黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学2023-2024七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

风华中学数学七年级期中测试试题
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 如果，那么下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C D.
4. 利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 角是指脊柱弯曲的最大角度，是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一，小华在一次体检中测得角，则图中与（除外）相等的角的个数为（ ）
A. 2个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
6. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A. ，， B. ，，
C ，， D. ，，
7. 若不等式组的解集是x＞4，则m的取值范围是（　　）
A. m＞4 B. m≥4 C. m≤4 D. m＜4
8. 如图，、是的高，，，，则（ ）
A. B. 10 C. D. 6
9. 如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（ ）
A B. C. D.
10. 下列命题中，真命题的个数为（ ）
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②锐角三角形的三条高的交点一定在三角形的内部；③在中，若，则是直角三角形；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和增加，外角和不变.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11. 如图，松花江大桥钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是_______.
12. 把方程改写成用含的式子表示的形式，则________________．
13. 已知是方程的解，则m的值为_______.
14. 不等式 2x 1<4 的正整数解为_____．
15. 如果正多边形的一个外角为，那么它是正_______边形．
16. 若等腰三角形两边的长分别为和，则此三角形的周长是__________.
17. 定义一种新运算“”，当时，；当时，．例如：，，求_______．
18. 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打________折．
19. 在中，是边上的高，是的角平分线，直线与高交于点F，若，，则的度数为________度．
20. 如图，在中，，点E是上的点，于点D，的平分线交于点F，连接交于点H，的角平分线交的延长线于点P，若，，则_________.
三、解答题（其中21—25题每题8分，26—27题每题10分，共计60分）
21 解方程组：
（1）
（2）
22. 关于x，y的二元一次方程组（m为常数），若该方程组的解x，y满足，求m的取值范围．
23. 如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，已知的三个顶点均在格点上．
按要求画图：
（1）画出的边上的高；
（2）在网格中只画一条线段（点E在上），使的面积是面积的3倍；
（3）直接写出的面积______．
24. 如图1，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．
（1）若，，求的度数．
（2）如图2，过点A作于点F，若，，求的度数．
25. 阅读理解：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，则称一元一次方程为该不等式组的一个关联方程，如一元一次方程的解是，一元一次不等式组的解集是，因为，所以一元一次方程是一元一次不等式组的一个关联方程．
（1）试说明方程是不等式组的一个关联方程；
（2）若关于x的方程的解是整数，且它是不等式组的一个关联方程，请求出m的值．
26. 欣鑫中学开学初准备在商场购进A、B两种品牌的排球，已知购买一个B品牌排球比购买一个A品牌排球多花20元，购买2个A品牌排球和3个B品牌排球共需310元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的排球各需多少元？
（2）开学后学校决定再次购进A，B两种品牌排球共50个，恰逢商场对两种品牌排球的售价进行调整，A品牌排球售价比第一次购买时提高了，B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌排球的总费用不超过3016元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌排球？
27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C在x轴负半轴上，，点，点中的m、n是方程组的解．
（1）请直接写出A、B两点的坐标A（______，______），B（______，______）；
（2）动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，连接，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，用含t的式子表示的面积S；
（3）在（2）的条件下，当时，点P停止运动，过点P作x轴的垂线，交于点Q，，当点P停止运动时，点M从点P出发以每秒0.5个单位长度的速度沿向终点C运动（当点M运动至点C时停止运动），连接、，求点M运动多少秒时，与的面积相等．风华中学数学七年级期中测试试题
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，“只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫二元一次方程”．
根据二元一次方程的定义，逐一判断即可．
【详解】解：A、是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、不是整式方程，故本选项不符合题意；
C、是二元一次方程，故本选项符合题意；
D、不是二元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
2. 如果，那么下列说法正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质对每一个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵，∴，∴，故本选项不符合题意；
B、∵，∴，故本选项不符合题意；
C、∵，∴当时，，当时，，故本选项不符合题意；
D、∵，∴，故本选项符合题意．
故选：D．
3. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示为：
故选：．
4. 利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意直接根据高线的定义进行分析判断即可得出结论．
【详解】解：A、B、C均不是高线．
故选：D．
【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟练掌握三角形高线的定义即过一个顶点作垂直于它对边所在直线的线段,叫三角形的高线是解答此题的关键．
5. 角是指脊柱弯曲的最大角度，是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一，小华在一次体检中测得角，则图中与（除外）相等的角的个数为（ ）
A. 2个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，再利用对顶角相等可得，即可解答．
【详解】解：，，
，
，
，，
，
，
图中与相等的角有：，，，，共有4个，
故选：B．
6. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的三边关系．判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可．
【详解】解：A、∵，∴，，不能组成三角形；
B、∵，∴，，能组成三角形；
C、∵，∴，，不能组成三角形；
D、∵，∴，，不能组成三角形；
故选：B．
7. 若不等式组的解集是x＞4，则m的取值范围是（　　）
A. m＞4 B. m≥4 C. m≤4 D. m＜4
【答案】C
【解析】
【分析】先求出不等式①的解集，然后根据不等式组的解集是x＞4即可求出m的取值范围.
