江西省抚州市黎川县黎川一中片区八校联考期中考试2023-2024九年级下学期期中数学试题（含答案）

2023-2024学年度第二学期期中考试初三数学试卷
一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．－2024的倒数是（）
A．－2024 B．2024 C． D．
2．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，若去掉上层的一个小正方体，则下列说法正确的是（）
A．主视图一定变化 B．左视图一定变化 C．俯视图一定变化 D．三种视图都不变化
3．春节期间，贴春联，送祝福一直是我们的优良传统．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
4．下列运算中，结果正确的是（）
A． B． C． D．
5．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为（）
A． B． C． D．
6．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数m，都有；④若点，是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．分解因式：______．
8．某细菌的直径0.00000054米，0.00000054米用科学计数法表示为______米．
9．若，是方程的两个根，则的值为______．
10．如图，电路上有3个开关、、和1个小灯泡L，任意闭合电路上2个开关，小灯泡发光的概率为______．
11．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．
12．在平面直角坐标系中，已知点，，，点D在直线BC上，，点P是y轴上一动点，若，则点P的坐标是______．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：．
（2）如图，在中，，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点连接DE、DF，求证：四边形DFCE是菱形．
14．先化简，再求值：，其中．
15．如图，点A，B，C在上，且，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图（1）中，，作一个度数为30°的圆周角；
（2）在图（2）中，，作一个顶点均在上的等边三角形．
16．一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率（直接写出结果）；
（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表或画树状图法，求由x，y确定的点在函数的图象上的概率．
17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点．
（1）______，______；
（2）求出一次函数的解析式，并结合图象直接写出不等式的解集．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．中国自古就是礼仪之邦，平辈行礼，上半身前弯15°，晚辈行礼，上半身前弯45°．小贤同学路遇李老师，面向李老师行了一个45°的作揖礼，李老师面向小贤回了一个15°的作揖礼（如图1）．现将其简化成如图2所示，已知李老师身高，上半身身高，小贤身高，上半身身高．
（1）求当李老师回礼时，其头部距地面的高度．
（2）行礼之时，人与人之间应该保持100cm以上的距离（指头与头之间的水平距离）最为适宜．行礼前，小贤距李老师180cm，请问同时行礼、回礼时，李老师与小贤之间的距离是否适宜？（参考数据：，，）
19．天气越来越热，市民出行纷纷撑伞防晒，某商场抓住这一商机，先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空，商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元，商场在销售这种太阳伞时，每把定价都是50元，每天可卖出20把．
（1）求两次共购进这种太阳伞多少把；
（2）商场为了加快资金的回笼速度，打算对第二批太阳伞进行降价销售，经市场调查，如果这种太阳伞每把降价1元，则每天可多售出2把，则太阳伞每把降价多少元时，才能使商场每天的销售额最大？并求出销售额的最大值．
20．某学校要调查学生关于“新冠肺炎”防治知识的了解情况，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行测试（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：
七、八年级抽取的学生成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 93 b
众数 c 100
方差 52 50.4
（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“新冠肺炎”知识较好？请说明理由．
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀（）的学生人数是多少？
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．课本再现
（1）在圆周角和圆心角的学习中，我们知道了：圆内接四边形的对角互补．课本中先从四边形一条对角线为直径的特殊情况来论证其正确性，再从对角线是非直径的一般情形进一步论证其正确性，这种数学思维方法称为“由特殊到一般”．
如图1，四边形ABCD为的内接四边形，AC为直径，则______度，______度．
（2）如果的内接四边形ABCD的对角线AC不是的直径，如图2、图3，请选择一个图形证明：圆内接四边形的对角互补．
知识运用
（3）如图4，等腰三角形ABC的腰AB是的直径，底边和另一条腰分别与交于点D，E．点F是线段CE的中点，连接DF，求证：DF是的切线．
22．已知抛物线：．
（1）下列有关抛物线的结论正确的有______（填序号）．
①开口向下；
②对称轴在y轴的左侧；
③与y轴的交点坐标为；
④函数值y有最小值；
（2）当时，抛物线的顶点坐标为______，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，则抛物线的表达式为______；
（3）如图，设抛物线与y轴相交于点C，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线，的交点为A，抛物线的顶点为P．是否存在实数m，使得？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
六、解答题（本大题共12分）
23．（1）【问题发现】如图1，在中，，，点D为BC的中点，以BD为一边作正方形BDFE，点F恰好与点A重合，则线段CF与AE的数量关系为______；
