解析几何中的最值问题 -解答题训练 (原卷版+解析版)

解析几何中的最值问题
常见考点
考点一 面积最值问题
典例1．已知椭圆C∶经过点P（，），O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为-.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，求AOB面积的最大值.
【答案】(1)
(2)3
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆经过点P（，），得到，再利用点差法，根据直线l与直线OM的斜率乘积为-，得到 求解；
（2）当轴时，易得，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，联立，根据，得到k，t的关系，再求得和点O到直线AB的距离为d，由求解.
(1)解：因为椭圆经过点P（，），
所以，
设，因为直线l与椭圆C交于A，B两点，
所以，两式相减得，
因为线段AB的中点为M，且直线l与直线OM的斜率乘积为-，
所以 ，解得，
所以椭圆方程为：；
(2)当轴时，点M在x轴上，且，
由，得，
所以，
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，
由，消去y得，
则，，
由，得，
因为，
点O到直线AB的距离为，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
综上 AOB面积的最大值是3.
变式1-1．已知椭圆的焦距为2，且过点．若直线为椭圆与抛物线：的公切线．其中点分别为，上的切点．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)求面积的最小值．
【答案】(1)；
(2)2.
【解析】
【分析】
（1）根据给定条件，列出关于的方程，求解作答.
（2）设出直线AB的方程，分别与抛物线，椭圆的方程联立，求出切点纵坐标，再求出面积的函数关系，借助均值不等式计算作答.
(1)椭圆半焦距，依题意，，，又，解得，，
所以椭圆的标准方程为：.
(2)显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，，，
由消去x并整理得：，
则，即，，
由 消去x并整理得：，
则，即，
，点O到直线的距离为，
∴
，
当且仅当，即时取“=”，
所以面积的最小值为2.
变式1-2．已知曲线上任一点到点的距离等于该点到直线的距离．经过点的直线与曲线交于、两点．
(1)求曲线的方程；
(2)若曲线在点、处的切线交于点，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）分析可知曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，由此可求得曲线的方程；
（2）先证明结论：抛物线在其上一点上一点的切线方程为，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出，写出抛物线在、两点处的切线方程，求出点的坐标，进而求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的性质可求得面积的最小值．
(1)
解：由题意可知，曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，
设抛物线的标准方程为，则，可得，
因此，曲线的方程为.
(2)
解：先证明结论：抛物线在其上一点上一点的切线方程为，
由题意可得，联立，可得，解得，
因此，抛物线在其上一点上一点的切线方程为.
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
设直线的方程为，设点、，
联立，可得，
，由韦达定理可得，，
，
抛物线在点处的切线方程为，
同理可知抛物线在点处的切线方程为，
联立，解得，即点，
点到直线的距离为，
所以，，当且仅当时，等号成立.
因此，面积的最小值为.
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
变式1-3．已知椭圆：的离心率是，且过点．
(1)求的方程；
(2)若，为坐标原点，点是上位于第一象限的一点，线段的垂直平分线交轴于点，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的离心率以及椭圆上的点，列出方程组，解得a.b,可得答案.
（2）设P点坐标，表示出直线PM的斜率，进而可得其中垂线方程，求得N点坐标，从而表示出四边形OPMN的面积，结合基本不等式，即可求得答案.
(1)
设E的焦距为2c，则,
解得,
所以E的方程是．
(2)
由题意，设，线段MP的中点为A，
则点A的坐标为，
且直线MP的斜率，故直线AN的斜率为，
从而直线AN的方程为,
又，则，
令，得，化简得，
所以四边形OPMN的面积，
当且仅当等号成立．
所以四边形OPMN面积的最小值为．
考点二 其他最值问题
典例2．如图，已知椭圆：的左、右焦点为、，左、右顶点分别为、，离心率，为椭圆上动点，直线交y轴正半轴于点A，直线交y轴正半轴于点B（当M为椭圆短轴上端点时，A，B，M重合）.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求直线的方程；
(3)设直线、的斜率分别为、，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据离心率可求，从而可得椭圆方程.
（2）设，则可以用的坐标表示，再根据可求，从而可求的坐标，故可求直线的方程.
（3）结合（2）可得，利用在椭圆上可化简前者，利用其纵坐标的范围可求最大值.
(1)
因为椭圆的离心率为，故即，
故，所以椭圆的方程为：.
(2)
设，因为直线交y轴正半轴于点A，则，，
又，故，
，故，
因为，故，所以，所以，
故即.
(3)
由（2）可得，而，
故，
因为，故，故的最大值为.
