广东省深圳市罗湖区桂园中学2023-2024七年级下学期期中数学试题（含解析）

2024罗湖区桂园中学七下期中考数学卷
一．选择题（每小题3分共30分）
1．（ ）
A． B． C． D．
2．下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组线段组成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
4．在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
5．一年365天，天安门广场的升旗仪式与太阳的节奏同步，唤醒一座城市中的梦，唤醒一个国家的清晨，当升旗手匀速升旗时，旗子的高度（米）与时间（分）这两个变量之间的关系用图象可以表示为（ ）
A． B． C． D．
6．在圆锥体积公式h中（其中，r表示圆锥底面半径，h表示圆锥的高），常量与变量分别是（ ）
A．常量是，变量是 B．常量是，变量是
C．常量是，变量是 D．常量是，变量是
7．用两个相同的三角板按照如图所示的方式作一组平行线，则其数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等
8．下列说法正确的是（ ）．
A．不相交的两直线一定是平行线 B．点到直线的垂线段就是点到直线的距离
C．两点之间线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
9．若定义表示，表示，则运算的结果为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，平分，，，则下列结论：
①；②OF平分；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．已知，则的余角为______．
12．计算：______．
13．如图，在立定跳远后，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在跳线上，另一边与拉的皮尺重合，这样做的理由是______．
14．若是完全平方式，则______．
15．将纸片沿折叠使点A落在点处，若，，则的度数为______．
三．解答题（共7小题共55分）
16．（10分）计算：（1） （2）
（3）
（4）（运用整式乘法公式简便计算）
17．（5分）先化简，再求值：，其中，．
18．（8分）【探究】（1）如图1，在中，点分别在边上，且，，若，求的度数．请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式）．
图1 图2
解：（______），
______（______）
，
______（______）
（______）
，______
【应用】（2）如图2，在中，点分别在边的延长线上，且，，若，则的度数为______（用含的代数式表示）
19．（6分）如图，与互为补角，与互为余角，且．
（1）求的度数；
（2）若平分，求的度数；
20．（8分）将长为，宽为的长方形白纸，按图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．
（1）根据图，将表格补充完整．
白纸张数 1 2 3 4 5 …
纸条长度 40 110 145 …
（2）设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的关系式是多少？
（3）你认为多少张白纸粘合起来总长度可能为吗？为什么？
21．（8分）如图1所示，长方形的长为，宽为，沿图中虚线用剪刀剪开，平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形，如图2所示．
（1）观察图2，请你直接写出、、之间的等量关系：______；
（2）根据（1）中的结论，若，求的值；
（3）拓展应用：若，求
22．（10分）已知，点是直线外一点．
（1）【问题初探】如图1，点分别在直线上，连接，求证：①；②．证明：过点作，请将问题①②的证明过程补充完整．
（2）【结论应用】如图2，的角平分线交于点E，点F是射线上一动点，且点F不在直线上，连接，作的角平分线与交于点Q，问：与有怎样的数量关系？说明理由；
（3）【拓展延伸】如图3，O是上一定点，，在内部作射线，使得，与交于点，动点在射线上，点在上，连接，，若在点的运动过程中，始终有，求的值．
2024罗湖区桂园中学七下期中考数学卷详解
一．选择题（每小题3分共30分）
1．【解析】基础题，同底数幂乘法，法则：底数不变，指数相加，故选A．
2．【解析】基础题，考查对顶角定义及识别．选B
3．【解析】基础题，考查三角形三边关系，选A．
4．【解析】基础题，考查平方差公式，依中文识别法：找相同与相反，故选B
5．【解析】基础题，考查用图象法表示两个变量间关系。依题中“匀速上升”可知，选B．
6．【解析】基础题，考查变量与常量概论，以语文字面理解即可有判别，故选C．
7．【解析】基础题，考查平行线的判定．由题可知是两个相同的三角板，则，是一组内错角，故选C．
8．【解析】几何典型题型：命题识别题型，考查几何定义、性质及定理；解题方法：字字计较．选项A：在同一平面内不相交的两直线一定是平行线；选项B：点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离；选项D：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故选C．
9．【解析】中等题型，整式乘法新定义运算题型．解题方法：理解新定义运算规则，并按此规则解题。由题意可得：
10．【解析】压轴题，中等难度，多结论题型，平行线典型题型．依两个解题习惯审题审图：（1）由，可得；由可得，，则，由平分可得，可得，由可得，可得；（2）由上挖掘的隐藏已知条件可得：①②③正确，④错误；故选C．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．【解析】基础题，考查余角定义，的余角；
12．【解析】基础题，考查积的乘方运算．原式
13．【解析】基础题，考查数学性质及原理，填“垂线段最短”
14．【解析】中等题，完全平分公式字母参数题型，，故．
15．【解析】压轴题，中等偏上难度．几何典型题型：折叠问题；两个几何解题习惯解题方法：抓住折叠前后的角相等；由折叠性质可得，由可得，设，则，由可得，解得，即，在中，由三角形内角和可得．
三．解答题（共7小题共55分）
16．（10分）计算：【解析】（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
17．【解析】原式，当时，原式
18．【解析】（1）依次为：已知：、两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换；；
（2）解：由可得，由可得，
19．【解析】（1）由题可知，，由可得，则，；
（2）由，可得，由平分可得，则．
20．【解析】中等题，考查用关系式表示两个变量之间的关系及找规律题型．
（1）由表格第三、四列可知，白纸每增加1张，长度增加，故依次填：75；180；
（2）关系式为；
（3）由题可得，解得，是整数，不能使粘合起来总长度为．
21．【解析】（1）由图2可知，大正方形的面积小正方形面积四个小长方形面积，故；
（2）由（1）的关系式可得；
（3）设，，由，，则；
22．【解析】（1）作，如图1-1，①，，，，，；
②，，，，，即．；
（2）由条件“点F是射线ED上一动点”可知此题存在分类讨论情形，几何题中的分类讨论，从图形的角度理解为动点所在位置的分类讨论，延长交于点，则点在点的左侧或右侧。
①如图2-1，当点F在点M左侧时，，由①②可得，，平分，平分，，，，即；
②如图2-2，当点F在点M右侧时，由①可得，，平分，平分，，，；
（3）先依两个几何解题习惯审题审图：①有关n的条件在图形下方，有关的条件在图形上方，要利用平行线性质及题目条件将它们的图形位置拉近：由，可得，则由可得；②由三角形外角性质可得，即，，，由可得，可得，即，，即，均是定值，则及也是定值，要想等式成立，即与的大小无关，，即，综上，．
【注】此小题是压轴小题，难点有两个：①相关角多，则各角间的关系众多，梳理起来容易“绕晕”，故需要有扎实的“两个几何解题习惯”中的“拉位置”：由上到下按空间顺序依次梳理各角关系（、直到找到间的等量关系）；②最后一步的取值思路，与代数中的“整数残缺问题”的处理方法相同，这一步的联想思考，是本题中最有难度的地方。