球的概率，由此进行判断．
【详解】解：甲箱有99个白球1个黑球，
随机地取出一球，得白球的可能性是，
乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得白球的可能性是，
由此看到，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．
既然在一次抽样中抽得白球，当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的．
我们作出推断是从甲箱中抽出的．
故答案为：甲
【点睛】本题考查概率的应用，属于基础题，解题时要认真审题，注意概率的计算．
14．133.3.
【解析】根据分位数的定义计算可得.
【详解】解析：分数在130以下的学生所占比例为.
在140以下的学生所占比例为.
因此，80%分位数一定位于内，由.
可以估计80%分位数为133.3.
答案：133.3.
【点睛】本题考查分位数的概念，属于基础题.
15． 0.04/ 39
【分析】（1）根据频率分布直方图的特征及图中数据，列等式计算即可；
（2）根据分位数的定义及题中数据计算可得出结果.
【详解】(1)设所对应小矩形的高度为，根据题意，
，计算得， ；
（2）根据分位数的定义，设志愿者年龄的85%分位数为x，则
解得.
故答案为：0.04；39.
16．/
【分析】通过计算三个半圆的面积，表示阴影部分的面积，利用几何概型的概率计算公式即可得出答案.
【详解】解：阴影部分面积为：
由图可知：，所以
则，
因为在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为，
所以，
，即，则
解得：，因为，
所以.
故答案为：.
17．(1)；
(2)
【分析】（1）先由频率分布直方图中每组的频率之和等于1求出的值，再对身高不低于180厘米的各个小组的频率进行累加即得；
（2）由分层抽样确定两个组别分别抽取的人数，设出两组的样本，计算出所抽取的80人的身高总样本的均值，化简总样本方差公式，将数据代入计算即得.
【详解】（1）由频率分布直方图可得：解得
则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率为.
（2）由于身高在区间，的人数之比为，所以分层抽样抽取80人，区间，内抽取的人数分别为50人与30人．
设在区间中抽取的50个样本为，其均值为176，方差为，即．
设区间中抽取的30个样本为．其均值为，方差为，即；
所以这80人身高的均值为．
从而这80人身高的方差为
因此，这80人身高的方差为
18．(1)11，13.5；
(2).
【分析】（1）根据频数表求众数及百位数即可；
（2）根据分层抽样可得在和范围抽取的贫困户数分别为3户和2户，再利用古典概型计算概率即可.
【详解】（1）众数为；
由于前三组的频率之和为，
前四组的频率之和为
∴第75百分位数在第4组中，
设第75百分位数为，则有：，解得：，
即第75百分位数为13.5；
（2）由频数表及分层抽样可知在收入范围内抽取的户数为，在收入范围内抽取的户数，
记年收入在的3名贫困户分别为A，，，年收入在的2名贫困户分别为，，
则从中随机抽取2户的所有可能结果为：，，，，，，，，，共10种，
其中抽到至少有一名在的贫困户的可能结果：，，，，，，有7种，
故年收入在的贫困户至少有1人被抽到的概率：.
19．(1)的值为0.1，众数为千步，中位数为千步，平均数为9.44千步
(2)360
【分析】（1）结合频率分布直方图，根据概率之和为1求出的值，进而结合图求解样本众数、中位数、平均数；
（2）根据已知条件求出步数大于或等于13000步的学生的频率，从而估计全校每天获得加分的人数即可.
【详解】（1）根据频率分布直方图可知，各组频率依次为，，，，，，，，
所以，
解得；
因为组频率最高，所以样本众数为千步；
步数小于8的频率为，步数小于10的频率为，所以中位数在之间，记为x，
则，解得，
所以中位数为千步；
平均数为，
所以平均数为9.44千步.
（2）由表可知，大于或等于13000步的学生频率为，
将频率看作概率，
则全校每天获得加分的人数约为（人），
所以估计全校每天获得加分的人数为360.
20．(1)18，73
(2)
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图中数据计算所求人数，由每组区间的中点值乘以频率相加得平均值；
（2）先判断抽取的100名学生成绩的第50百分位数在内，再列方程求解即可；
（3）由频率分布直方图根据比例求出三个区间上的人数，然后利用排列组合思想，结合古典概型概率公式求解即可.
【详解】（1）成绩低于60分的人数为（人）.
平均成绩.
（2）由直方图可知成绩在，，的学生频率和为，
所以抽取的100名学生成绩的第50百分位数在内，
设第50百分位数为，则，
即第50百分位数约.
（3）∵成绩在，，的学生人数所占比例为，
∴从成绩在，，的学生中应分别抽取3人，2人，1人.
6人排成一列，共有（种）方法.
成绩在的学生站在一起的方法有（种），
∴把6人排成一列，成绩在的学生站在一起的概率.
21．(1)，59万元
(2)分布列答案见解析，数学期望：（元）
【分析】(1)根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可得线性回归方程，再将点代入该线性回归方程即可求解.
(2)由题意可得，的所有可能取值为，分别求出对应的概率，即可得的分布列，从而求得数学期望.
【详解】（1）（1）根据表中数据，计算可得：
所以.
又因为，所以.
所以.
所以关于的线性回归方程为.
当时，得.
所以预测该商超下周的利润为59万元.
（2）（2）该客户所获得的代金券总额的所有可能取值有.
，
代金券总额的分布列如下表：
0 20 30 40 50 60
所以（元）.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页