变式2-1．已知曲线上任意一点满足方程，
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线在轴左 右两侧的交点分别是，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)8
【解析】
【分析】
（1）根据双曲线的定义即可得出答案；
（2）可设直线的方程为，则直线的方程为，由，求得，同理求得，从而可求得的值，再结合基本不等式即可得出答案.
(1)
解：设，
则，等价于，
曲线为以为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为，
故曲线的方程为：；
(2)
解：由题意可得直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，
则直线的方程为，由，得，
所以，
同理可得，，
所以，，
当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值8.
变式2-2．已知椭圆过点，椭圆上的任意一点到焦点距离的最小值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设不过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与直线斜率之和为，求点到直线距离的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得且，结合a,b,c之间的关系，解得，，，即可得出答案．
（2）当直线垂直于轴时，直线与直线的斜率和为0，不符合题意，设直线的方程为，则，，联立直线与椭圆的方程，可得，，是该二次方程的两根，利用韦达定理结合条件可得到，即可得出答案．
(1)
因为椭圆过点，椭圆上的任意一点到焦点距离的最小值为，
所以且，
又，
解得，，
所以椭圆的方程为．
(2)
当直线垂直于轴时，直线与直线的斜率和为0，不符合题意，
故设直线的方程为，
由于直线不过点，故，
设，，，，，，
则，，
直线的方程可改写为，
椭圆的方程可改写为，
两者联立，可得，
时，
整理可得①，
若，则直线与椭圆的一个交点为，
此时直线的斜率不存在，不符合题意，
故，且，是以上二次方程①的两根，
由韦达定理有，
于是，
直线的方程为，
所以直线经过定点，则当点P与该定点的连线与l垂直时，点到直线距离的最大，最大值.为 .
【点睛】
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解答时要注意便是德技巧，解题中需要一定的计算能力，属于较难题．
变式2-3．已知点，，双曲线C上除顶点外任一点满足直线RM与QM的斜率之积为4.
(1)求C的方程；
(2)若直线l过C上的一点P，且与C的渐近线相交于A，B两点，点A，B分别位于第一、第二象限，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)1
【解析】
【分析】
（1）由题意得，化简可得答案，
（2）求出渐近线方程，设点，，，，，由可得，代入双曲线方程化简可得，然后表示的坐标，再进行数量积运算，化简后利用基本不等式可得答案
(1)
由题意得，即，
整理得，
因为双曲线的顶点坐标满足上式，
所以C的方程为.
(2)
由（1）可知，曲线C的渐近线方程为，
设点，，，，，
由，得，
整理得，①，
把①代入，整理得②，
因为，
，
所以.由，得，
则，
当且仅当时等号成立，所以的最小值是1.
巩固练习
练习一 面积最值问题
1．点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)记点P的轨迹为曲线C，直线l与x轴的交点M，直线PF与曲线C的另一个交点为Q．求四边形OPMQ面积的最大值．（O为坐标原点）
【答案】(1)
(2)6
【解析】
【分析】
（1）设出点，直接法求出轨迹方程；（2）求出，设出直线方程，表达出四边形OPMQ面积，使用换元及基本不等式求出面积最大值.
(1)
设点，则，P到直线的距离为，由题意得：，解得：.
(2)
由题意得：，则，设当直线l斜率为0时，即，此时四边形OPMQ不存在，故舍去；
设直线l为，与联立得：，设，则由韦达定理得：，，则，
四边形OPMQ面积，令，则，，其中在上单调递增，故当时，取得最小值为4，此时面积取得最大值6
【点睛】
求解轨迹方程通常方法有：直接法，定义法，相关点法，交轨法，本题中使用的是直接法.
2．设椭圆E：的右焦点为F，点A，B，P在椭圆E上，点M是线段AB的中点，点F是线段MP中点
(1)若M为坐标原点，且△ABP的面积为3，求直线AB的方程；
(2)求△ABP面积的最大值.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
(1)分斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时设直线方程与椭圆方程联立消元，利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，根据已知列方程可解；
(2)分直线过原点和不过原点，当不过原点时设直线方程与椭圆方程联立消元，利用韦达定理表示出M坐标，再由中点坐标公式得P点坐标，代入椭圆方程可得k和b的关系，然后利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积（注意），然后用导数求最值.
(1)
在椭圆中，，此时点P坐标为，当直线AB的斜率不存在时，易知，，不满足题意.故设直线方程为，代入椭圆方程得，即，由弦长公式得，点P到直线AB的距离为，则有，解得，所以直线AB的方程为或.
