广东省深圳市宝安区10校联考2023-2024八年级下学期期中数学试题(含解析)

2023-2024学年第一学期期中素养调研卷
八年级数学
试卷说明 ：
1. 答题前，务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卷规定的位置上.
2. 考生必须在答题卷上按规定作答 ：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效.
3. 全卷共 4页，考试时间90分钟，满分100分.
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上）
1．如图为山西省第八次旅游发展大会的吉祥物“盐精灵”，下列由该图平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
2．函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
3．若，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各项变形，是因式分解的是（　　）
A．a（a﹣2）＝a2﹣2a B．a2+4a﹣5＝（a+5）（a﹣1）
C．y2﹣1＝y（y﹣） D．am+bm+c＝m（a+b）+c
5．如图，A，B的坐标分别为，若将线段平移到处，，的坐标分别为，则（ ）

A．3 B．4 C．5 D．2
6．命题：已知，．求证：．运用反证法证明这个命题时，第一步应假设（ ）成立
A． B． C． D．且
7．关于分式，下列说法正确的是（ ）
A．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值也扩大2倍
B．分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值扩大2倍
C．分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值不变
D．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变
8．如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＞ax+4的解集为（　　）
A．x＜ B．x＜3 C．x＞ D．x＞3
9．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E，C为圆心，大于EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝45°，AC＝，CD＝1，则AB的长度为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．3
10．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点 的坐标是（　　）
A．（2，10） B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）
二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上）
11．若分式的值为0，则的值为 ．
12．某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为600元、标价为1100元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于10%，则最低折扣是 ．
13．如果，那么代数式的值是 ．
14．如图，在中，，点是的中点，交于；点在上，，，，则的长为 ．
15．如图，等边的边长为6，D是的中点，E是边上的一点，连接，以为边作等边，若，则线段的长为 ．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16．因式分解：
(1)
(2)
17．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
18．先化简，再求值： ，从1，2，3，4中选取一个适当的数代入求值．
19．如图， 三个顶点的坐标分别为、、
(1)将向左平移4个单位长度得到，请画出.
(2)以点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，请画出；
(3)在x轴上找一点P，最小，此时P的坐标为____________.
20．某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：
进货批次 甲种水果质量 （单位：千克） 乙种水果质量 （单位：千克） 总费用 （单位：元）
第一次 60 40 1520
第二次 30 50 1360
(1)求甲、乙两种水果的进价；
(2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲水果80千克，乙水果120千克．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
21．项目式学习
如何设计计算油漆用量的方案？
素材1 小明家的一面墙壁由边长为1分米的小正方形密铺而成，上面画了如图所示的心形图案．他现在准备将心形图案的内部刷上红色的油漆，已知刷1平方分米需要0.02升的油漆．
素材2 奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积公式，格点多边形的面积S与格点多边形内的格点数a和边界上的格点数b有关，面积公式可表示为（其中m，n为常数）．示例：如图2，格点多边形内的格点数，边界上的格点数，格点多边形的面积．
问题解决
任务1 在图3中画一个格点多边形，并计算它的格点多边形内的格点数a，边界上的格点数b和面积S． ________ ________ ________
任务2 得出格点多边形的面积公式 根据图2和图3的数据，求常数m，n的值．
任务3 计算油漆的用量 求需要红色油漆多少升？
22．阅读下面材料，并解决问题：
(1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出 ；
(2)基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，为上的点且，求证：；
(3)能力提升
如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，求的值．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据平移只改变位置，不改变大小和方向进行求解即可．
【详解】解：∵平移只改变位置，不改变大小和方向，
∴四个选项中，只有选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平移的特点，熟知平移只改变位置，不改变大小和方向是解题的关键．
2．B
【分析】根据分式有意义的条件可得，根据二次根式有意义的条件可得，分别求解即可．
【详解】解：根据分式有意义的条件可得，解得，
根据二次根式有意义的条件可得，解得，
综上所述，自变量x的取值范围是且，
故选：B．
【点睛】本题考查分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，注意分母不能为0，被开方数为非负数．
3．D
【分析】本题考查了不等式的性质，理解不等式的性质是解题的关键．
根据不等式的性质逐项判定即可求解．
【详解】解：A、∵，
∴，故此选项不符合题意；
B、∵，，
∴，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，故此选项符合题意；
故选：D．
4．B
【分析】根据因式分解的概念以及方法对选项逐个判断即可．
【详解】解：A．从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．等式右边不是整式的积的形式，即从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了因式分解的概念以及方法，熟练掌握因式分解的基础知识是解题的关键．
5．C
【分析】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，根据A，B，，点的坐标可得线段向右平移3单位，向上平移了2个单位，然后再根据平移方法计算出a、b的值，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴线段向右平移3个单位，向上平移了2个单位，
∴，
，
故选：C．
6．C
【分析】根据反证法的步骤，第一步要从结论的反面出发假设结论，即可判断．
【详解】解：∵的反面为，
∴第一步应假设成立，
故选C．
【点睛】此题考查的是反证法的步骤，掌握反证法的第一步为假设结论不成立，并找到结论的反面是解决此题的关键．
7．D
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：A、，故分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变，故该说法不符合题意；
B、，故分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值没有扩大2倍，故该说法不符合题意；
C、，故分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值发生变化，故该说法不符合题意；
D、，故分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变，此说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
