福建省三明市三元区列东中学2023-2024八年级下学期期中数学试题(含答案)

列东中学2023-2024学年第二学期期中质量检测
八年级数学试卷
（满分150分；考试时间：120分钟）
卷面要求：整洁、无涂改
一、选择题（共10题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项，请将答案填在答题卡的相应位置）
1.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.与2的差大于0，用不等式表示为（ ）
A. B. C. D.
3.一个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式可能是（ ）
A. B. C. D.
4.下列式子是分式的是（ ）
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，将点向左平移1个单位后得到的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
6.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
7.如图，已知线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线交于点，在直线上任取一点，连接，.若，则（ ）
A.3 B.2.5 C.7.5 D.5
8.在直角坐标系中，点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，中，将绕点逆时针旋转150°，得到，这时点、、恰好在同一直线上，则的度数为（ ）
A.50° B.75° C.65° D.60°
10.已知，，，则代数式的值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题（共6题，每小题4分，满分24分，请将答案填在答题卡的相应位置）
11.分解因式：____________.
12.已知一个三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形的面积为____________.
13.若分式的值为0，则____________.
14.如图，平面直角坐标系中，直线的图象经过，与正比例函数的图象相交于点，当时，实数的取值范围为____________.
15.如图，在中，，，，将沿射线方向平移2个单位后得到，连接，则的面积为____________.
16.如图，已知，，将绕点逆时针旋转60°得到，与交于点.
下列结论：①；②；③；④平分，
其中正确的是____________（填序号）.
三、解答题（共9大题，满分86分，请将解答过程写在答题卡的相应位置）
17.（本小题满分8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
18.（本小题满分8分）
把下列各式因式分解：（1）； （2）.
19.（本小题满分8分）
如图，点，在的边上，，，求证：.
20.（本小题满分8分）
先化简，再求值：，其中.
21.（本小题满分8分）如图，.
（1）请在边上确定点，使得点到直线的距离等于的长（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法和证明）；
（2）若，，求的长.
22.（本小题满分10分）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”.
（1）试说明是的“关联分式”；
（2）小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：设的“关联分式”为，则，所以以，所以.请你仿照小聪的方法，求分式的“关联分式”.
23.（本小题满分10分）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资组建了日废水处理量为吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理.已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元.
（1）求该车间的日废水处理量；
（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.
24.（本小题满分12分）综合与实践——探索图形平移中的数学问题：
图1 图2 图3
问题情境：如图1，已知是等边三角形，，点是边的中点，以为边，在外部作等边三角形.
操作探究：将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点、、的对应点分别为点、、.
（1）如图2，善思小组的同学画出了时的情形，写出此时平移的距离是_________.
（2）如图3，点是的中点，在平移过程中，连接交射线于点，敏学小组的同学发现始终成立，请你证明这一结论.
（3）拓展延伸：
在平移的过程中，直接写出以、、为顶点的三角形成为直角三角形时，平移的距离是_________.
25.（本小题满分14分）（1）如图1，等腰直角中，，，线段经过点，过作于点，过作于.
求证：.
（2）如图2，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点.若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标.
（3）如图3，在中，，，点是轴上位于点右侧的一点，点是中点，连接，把绕着点顺时针旋转90°得到，连接、、，试猜想的度数，并给出证明.
图1 图2 图3
参考答案
一、选择题
B A A C A D D B C D
二、填空题
11. 12.6 13.2 14. 15. 16.①③④
三、解答题
17.解不等式①得：
解不等式①得：
图
∴不等式组的解集为：
18.（1）
（2）
19.，，，
20.解：原式
当时，原式
21.解：（1）如下图：点即为所求；
（2）过点作于点，则，
.
22.解：（1），
又，
是的关联分式.
（2）设的关联分式是，则.
.
.
23.（1）因为工厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元，又，所以，
依题意得，，解得.
故该车间的日废水处理量为20吨.
（2）设该厂一天产生的工业废水量为吨.
①当时，依题意得，，解得，所以.
②当时，依题意得，，解得，所以.
综上所述，.
24.（1）1.5
（2） 是等边三角形，，，，
将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点，，的对应点分别为点，，；
，；
是等边三角形，，点是边的中点，
，，
，，
，，；
（3）6或12（答对一个2分）
25.（第2小题写出1个2分写出2个3分写出3个5分）
解：（1）略
（2），，，.
（3），理由如下：
延长线段至，使得，连接，，
，，，垂直平分（用全等也可以）
，，，
又，，即.
在和中，，，
，，
又为的中点，
在和中，，，
，，.
，
又
又，，.