2024年江苏省无锡市江阴市中考一模数学模拟题（含解析）

2024年春学期江阴市初中学业水平调研测试
九年级数学试题
本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 考试时间为120分钟． 试卷满分150分．
注意事项：
1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合．
2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑． 如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效．
3.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
4.卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑． ）
1. 的倒数是（　　）
A. B. C. D.
2. 要使二次根式有意义，x的值可以是（）
A. 3 B. 1 C. 0 D. -1
3. 下列运算正确是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
5. 方程的解为（）
A. B. C. D.
6. 一组数据0、1、、1、的中位数和众数分别是（ ）
A. 、1 B. 、1 C. 1、1 D. 0、1
7. 《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一，容三斛；大器一、小器五，容二斛． 问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器容量各是多少斛？若大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，是的外接圆，是的直径，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知、、满足等式，则下列结论不正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10. 如图，四边形是边长为4的菱形，，将沿着对角线平移到，在移动过程中，与交于点，连接、、．则下列结论：
①；
②当时，；
③当时，的长为；
④的面积最大值为．
其中正确为（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分． 不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11. 2023年我国国内生产总值约为1260000亿元，可将数字1260000用科学记数法表示为_________．
12. 分解因式：__________．
13. 请写出一个一元二次方程，使其一个根为2，一个根为0：_________．
14. 已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是__________．
15. 古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地． 若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则_________．（结果保留根号）
16. 如图，滑轮圆心为，半径为，若在力作用下滑轮上一点绕点顺时针旋转，则图中物块上升_________．（结果保留）
17. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标是，点在轴正半轴上，且，将绕点逆时针旋转，当点的对应点落在函数的图象上时，设点的对应点的坐标是，则_________．
18. 如图，中，，，，以为直径作圆，圆心为，过圆上一点作直线的垂线，垂足为，则的最大值是_________．
三、解答题（本大题共10小题，共96分． 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等． ）
19. 计算：
（1）；
（2）．
20. （1）解方程：；
（2）解不等式组：
21. 如图，在中，点是对角线中点，过点作的垂线，分别与边、交于点、．
（1）求证：；
（2）连接、，求证：四边形是菱形．
22. 为丰富同学们的学习生活，某校打算在七年级开设四种不同社团课，分别是A羽毛球、B插花、C健身操、D围棋． 为了解同学们对些课程的选择倾向情况，学校在校园随机抽取部分七年级同学做“你最喜爱的社团课”的问卷调查，调查结果统计图部分如图所示．
请你根据如图信息解决下列问题：
（1）参加问卷调查的学生人数为名，“羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是；
（2）补全条形统计图（画图并标注相应数据）；
（3）若该校七年级一共有900名学生，试估计选择“围棋”社团课的学生有多少名？
23. 将两个规格相同的乒乓球上分别标上4、，放入不透明的甲袋中；另外四个规格相同的乒乓球上分别标上2、3、5、，放入不透明的乙袋中
（1）从乙袋中任意摸出一个球，球上的数字恰好为无理数的概率是；
（2）先从甲袋中任意摸出一个球，再从乙袋中任意摸出一个球，求两球数字乘积为有理数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
24. 如图，在中，．
（1）请在图（1）中用无刻度的直尺和圆规作图：作的角平分线交于点，在上求作点，使；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，则 （如需画草图，请使用图2）
25. 如图，在中以为直径作圆，圆心为，交于点，连接，延长至，连接． 已知，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长度．
26. 某商店以30元/件的进价购进了某种商品，这种商品在60天内的日销售价（单位：元/件）与时间（单位：天）之间的关系如表格所示：
第天（为整数）
日销售价（元/件） 40
日销售量（单位：件）与时间（单位：天）之间的函数表达式为，其中为整数．
（1）求第30天的销售利润；
（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？日销售利润（日销售价进价）日销售量
27. 矩形中，，，点是中点，点从点出发，沿边运动至点停止，四边形与四边形关于直线对称，设，四边形与矩形重叠部分的面积记为．
（1）当点、、三点共线时，求；
（2）求关于的函数表达式．
28. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线过点且与轴平行． 二次函数的图象经过点，过点作的垂线，与直线交于点，与二次函数的图象另一个交点是点．
（1）_______；（用含字母的式子表示）
（2）若点的横坐标为，求；
（3）若，求．
2024年春学期江阴市初中学业水平调研测试
九年级数学试题