(2)
由（1）知，当直线过原点且斜率存在时，，故此时面积最大值为；
当直线不过原点时，易知直线斜率一定存在，设方程为，代入椭圆方程整理可得…①，记，则，，
则，将代入上式得，整理得，代入①得，又点F到直线AB的距离为，则整理得，令，，则，易知当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，，所以.又直线与椭圆有两个交点，所以，解得，故当，即时，△ABP面积的有最大值.
综上，△ABP面积的最大值为.
【点睛】
设而不求是圆锥曲线中最常用的方法之一，本题通过各点之间的关系，结合韦达定理表示出M坐标，进而得到点P坐标，借助P点在椭圆上作为突破口进行求解，考察学生的转化能力和运算能力，属难题.
3．设椭圆，点，为E的左、右焦点，椭圆的离心率，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)M是直线上任意一点，过M作椭圆E的两条切线MA，MB，（A，B为切点）．
①求证：；
②求面积的最小值．
【答案】(1)；
(2)①证明见解析；②.
【解析】
【分析】
（1）由题得，即得；
（2）由题可得在点，处的切线方程，进而可得直线AB方程，再利用斜率关系即证，联立直线AB方程，与椭圆方程，利用韦达定理可得，再通过换元，利用函数的性质可求.
(1)
由题可得，，
解得
∴椭圆E的标准方程为．
(2)
①先求在椭圆上一点的切线方程，
设椭圆上一点为，切线方程为，
联立方程组，可得，
∴，
∴，即，
∴，
故切线方程为，即，
设，，．
椭圆E在点的切线AM的方程为：，
在点处的切线BM方程为：．
又直线AM，BM过点，即，即，
故点，，在直线上，故直线AB方程为：，
当，即时，直线AB方程为：，则．
当时，直线AB方程为：．
右焦点，则，所以，即．
②直线AB方程为：与椭圆E联立得；，
，，
令，，
则在上单调递增，
所以当时，取最小值．
4．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点.
(1)证明：以为直径的圆与直线相切；
(2)设（1）中的切点为为坐标原点，直线与的另一个交点为，求面积的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径来证明；（2）先设直线的方程为，以为参数表示出点以及点的坐标，进而求出点到直线的距离，即为的高，最后把的面积表示成的函数，求其最值.
(1)
证明：抛物线的焦点为，准线方程为.
设，
弦的中点，
则到准线的距离为，
所以以为直径的圆与直线相切.
(2)
解：由题可知直线的斜率不能为0，设直线的方程为，
由整理得，
又，
则，
所以.
点的坐标为，于是直线的方程为，
代入，整理得或，
从而
则点到直线的距离为，
故.
令，
则在上单调递减，在上单调递增，
故
练习二 其他最值问题
5．已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.
【答案】(1)
(2)32
【解析】
【分析】
（1）设，列方程组，求出，即可得到抛物线的方程；
（2）设点，利用是以为斜边的等腰直角三角形，表示出，用坐标表示出利用基本不等式求出的最小值.
(1)设点，由已知，则，即.
因为，则，所以抛物线的方程是.
(2)设点，直线的斜率为，
因为，则直线的斜率为.
因为，则，得，①
因为，则，即，②
因为，则，即③
将②③代入①，得，即，则，
所以
因为，则，又，则，从而，当且仅当时取等号，所以的最小值为32.
6．已知双曲线C：的左右顶点分别为，，两条准线之间的距离为1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若点P为右准线上一点，直线PA与C交于A，M，直线PB与C交于B，N，求点B到直线MN的距离的最大值．
【答案】(1)
(2)1
【解析】
【分析】
（1）求得双曲线C的的，即可求得双曲线C的标准方程；
（2）以设而不求的方法先判定直线MN过定点，再去求点B到直线MN的距离的最大值．
(1)由题意得．设双曲线C的焦距为2c，则，所以．
所以，
所以双曲线C的标准方程．
(2)设，则直线PA的方程为：．
由，得．
因为直线PA与C交于A，M，所以，所以．
因为，所以，
，
所以．
因为直线PB的方程为
由，得．
因为直线PB与C交于B，N，所以，所以．
因为，所以，
，
所以．
所以当时，直线MN的方程为
．
令，得．
所以直线MN过定点．
当时，，所以直线MN过定点．
所以当时，点B到直线MN的距离取得最大值为1．
7．如图，已知点是焦点为F的抛物线上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为.
(1)求抛物线方程；
(2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值；
(3)令焦点F到直线AB的距离d，求的最大值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)
【解析】
【分析】
（1）待定系数法求解抛物线方程；（2）设出直线方程，联立后得到A点纵坐标，同理得到B点纵坐标，从而求出直线AB的斜率；（3）在前两问基础上用斜率k表达出，换元后使用基本不等式求出最大值.