8．C
【分析】先根据函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＞ax+4的解集．
【详解】解：把A（m，3）代入y＝2x，
得：2m＝3，解得：m＝；
根据图象可得：不等式2x＞ax+4的解集是：x＞；
故选：C．
【点睛】本题考查用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解题的关键．
9．B
【分析】由作图痕迹可知AD⊥BC，根据勾股定理即可求出AD的值，利用∠B＝45°确定△ABD是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出AB长即可．
【详解】解：由作法得AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，AD＝，
∵∠B＝45°，
∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=45°=∠B，
∴AD=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AB＝AD＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了尺规作图，勾股定理，三角形内角和，等腰直角三角形，发现AD⊥BC是解题的关键．
10．C
【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
【详解】解：∵点D（5，3）在边AB上，
∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，
①若顺时针旋转，则点在x轴上，O＝2，
所以，（﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以，（2，10），
综上所述，点的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．
11．±3
【分析】根据分子等于0，且分母不等于0列式求解即可．
【详解】由，得x=±3，
当x=±3时，，
若分式的值为0，则的值为±3．
故答案为：±3．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．
12．6折．
【分析】利润率不低于10%，即利润要大于或等于：600×10%元，设打x折，则售价是110x元．根据利润率不低于10%就可以列出不等式，求出x的范围．
【详解】设可以打x折，
1100×﹣600≥600×10%，
解得x≥6，即最低折扣是6折．
故答案为6折．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解利润率的含义，理解利润＝进价×利润率是解题的关键．
13．
【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a2+2a-1=0，可以得到a2+2a=1，从而可以求得所求式子的值．
【详解】解：（a-） ===a（a+2）=a2+2a，
∵a2+2a-1=0，
∴a2+2a=1，
∴原式=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法．
14．4
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
连接，作于点，根据含的直角三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一解答即可．
【详解】解：连接，作于点，
，
在中，，
，，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：4．
15．
【分析】过点F作，交于G点，交于H，过A点作于N点，证为等边三角形，进而证明，进而求出的长，利用求出的长，利用含30度角的直角三角形的性质，求出、的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】
如图，过点F作，交于G点，交于H，过A点作于N点
∵等边的边长为6，D是的中点，
，，．
，
，．
是等边三角形．
，
．
是等边三角形，
，
，
．
又，，
，
，．
，
．
又中，，，
，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形，难度大，综合性强，属于选择题中的压轴题．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先将变为，然后再提公因式，最后再利用平方差公式分解因式即可．
（2）先提公因式，然后再运用平方差公式分解因式即可．
本题主要考查了分解因式．分解因式时，首先观察各项有没有公因式，如果有公因式的先提取公因式，然后再按照平方差公式或者完全平方公式分解．分解因式一定要分解到不能再分解为止．熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
【详解】（1）
；
（2）
．
17．不等式组的解集为：，图见解析；
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】，
解不等式①得．
解不等式②得．
∴原不等式组的解集为：．
在数轴上表示如图：
【点睛】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，在解答此类题目时要注意实心圆点与空心圆点的区别，这是此题的易错点．
18．，当时，原式．或当时，原式．
【分析】本题考查分式的化简求值．
根据分式的运算法则化简，再把或代入计算即可．
【详解】解：原式
；；
，1，2
当时，原式．
或当时，原式．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了利用平移，旋转变换作图、轴对称-最短路线问题；熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）找出点A、B、C绕原点O顺时针旋转的对称点的位置，然后顺次连接即可；
（3）找出A点的对称点点，连接，与x轴交点即为P点．
【详解】（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）作出A点关于x轴的对称点，连接，与x轴交点即为P点．
则，（、重合），
，
此时的值最小，即为的长，
∴P点即为所求作的点，如图所示：点P坐标为．
故答案为：
20．(1)甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．
(2)22．
【分析】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元．根据题意列二元一次方程组求解即可．
（2）根据甲水果的利润+以水果的利润800，列不等式，求出m的值，再取m的最大整数值即可．
本题考查了列二元一次方程组和一元一次不等式解应用题，正确的列出方程组和不等式是解题的关键．
【详解】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元．
根据题意，得，
解方程组，得，
答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．
（2）水果店第三次获得的利润为
．
根据题意，得．
解这个不等式，得．
正整数m的最大值为22．
21．（1）图见解析；1，8，4；（2），；（3）需要0.66升红色油漆．
【分析】本题考查作图复杂作图，二元一次方程组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
任务1：任意画一个三角形，再分别计算a、b、S即可；
任务2：构建方程组求解；
任务3：判断出，的值，利用公式求解．
【详解】解：任务1：如图，即为所求．
观察图象可知：，，，
故答案为：1，8，4；
任务2：把数据代入得，
，
解得；
任务3：由图可知：格点多边形内的格点数，边界上的格点数，
由任务2得，把，得，
，
（升）．
答：需要0.66升红色油漆．
22．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；
（2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证．
（3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，即的长，再根据旋转的性质求出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，等边三角形三个角都是求出，然后求出四点共线，再利用勾股定理列式求出，从而得到．
【详解】（1）∵，
∴，
由题意知旋转角，
∴为等边三角形，
∴，
在中，
∴
∴为直角三角形，且，
∴；
故答案为：；
（2）如图2，把绕点A逆时针旋转得到，
由旋转的性质得，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
即．
（3）如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接，
∵在中，，
∴，
∴，
∵绕点B顺时针方向旋转，
∴如图所示；
∴，
∵，
∴，
∵绕点B顺时针方向旋转，得到，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴四点共线，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．