【详解】，
解①得
x>4，
∵不等式组的解集是x＞4，
∴m≤4.
故选C.
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.
8. 如图，、是的高，，，，则（ ）
A B. 10 C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，熟记面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的根本，关键是列出的方程．
根据三角形的面积公式列出的方程进行解答便可．
【详解】解：，
，
故选：C．
9. 如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据大长方形的长和宽分别列一个方程，联立两个方程即可．
【详解】解：设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，根据形可得
，
故选：B．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图形，分别利用长方形的长和宽列方程．
10. 下列命题中，真命题的个数为（ ）
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②锐角三角形的三条高的交点一定在三角形的内部；③在中，若，则是直角三角形；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和增加，外角和不变.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查命题与定理、解题的关键是熟练掌握三角形的高的性质，多边形内角和公式、外角和，三角形的外角的性质、三角形的内角和定理等知识，属于中考常考题型．
根据三角形的高的性质，多边形内角和公式、外角和，三角形的外角的性质、三角形的内角和定理一一判断即可．
【详解】解：①是真命题，
②是真命题，
③是真命题，
∵，
∴设，则，
由三角形内角和定理得：，解得，
∴，即是直角三角形，故③是真命题，
④是真命题，
∵n边形内角和为，
∴边形内角和为，
∴边数每增加一条，这个多边形的内角和增加，
而多边形外角和为，故外角和不变，故④是真命题，
因此①②③④都真命题，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11. 如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是_______.
【答案】三角形的稳定性
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性，即可求解．
【详解】解：松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，其中的数学道理是三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
12. 把方程改写成用含的式子表示的形式，则________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等式的性质，将移到右边，的系数化为1即可．
【详解】解：，
移项得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等式的性质，解决本题的关键是要熟练掌握等式的性质．
13. 已知是方程的解，则m的值为_______.
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
将代入，解方程即可．
【详解】解：∵是方程的解，
∴将代入得：，解得，
故答案为：2．
14. 不等式 2x 1<4 的正整数解为_____．
【答案】1，2.
【解析】
【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据不等式的解集找出答案即可.
【详解】解： 2x-1 ＜4
移项得： 2x＜4+1，
系数化为1，得：x<
∴不等式的正整数解是1，2.
故答案为1，2.
【点睛】本题主要考查对解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键.
15. 如果正多边形的一个外角为，那么它是正_______边形．
【答案】九
【解析】
【分析】此题主要考查了多边形的外角和，利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
【详解】解：由题意得：，
因此它是九边形，
故答案为：九．
16. 若等腰三角形两边的长分别为和，则此三角形的周长是__________.
【答案】15
【解析】
【分析】分是腰长与底边长两种情况讨论求解．
【详解】解：①是腰长时，三角形的三边分别为、、，
，
不能组成三角形，
②是底边时，三角形的三边分别为、、，
能组成三角形，
周长．
综上所述，这个等腰三角形的周长为．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论并利用三角形三边关系判断是否能组成三角形．
17. 定义一种新运算“”，当时，；当时，．例如：，，求_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查新定义，有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
根据当时，，可以计算出所求式子的值．
【详解】解：由题意可得，
，
故答案为：．
18. 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打________折．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于，列不等式求解．
设打了x折，用售价×折扣﹣进价得出利润，根据利润率不低于，列不等式求解．
【详解】解：设打了x折，
由题意得，，
解得：，
∴至多打8折．
故答案为：8．
19. 在中，是边上的高，是的角平分线，直线与高交于点F，若，，则的度数为________度．
【答案】85或135
【解析】
【分析】分两种情况讨论，第一种情况：为锐角：先由角平分线的意义及直角三角形两锐角互余，求出，，再由三角形外角定理即可求解；第二种情况，为钝角：先由角平分线的意义及直角三角形两锐角互余，求出，，再由三角形内角和定理求出，即可求解．
【详解】解：第一种情况：为锐角，如图示：
∵是的角平分线，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
第二种情况，为钝角，如图示：
∵是的角平分线，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：85或135．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，外角定理，对顶角，直角三角形的性质以及角平分线的意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
20. 如图，在中，，点E是上的点，于点D，的平分线交于点F，连接交于点H，的角平分线交的延长线于点P，若，，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了四边形内角和定理，三角形内角和定理，角平分线的定义．设，则，由四边形内角和定理得，求得．进一步计算即可求解．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
由四边形内角和定理得，
解得．
∴，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（其中21—25题每题8分，26—27题每题10分，共计60分）
