山东省菏泽市思源学校2023-2024高一下学期数学第一次月考（4月）数学试题（解析版）

菏泽思源学校高一下学期第一次月考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．已知向量，，若共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若复数是纯虚数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知的面积为，则（ ）
A．13 B．14 C．17 D．15
4．如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则（ ）

A．2 B． C． D．
5．已知向量满足，，且在方向上的投影向量的模与在方向上的投影向量的模相等，则等于（ ）
A． B． C．4 D．5
6．在中， ，，，点满足 ，则（ ）
A．0 B．2 C． D．4
7．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ）
A．64m B．74m C．52m D．91m
8．已知锐角，，，则边上的高的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．已知i为虚数单位，复数z满足z（2-i）= i2020，则下列说法错误的是（ ）
A．复数z的模为 B．复数z的共轭复数为
C．复数z的虚部为 D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
10．已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．直线必过边的中点
C．
D．若，且，则
11．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若B+C=2A，则面积的最大值为
B．若，且只有一解，则b的取值范围为
C．若C=2A，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D．为的外心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．与向量平行的单位向量的坐标为 ．
13．河中水流自西向东流速为，小船自南岸点出发，想要沿直线驶向正北岸的点，并使它的实际速度达到每小时，该小船行驶的方向为 ，小船在静水中的速度为 ．
14．如图，点，在无法到达的河对岸，为测量出，两点间的距离，在河岸边选取，两个观测点，测得，，，，则，两点之间的距离为 （结果用m表示）.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知，．
(1)若与垂直，求k的值；
(2)若为与的夹角，求的值．
16．设复数，m为实数．
(1)当m为何值时，z是纯虚数;
(2)若，求的值;
(3)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（其中S为△ABC的面积）.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.
18．设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限.
(1)若复数为纯虚数，求实数m的值；
(2)若，且是关于x的方程的一个复数根，求.
19．如图，设中角、、所对的边分别为、、，为边上的中线，已知，，．