本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 考试时间为120分钟． 试卷满分150分．
注意事项：
1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合．
2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑． 如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效．
3.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
4.卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑． ）
1. 的倒数是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
解：∵，
∴的倒数是，
故选：D．
2. 要使二次根式有意义，x的值可以是（）
A3 B. 1 C. 0 D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
解：由题意可知：，
∴，
∴符合要求的为A，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式．分别根据积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及完全平方公式逐一判断即可．
解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：D．
4. 如图图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
5. 方程的解为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把分式方程转化为整式方程求解，然后解出的解要进行检验，看是否为增根．
去分母得，
解方程得，
检验:是原方程的解，
故选A．
【点睛】本题考查了解分式方程的一般步骤，解题关键是熟记解分式方程的基本思想是“转化思想”，即把分式方程转化为整式方程求解，注意分式方程需要验根．
6. 一组数据0、1、、1、的中位数和众数分别是（ ）
A. 、1 B. 、1 C. 1、1 D. 0、1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中位数和众数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此求解即可．
解：将数据重新排列为，，0，1，1，出现次数最多的是1，即众数为1；
处于中间的两个数是0，则中位数为0，
故选：D．
7. 《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一，容三斛；大器一、小器五，容二斛． 问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？若大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查列二元一次方程组，理解题意，根据题中等量关系列出方程组即可．
解：根据题意，得，
故选：B．
8. 如图，是的外接圆，是的直径，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理．根据圆周角定理求得，得到，再根据圆周角定理求解即可．
解：连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
9. 已知、、满足等式，则下列结论不正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等式的性质和不等式的性质．根据题意得到，则，再逐一计算即可求解．
解：∵，
∴，则，
若，则，
∴，
若，则，
∴，
，
∵，
∴，∴，
，
∵，
∴，即，
∴，
观察四个选项，选项B符合题意，
故选：B．
10. 如图，四边形是边长为4的菱形，，将沿着对角线平移到，在移动过程中，与交于点，连接、、．则下列结论：
①；
②当时，；
③当时，的长为；
④的面积最大值为．
其中正确的为（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，解一元二次方程．证明四边形是平行四边形，都是等边三角形，即可判断①；利用三角形内角和定理，通过计算即可判断②；设，证明，得到关于的一元二次方程，解方程即可判断③；设，利用，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可判断④．
解：连接，
∵四边形是边长为4的菱形，，
∴和都是等边三角形，
∴，
由平移的性质得，四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴都是等边三角形，
∴，
∴，①正确；
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，②正确；
设，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，解得，
∴，③错误；
作于点，于点，
设，则，，
∴，，
∴等边、、的高都是，
∴，，
，
，
，，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
④正确．
综上，①②④正确，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分． 不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11. 2023年我国国内生产总值约为1260000亿元，可将数字1260000用科学记数法表示为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
解：将数字1260000用科学记数法表示为，
故答案为：．
12. 分解因式：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式即可．
解：
故答案为：．
【点睛】本题考查利用提公因式、平方差公式分解因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13. 请写出一个一元二次方程，使其一个根为2，一个根为0：_________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程．设方程为，根据一元二次方程根与系数的关系“，”求解即可．
解：设方程为，
∵一个根为2，一个根为0，
∴，，
∴，
∴一元二次方程为，
故答案为：（答案不唯一）．
14. 已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是__________．
【答案】12
【解析】
【分析】利用圆锥的侧面积公式可得到底面半径，再利用勾股定理即可得到高．
解：根据圆锥侧面积公式变形可得，