21. 解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种．
（1）利用代入消元法解二元一次方程组；
（2）将原方程变形整理后，利用加减消元法解二元一次方程组．
【小问1详解】
解：，
由②可得：，
把③代入①，得：，
解得：，
把代入③，得，
∴原方程组的解为；
【小问2详解】
解：，
整理，可得，
，可得，
，可得，
解得，
把代入①，可得，
解得，
∴原方程组的解为．
22. 关于x，y的二元一次方程组（m为常数），若该方程组的解x，y满足，求m的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式的能力，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
由加减消元法可得，再解不等式可得答案．
【详解】解：
由得：，
由得：，
解得：．
23. 如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，已知的三个顶点均在格点上．
按要求画图：
（1）画出的边上的高；
（2）在网格中只画一条线段（点E在上），使的面积是面积的3倍；
（3）直接写出面积______．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）10
【解析】
【分析】本题考查作图 应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握三角形的高，共高三角形面积比等于底之比，属于中考常考题型．
（1）根据三角形的高的定义画出图形；
（2）由共高三角形面积比等于底之比即可确定点E的位置；
（3）利用三角形面积公式求解．
【小问1详解】
解：如图，线段即为所求，
【小问2详解】
解：如图所示，线段即为所求：
∵，高如上图，
∴，
∴线段即为所求．
【小问3详解】
解：，
故答案为：10．
24. 如图1，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．
（1）若，，求的度数．
（2）如图2，过点A作于点F，若，，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质和三角形的内角和定理，属于中考常考题型．
（1）利用角平分线的意义，及，两次外角定理即可求解；
（2）设，通过外角定理表示出，通过直角三角形的性质表示出，最后由平角的性质建立关于的方程，求解即可．
【小问1详解】
解：平分，
，
，，，
∴，
，
，
．
【小问2详解】
解：∵，
∴设，则，
平分，
，
∵，
∴，
平分，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴．
25. 阅读理解：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，则称一元一次方程为该不等式组的一个关联方程，如一元一次方程的解是，一元一次不等式组的解集是，因为，所以一元一次方程是一元一次不等式组的一个关联方程．
（1）试说明方程是不等式组的一个关联方程；
（2）若关于x的方程的解是整数，且它是不等式组的一个关联方程，请求出m的值．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，熟练求解一元一次不等式的步骤是解答此题的关键．
（1）根据关联方程的定义判断；
（2）先表示方程的根，再根据不等式组求出字母的范围即可．
【小问1详解】
解：．
．
解不等式组得：，
．
方程是不等式组的一个关联方程．
【小问2详解】
解：∵，
解得：，
对于，
解得：，
∴，且为整数，
∴，
解得．
26. 欣鑫中学开学初准备在商场购进A、B两种品牌的排球，已知购买一个B品牌排球比购买一个A品牌排球多花20元，购买2个A品牌排球和3个B品牌排球共需310元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的排球各需多少元？
（2）开学后学校决定再次购进A，B两种品牌排球共50个，恰逢商场对两种品牌排球的售价进行调整，A品牌排球售价比第一次购买时提高了，B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌排球的总费用不超过3016元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌排球？
【答案】（1）购买一个A品牌的排球需要50元、一个B品牌的排球70元
（2）35个
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于、的二元一次方程组；（2）根据总价单价购买数量，列出一元一次不等式．
（1）设购买一个品牌的排球需元，购买一个品牌的排球需元，根据“购买一个B品牌排球比购买一个A品牌排球多花20元，购买2个A品牌排球和3个B品牌排球共需310元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设此次购买品牌排球个，则购买品牌篮球个，根据总价单价购买数量结合总费用不超过3016元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，取其内的最大值即可．
【小问1详解】
解：设购买一个A品牌排球需要x元、一个B品牌的排球需要y元，
则
解得：，
答：购买一个A品牌的排球需要50元、一个B品牌的排球70元；
【小问2详解】
解：设购买B品牌排球a个，则购买A品牌排球个，
由题意得：，
解得：，
∵a取整数，
∴，
答：最多购买B品牌排球35个．
27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C在x轴负半轴上，，点，点中的m、n是方程组的解．
（1）请直接写出A、B两点的坐标A（______，______），B（______，______）；
（2）动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，连接，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，用含t的式子表示的面积S；
（3）在（2）的条件下，当时，点P停止运动，过点P作x轴的垂线，交于点Q，，当点P停止运动时，点M从点P出发以每秒0.5个单位长度的速度沿向终点C运动（当点M运动至点C时停止运动），连接、，求点M运动多少秒时，与的面积相等．
【答案】（1）0，4；2，0
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，一次函数的应用，勾股定理：
（1）解出关于m，n的方程，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当时，点P在x轴的正半轴，当时，点P在x轴的负半轴，
（3）先求出分两种情况讨论：当点M在上时，当点M在上时，即可求解．
【小问1详解】
解：，
解得：，
∴点A的坐标为，点B的坐标为；
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
当时，点P在x轴的正半轴，此时，
∴；
当时，点P在x轴的负半轴，此时，
∴；
终上所述，；
【小问3详解】
解：当时，，此时，
∵点B的坐标为，，
∴，
如图，当点M在上时，
∴，
即，解得：，
此时点M运动的时间为；
如图，当点M在上时，过点M作轴于点N，此时点M到x轴的距离为，即，
根据题意得：，
在中，，
∴，
设直线的解析式为，
把点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴点M运动的时间为；
综上所述，点M运动或秒时，与的面积相等．