(1)求边、的长度；
(2)求的面积；
(3)点为上一点，，过点的直线与边、（不含端点）分别交于、．若，求的值．
1．A
【分析】根据向量共线的坐标表示列方程求的值.
【详解】因为，，共线，
所以，所以，
故选：A.
2．A
【分析】根据纯虚数的概念可知即可求，进而计算可得结果.
【详解】由题意知：,可得，
所以,根据虚部的概念，可得的虚部为.
故选：A
3．C
【分析】先根据三角形的面积公式求出，再利用余弦定理即可得解.
【详解】的面积，所以，
由余弦定理得，因此.
故选：C.
4．D
【分析】利用平面向量基本定理选择和作为一组基底，表示出，根据列出方程组即可求解.
【详解】由已知可得
,
由图可知,所以，解得,
所以，
故选：.
5．A
【分析】设向量的夹角为，由题意可得，再由向量的模长公式求解即可.
【详解】设向量的夹角为，
所以在方向上的投影向量的模为，
在方向上的投影向量的模为，
所以，则，所以，
所以.
故选：A.
6．A
【分析】用，，表示和，最后代入进行数量积运算即可。
【详解】由题可得：，
，
所以
由于，，，
则，，
所以，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题以三角形为背景，把平面向量的线性运算以及数量积运算巧妙的结合在一起，用基底，，表示和是解题的关键，属于中档题.
7．B
【分析】首先在中求，再在中，求角，并利用正弦定理求，最后中，即可求解.
【详解】因为中，，，，
所以，
因为中，，，
所以，
由题意，，，
则，
在中，由正弦定理得，即，
故，
故.
故选：B
8．C
【分析】设边上的高为，根据题意得，再结合条件得，再分析求值域即可.
【详解】因为为锐角三角形，，设边上的高为，
所以，解得
由正弦定理可得，，
所以，，因为，
所以
因为，所以，所以，
所以，所以边上的高的取值范围为.
故选：C.
9．ABC
【分析】直接利用复数的运算，复数的模，复数的共轭，复数的几何意义判断A、B、C、D的结论．
【详解】解：复数满足，整理得．
对于A：由于，故，故A错误；
对于B：由于，故，故B错误；
对于C：复数的虚部为，故C错误；
对于D：复数在复平面内对应的点为，故该点在第一象限内，故D正确；
故选：ABC．
10．ACD
【分析】根据题设条件，化简得到，可判定A是正确的；根据向量的线性运算法则，化简得到，可判定B不正确；根据，得到，结合三角形的面积公式，可判定C正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D是正确的.
【详解】如图所示，点O为所在平面内一点，且，
可得，即，
即，所以，所以A是正确的；
在中，设为的中点，
由，可得，
所以，所以直线不过边的中点，所以B不正确；
由，可得且，
所以，所以，可得，所以
所以，所以C正确；
由，可得
因为，且，
可得，
所以，所以D是正确的.
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
11．ACD
【分析】对于A，由正弦定理可得，根据求出，再由余弦定理、基本不等式和三角形面积公式可判断A；由正弦定理得，利用可判断B；求出，利用为锐角三角形得的范围，由正弦定理得，求出的范围可判断C；做交于点点，则点为的中点，设可得，利用数量积公式计算可判断D.
【详解】对于A，由正弦定理可得，
因为，所以，所以，
若，且，所以，
由余弦定理得，
由，可得，即，
则面积，所以面积的最大值为，故A正确；
对于B，若，且，由正弦定理得，
所以，当时即，所以时有一解，故B错误；
对于C，若C=2A，所以，且为锐角三角形，
所以，解得，所以，
由正弦定理得，故C正确；
对于D，如图做交于点点，则点为的中点，且，
设，所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
12．
【分析】设单位向量坐标为，根据向量共线公式及求模公式，化简计算，即可得答案.
【详解】设与向量平行的单位向量的坐标为，
由题意得，解得或，
故答案为：
13． 北偏西方向
【分析】利用平面向量来进行求解，结合特殊角的三角函数值得到答案.
【详解】如图所示，的方向代表水流方向，且，
的方向即为小船行驶的方向，且，，，
则，故，
故，小船行驶的方向为北偏西方向，
且，即小船在静水中的速度为.
故答案为：北偏西方向，.
14．##
【分析】先分别求出和，在中，利用余弦定理即可解得.
【详解】因为，所以.
因为，所以，所以为等边三角形，所以.
在中，,,
所以.
由正弦定理得：，即，解得：.
在中，,,,由余弦定理解得：
.
故答案为：
15．(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合垂直的坐标表示求解作答.
（2）利用向量夹角的坐标表示计算作答.
【详解】（1）因为，，则，，
依题意，，解得，
所以.
（2）由（1）知，，，则，，
因此，而，
所以.
16．(1)5
(2)
(3)
【分析】（1）根据复数的相关概念列式求解；
（2）根据复数的模长公式运算求解；
（3）根据共轭复数的概念以及复数的几何意义列式求解.
【详解】（1）若z是纯虚数，则，解得，
所以当时，z是纯虚数.
（2）若，则，
所以.
（3）因为复数，对应的点为，
若复数在复平面内对应的点在第三象限，
则，解得，
故实数m的取值范围为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的数量积公式和三角形的面积公式求解；
（2）利用正弦定理边化角将转化为三角函数，利用三角函数的性质求解.
【详解】（1）因为，
则，
所以，又，则；
（2）由△ABC为锐角三角形及，
得且，所以，
由正弦定理，
得
，
因为，
所以，即的取值范围是.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据为纯虚数可得其实部为零，虚部不为零，从而可求参数的值；
（2）用实数表示，根据其模长可求，再根据复数的除法可求.
【详解】（1）由题可知，其中，
∵复数为纯虚数，∴，且，
∴.
（2）∵，∴，∴，
∴关于的方程的两根分别为，，
∵对应的点在第一象限，∴，且 ，
∵，∴，
∴，或，
∵，∴，∴，∴，
∴.
19．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用余弦定理结合正弦定理化简得出，再结合可求得边、的长度；
（2）设，由题意可得，利用平面向量数量积的运算性质结合可得出关于的等式，解出的值，进而可得出的值，利用三角形的面积公式可求得的面积；
（3）设，，其中、，根据、、三点共线可得出，再利用平面向量数量积的运算性质结合可得出，然后利用三角形的面积公式可求得的值.
【详解】（1）解：因为，
所以，，即，
所以，，即，即．
又因为，所以，.
（2）解：设，因为为边上的中线，
所以，，
则，
，
，①
整理得，即，
得或，
由①，得，所以，，则，
故，
因此，．
（3）解：由（2）知，，为的中点，则．
设，，其中、．
所以，得．
又、、三点共线，则、共线，
设，则，所以，，
因为、不共线，则，即，
由，得，
又，
所以，
即，
又因为，
所以，，所以，，解得，
所以：，，
所以．