根据圆锥母线公式，可得，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式和母线公式，熟知上述公式是解题的关键．
15. 古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地． 若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则_________．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
解：点是线段的黄金分割点，且，
，
故答案：．
16. 如图，滑轮圆心为，半径为，若在力作用下滑轮上一点绕点顺时针旋转，则图中物块上升_________．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查弧长的计算．根据弧长的计算方法计算半径为，圆心角为的弧长即可．
解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，
即，
故答案为：．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标是，点在轴正半轴上，且，将绕点逆时针旋转，当点的对应点落在函数的图象上时，设点的对应点的坐标是，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】过作轴于C，过作轴于D，先根据旋转性质结合锐角三角函数关系得到，，证明得到，则可得，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，由勾股定理求得，进而利用完全平方公式求解即可．
解：过作轴于C，过作轴于D，则，
∵点A坐标是，
∴，
在中，，则，
由旋转性质得，，，点在第一象限中，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
∵的坐标是，且在第一象限，
∴，，
∴，，
∵在函数的图象上，
∴，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合，涉及旋转性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、解直角三角形、完全平方公式等知识，熟练掌握旋转性质和相似三角形的性质是解答的关键．
18. 如图，中，，，，以为直径作圆，圆心为，过圆上一点作直线的垂线，垂足为，则的最大值是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】通过创造出特殊的几何图形，利用特殊角度45度角的正切值为切入点，创造出一个特殊的45度角将所需求的两个线段的最大值转化为一条线段，此时点与点重合，进而求出所需要的最大值．
如图，作，过点作于点，
延长交于点，过点作，垂足为点，
过点作于点，延长交于点，
当点与点重合，点在点处时，取得最大值．
理由：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴求得：或（舍去），
∴，
∵，
∴，
在上取不同于点的一点，过点作于点，
过点作所在的直线于点，并延长交于点，
∵，，
∴，，
则，
或，
∵，，
∴，，
∴，，
由图可知：，
∴，
∴当点在点处时，取得最大值，最大值为的长，
∵，
∴取得最大值．
故答案为：或．
【点睛】本题重点考查三角形中三角函数的转化及运用，以及结合圆和勾股定理的相关知识解决线段最大值问题，关键在于此最大值的特殊位置的寻找，以及通过几何图形和各个角之间的相互转化叠加证明，最终求出所需量的值．
三、解答题（本大题共10小题，共96分． 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等． ）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，完全平方公式．
（1）利用绝对值，特殊角的三角函数，零指数幂化简各项，再作加减法；
（2）利用完全平方公式和整式的乘法去括号，然后合并同类项即可．
【小问1】
解：
；
【小问2】
解：
．
20. （1）解方程：；
（2）解不等式组：
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程、一元一次不等式组，熟练掌握解法并正确求解是解答的关键．
解：（1），，，
，
∴，
∴，；
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
21. 如图，在中，点是对角线中点，过点作的垂线，分别与边、交于点、．
（1）求证：；
（2）连接、，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定等知识，
（1）首先根据平行四边形的性质得到，，然后证明出即可；
（2）首先根据得到，然后证明出四边形是平行四边形，进而证明出四边形是菱形．
小问1】
∵在中，点是对角线中点，
∴，
∴
又∵
∴；
【小问2】
如图所示，连接、，
∵
∴
又∵
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形．
22. 为丰富同学们的学习生活，某校打算在七年级开设四种不同社团课，分别是A羽毛球、B插花、C健身操、D围棋． 为了解同学们对些课程的选择倾向情况，学校在校园随机抽取部分七年级同学做“你最喜爱的社团课”的问卷调查，调查结果统计图部分如图所示．
请你根据如图信息解决下列问题：
（1）参加问卷调查的学生人数为名，“羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是；
（2）补全条形统计图（画图并标注相应数据）；
（3）若该校七年级一共有900名学生，试估计选择“围棋”社团课的学生有多少名？
【答案】（1）100；
（2）见解析（3）估计选择“围棋”社团课的学生约有名．
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（1）根据参加“健身操”的人数除以所占的百分比即可求出参加问卷的学生人数，用选择“羽毛球”社团课的学生人数除以总人数乘即可得到结果；
（2）用总人数减去参加其他各项的人数即可得到参加“插花”的人数，从而可补全条形统计图；
（3）先求出样本中参加“围棋”社团课的百分比，再用七年级人数乘以这个百分比即可得到结论．
【小问1】
解：参加问卷调查的学生人数为（名），
“羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是，
故答案为：100；；
【小问2】
解：参加“插花”的人数有（名），
补全条形统计图如下，
；
【小问3】
解：（名），
答：估计选择“围棋”社团课的学生约有名．
23. 将两个规格相同的乒乓球上分别标上4、，放入不透明的甲袋中；另外四个规格相同的乒乓球上分别标上2、3、5、，放入不透明的乙袋中
（1）从乙袋中任意摸出一个球，球上的数字恰好为无理数的概率是；