(1)将点代入抛物线方程可得：，抛物线
(2)设，与抛物线方程联立可得：
，∴，用代k可得：
因此，，即.
(3)由（1）可知，，，
因此
到直线AB的距离.
∵
∴
，令，由得
∴
当且仅当时取等号.
的最大值为.
【点睛】
求解抛物线取值范围问题，把要求解的问题转化为单元问题，常使用的工具有换元，基本不等式，或导函数.
8．已知抛物线的焦点为F，A，B是该抛物线上不重合的两个动点，O为坐标原点，当A点的横坐标为4时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)以AB为直径的圆经过点，点A，B都不与点P重合，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)11.
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，利用焦半径与余弦值求出的值，进而求出抛物线方程；（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，根据得到等量关系，求出，从而表达出，求出最小值.
(1)设，因为，所以，，过点A作AD⊥x轴于点D，则，，解得：，所以抛物线方程为.
(2)设直线AB为，，由方程与联立得：，所以，即，且，，所以，，因为以AB为直径的圆经过点，所以，即，即，所以，所以，所以或，
当时，直线AB为过点P，此时与题干条件A，B都不与点P重合矛盾，不合题意，舍去；
当时，直线AB为，满足要求，所以，则，所以当时，最小，且最小值为11.解析几何中的最值问题
常见考点
考点一 面积最值问题
典例1．已知椭圆C∶经过点P（，），O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为-.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，求AOB面积的最大值.
变式1-1．已知椭圆的焦距为2，且过点．若直线为椭圆与抛物线：的公切线．其中点分别为，上的切点．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)求面积的最小值．
变式1-2．已知曲线上任一点到点的距离等于该点到直线的距离．经过点的直线与曲线交于、两点．
(1)求曲线的方程；
(2)若曲线在点、处的切线交于点，求面积的最小值．
变式1-3．已知椭圆：的离心率是，且过点．
(1)求的方程；
(2)若，为坐标原点，点是上位于第一象限的一点，线段的垂直平分线交轴于点，求四边形面积的最小值．
考点二 其他最值问题
典例2．如图，已知椭圆：的左、右焦点为、，左、右顶点分别为、，离心率，为椭圆上动点，直线交y轴正半轴于点A，直线交y轴正半轴于点B（当M为椭圆短轴上端点时，A，B，M重合）.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求直线的方程；
(3)设直线、的斜率分别为、，求的最大值.
变式2-1．已知曲线上任意一点满足方程，
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线在轴左 右两侧的交点分别是，且，求的最小值.
变式2-2．已知椭圆过点，椭圆上的任意一点到焦点距离的最小值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设不过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与直线斜率之和为，求点到直线距离的最大值.
变式2-3．已知点，，双曲线C上除顶点外任一点满足直线RM与QM的斜率之积为4.
(1)求C的方程；
(2)若直线l过C上的一点P，且与C的渐近线相交于A，B两点，点A，B分别位于第一、第二象限，，求的最小值.
巩固练习
练习一 面积最值问题
1．点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)记点P的轨迹为曲线C，直线l与x轴的交点M，直线PF与曲线C的另一个交点为Q．求四边形OPMQ面积的最大值．（O为坐标原点）
2．设椭圆E：的右焦点为F，点A，B，P在椭圆E上，点M是线段AB的中点，点F是线段MP中点
(1)若M为坐标原点，且△ABP的面积为3，求直线AB的方程；
(2)求△ABP面积的最大值.
3．设椭圆，点，为E的左、右焦点，椭圆的离心率，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)M是直线上任意一点，过M作椭圆E的两条切线MA，MB，（A，B为切点）．
①求证：；
②求面积的最小值．
4．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点.
(1)证明：以为直径的圆与直线相切；
(2)设（1）中的切点为为坐标原点，直线与的另一个交点为，求面积的最小值.
练习二 其他最值问题
5．已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.
6．已知双曲线C：的左右顶点分别为，，两条准线之间的距离为1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若点P为右准线上一点，直线PA与C交于A，M，直线PB与C交于B，N，求点B到直线MN的距离的最大值．
7．如图，已知点是焦点为F的抛物线上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为.
(1)求抛物线方程；
(2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值；
(3)令焦点F到直线AB的距离d，求的最大值.
8．已知抛物线的焦点为F，A，B是该抛物线上不重合的两个动点，O为坐标原点，当A点的横坐标为4时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)以AB为直径的圆经过点，点A，B都不与点P重合，求的最小值．