（2）【拓展探究】在（1）的条件下，如果正方形BDFE绕点B顺时针旋转，连接CF，AE，BF，线段CF与AE的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）【问题解决】当，且（2）中的正方形BDFE绕点B顺时针旋转到E，F，C三点共线时，求出线段AE的长．
2023-2024学年度第二学期期中考试初三数学试卷答案
1．C2．A3．B4．C5．C6．C
7．8．9．710．11．12
12．或或
13．（1）（3分）
；
（3分）∵D、E、F分别是、、的中点连接、，
∴，，，
∴四边形是平行四边形
∵
∴
∴四边形是菱形．
14．，
解：原式
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
解得：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
原式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
15．
（1）如图1中，∠CAD即为所求；．．．．．．．．．3分
（2）如图2中，△ACE即为所求．．．．．．．．．．．．．．3分
16．（1）解：P（奇数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（2）解：列表得：
xy 1 2 3 4
1
2
3
4
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
共有12种等可能的结果，其中点在函数的图象上的有2种，
∴P（点在函数的图象上）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
17．（1）2，2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（2）解：∵A（-1，2），B（2，-1），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为y=-x+1，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
观察图象，不等式kx+b＞-的解集是x＜-1或0＜x＜2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
18．（1）解：如图，过点C作于点P．
由题意可知，，
∴，
∵李老师身高，上半身身高，
∴下半身身高，
∴．
答：当李老师回礼时，其头部距地面的高度约为．．．．．．．．．．．．．．．3分
（2）解：如图，过点H作于点Q．
由题意可知，
小贤身高，上半身身高，
∴，
∵，，
∴，
∴QH+CP=49+20．8=69．8cm
∵180-69．8=110．2cm＞100cm
．∴行礼时，李老师与小贤之间的距离适宜．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（1）解：设第一次购进x把雨伞，
根据题意得：，
解得：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
经检验，是所列方程的解，且符合题意，．．．．．．．．．．．．3分
，
两次共购进这种太阳伞把；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）解：设太阳伞每把降价元，商场每天的销售额为元，
根据题意得：，．．．．．．．7分
，
当时，有最大值，最大值为元，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
答：太阳伞每把降价元时，才能使商场每天的销售额最大，销售额的最大值元．
20．（1）a=40，b=93，c=96；．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
（2）八年级掌握得更好．因为七八年级的平均数、中位数相同，
而八年级的众数比七年级高，说明八年级高分的同学更多；
八年级方差比七年级小，说明八年级两极分化差距小．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（3）由题意得：七年级成绩大于或等于分的有人，八年级成绩大于或等于分的有人
（人）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
答：参加此次调查活动成绩优秀的学生人数约为780人．
21．（1），；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（2）证明：以图2为例证明，
连接，，如图所示：
∵弧弧，
∴，，
∵
∴，
∴，
在四边形，，
即圆内接四边形的对角互补；
或者以图3为例证明，
连接，，如图所示：
∵弧弧，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在四边形，，
即圆内接四边形的对角互补；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（3）证明：连接，，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
∵是线段的中点，
∴，则，
∵是圆的半径，
∴是圆的切线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
22．（1）③④．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（2）；/y=（x-3）2+2．．．．．．．．5分（前一空1分是，后一空2分）
（3）存在实数m，使得，m的值为．理由：
∵抛物线的顶点坐标为，
将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，
∴抛物线的顶点P的坐标为，
把代入，得：，
∴点A的坐标为，
如图，过点A作轴于点B，过点P作轴于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴存在实数m，使得，m的值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
23．（1）；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（2）无变化，理由如下：
证：如图2，∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（3）如图2，，，三点共线，且点在线段上，
∵，，
∴，由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图3，，，三点共线，且点在线段的延长线上，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，线段的长为或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分