（2）先从甲袋中任意摸出一个球，再从乙袋中任意摸出一个球，求两球数字乘积为有理数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）
（2）两球数字乘积为有理数的概率为．
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．
（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）依据题意先用列表法分析所有等可能的结果，然后根据概率公式求出两球数字乘积为有理数的概率即可．
【小问1】
解：乙袋中有4个球，其中无理数只有标有的1个球，
则从乙袋中任意摸出一个球，球上的数字恰好为无理数的概率是，
故答案为：；
【小问2】
解：列表得：
2 3 5
4 8 12 20
4
由列表可知所有可能的结果有8种，两球数字乘积为有理数的有4种，
所以两球数字乘积为有理数的概率为．
24. 如图，在中，．
（1）请在图（1）中用无刻度的直尺和圆规作图：作的角平分线交于点，在上求作点，使；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，则 （如需画草图，请使用图2）
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）根据尺规作角平分线和作一个角等于已知角的方法画图即可；
（2）过点D作于G，过点E作于F，分别证明和得到，再分别证明和得到，然后利用正切定义求解即可．
【小问1】
解：如图，射线、点E即为所求；
【小问2】
解：如图，过点D作于G，过点E作于F，则，
∵平分，，，
∴，又，
∴，
∴，
∵，，
∴，则，
∴，
∴，又，，
∴，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查尺规作图-作角平分线、作一个角等于已知角，角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、正切等知识，熟练掌握相关的知识的联系与运用，正确添加辅助线，利用全等三角形的性质和相似三角形的性质求解是解答的关键．
25. 如图，在中以为直径作圆，圆心为，交于点，连接，延长至，连接． 已知，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，圆周角定理：
（1）先证，推出，即可证得是的切线；
（2）根据求出，连接，得到，列得，勾股定理求出，即可求得．
【小问1】
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵是的直径，
∴是的切线；
【小问2】
∵，
∴，即，
∴，
连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
26. 某商店以30元/件的进价购进了某种商品，这种商品在60天内的日销售价（单位：元/件）与时间（单位：天）之间的关系如表格所示：
第天（为整数）
日销售价（元/件） 40
日销售量（单位：件）与时间（单位：天）之间的函数表达式为，其中为整数．
（1）求第30天的销售利润；
（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？日销售利润（日销售价进价）日销售量
【答案】（1）750元
（2）该商品在第20天的日销售利润最大，最大日销售利润是800元
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，理解题意销售量、利润与时间x的关系是解答的关键．
（1）先求出第30天的销售量和销售单价，再由销售利润单件利润销售量求解即可；
（2）先求得日销售利润与销售时间的关系式，再根据一次函数和二次函数的性质求解即可．
【小问1】
解：当时，销售量，销售单价为元/件，
∴第30天的销售利润为元；
【小问2】
解：设日销售利润为W元，
当时，日销售量为，销售单价为元/件，
∴日销售利润，
∵，
∴当时，W最大，最大值为800；
当时，日销售量，销售单价为40元，
∴日销售利润，
∵，y为整数，
∴当时，W最大，最大值为元，
∵，
∴该商品在第20天的日销售利润最大，最大日销售利润是800元．
27. 矩形中，，，点是中点，点从点出发，沿边运动至点停止，四边形与四边形关于直线对称，设，四边形与矩形重叠部分的面积记为．
（1）当点、、三点共线时，求；
（2）求关于的函数表达式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，结合对称性质证得，再根据等腰直角三角形的判定与性质求得，，进而根据解方程求解即可；
（2）分当时，当时，当时，当时，分别画出相应的图形，利用对称性质、全等三角形的判定与性质，结合三角形的面积公式求解即可．
【小问1】
解：如图1，在矩形中，，，点是中点，
∴，，，，
∴为等腰直角三角形，则，，
由对称性质得，，，
∴，
∵，
∴，
∴和均为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
解得；
【小问2】
解：当时，如图2，设与相交于点E，连接，过M作于H，则，，又，
∴，则，设，
∵，
∴，又，
∴在中，由勾股定理得，
∴，解得，
∴
；
当时，四边形与四边形重合，
∴，上式仍然成立；
当时，如图3，设与相交于点F，连接、，过M作于E，则
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，又，
∴，
∴，设，则，，
在中，，
由得，
解得，
∴
，
当时，重叠部分为，则，符合上式，
综上，．
【点睛】本题考查矩形的性质、对称性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和函数的思想求解是解答的关键．
28. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线过点且与轴平行． 二次函数的图象经过点，过点作的垂线，与直线交于点，与二次函数的图象另一个交点是点．
（1）；（用含字母的式子表示）
（2）若点的横坐标为，求；
（3）若，求．
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．
（1）求得点的坐标，代入求解即可；
（2）证明，得到，整理得，据此求解即可；
（3）分和时，两种情况讨论，由，推出，再证明，通过计算求得点D坐标，代入，计算即可求解．
【小问1】
解：令，则，
∴点的坐标为，
∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得；
故答案为：；
【小问2】
解：二次函数的图象的顶点坐标为，作轴于点，由点的横坐标为，可知，
∴在y轴左侧，如图，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
整理得，
解得或，
∴或；
【小问3】
解：当时，如图，作轴于点，
由（2）得，
∴，又，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴点D的坐标为，
代入得，
整理得，
∵，
∴；
同理当时，可得；
综上，或．