北京市通州区2023-2024七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

通州区2023—2024学年第二学期七年级期中质量检测数学试卷
考生须知：
1．本试卷共4页，三道大题，26个小题，满分为100分，考试时间为120分钟．
2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法求解即可．
【详解】解：∵,
∴1处为空心，且折线向左，
故选C．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集．解题的关键在于明确：定大小，定空实，定方向．
2. 如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、由x＜y可得：，故选项成立；
B、由x＜y可得：，故选项不成立；
C、由x＜y可得：，故选项不成立；
D、由x＜y可得：，故选项不成立；
故选A.
【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3. 下列去括号所得结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”，去括号后，括号里的各项都改变符号．顺序为先大后小．根据去括号的规则进行解答．
【详解】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误．
故选：C．
4. 下列选项中是方程的解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别将选项中的解代入方程，使方程成立的即为所求．
【详解】解：A.将代入方程，得，所以本选项不符合题意；
B. 将代入方程，得，所以本选项符合题意；
C. 将代入方程，得，所以本选项不符合题意；
D. 将代入方程，得，所以本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系是解题的关键．
5. 已知方程，用含x的代数式表示y，正确的是（　　）
A. y＝2x+10 B. y＝2x+5 C. x=﹣2y+10 D. x＝
【答案】A
【解析】
【分析】把x看作已知数求出y即可．
【详解】解：∵ x=5，
∴y-2x=10，
解得y=2x+10，
故选：A．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6. 已知关于、的二元一次方程，下表中给出的几组，的值都是此方程的解，则的值为（ ）
… …
… …
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，依题意，任选一组解代入方程，即可求解．
【详解】解：将代入，得，
解得：，
故选：D．
7. 若不等式组的整数解只有四个，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，先对不等式进行求解，再根据不等式组的整数解有个即可解决问题，能根据不等式组整数解的个数建立关于的不等式组是解题的关键．
【详解】解：由不等式得，；
∵不等式组的整数解有四个，
∴，
故答案为：．
8. 两个形状大小完全相同的长方形中放入4个相同的小长方形后，得到图①和图②的阴影部分，如果大长方形的长为m，则图②与图①的阴影部分周长之差是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设图中小长方形的长为x，宽为y，表示出两图形中阴影部分的周长，求出之差即可．
【详解】解：设图③中小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为n，
根据题意得：x+2y＝m，x＝2y，即ym，
图①中阴影部分的周长为2（n﹣2y+m）＝2n﹣4y+2m，图②中阴影部分的周长2n+4y+2y＝2n+6y，
则图②与图①的阴影部分周长之差是2n+6y﹣（2n﹣4y+2m）＝10y﹣2mm﹣2m．
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的加减，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9. 写出一个解为的二元一次方程_____________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，由、的值，可得出的值，用其组成方程即可，解题的关键是根据二元一次方程的解找出符合题意得二元一次方程．
【详解】解：∵，
∴该方程可以为，
故答案为：．（答案不唯一）
10. 如果，那么m的值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了幂的运算．把底数统一成，后根据同底数幂的乘法法则，计算即可．
【详解】解：
∴
故答案为：．
11. 列不等式：的倍与的和不小于，则不等式可列为：_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列不等式，根据题意列出表达式即可求解．
【详解】解：依题意，
故答案为：．
12. 已知，则_____________．（用含有a、b的代数式表示）
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，将等式左边根据多项式乘以多项式进行计算，即可求解．
【详解】解：
∴，
故答案为：．
13. 计算：_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘以单项式，先计算积乘方，然后根据单项式乘以单项式进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
14. 如果代数式的值为18，那么代数式的值等于_____．
【答案】32
【解析】
【分析】本题考查了求代数式的值，解题的关键是熟练使用整体思想进行解答，
将代数式变形为，再将代入可得出结果．
【详解】解：由题意得：
故答案为：32
15. 小明购买笔记本，现在有、两种笔记本可供选择购买，种，每本元，种，每本元，他一共花了元钱，则小明的购买方案有_____________种．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意列出二元一次方程，根据方程有非负整数解，即可求解．
【详解】解：设小明购买种笔记本本，种笔记本本，根据题意得，
∴
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴小明的购买方案有4种，
故答案为：．
16. 对于任何数a，符号表示不大于a的最大整数，例如：，，，如果，则满足条件的所有整数x的和为 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了新定义运算，正确理解定义，转化为不等式或不等式组求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
关于x的所有整数为，
∴．
故答案为．
三、解答题（17-20题每题8分，21-26题每题6分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）根据整式的加减运算即可求得结果；
（）根据平方差公式和多项式乘以多项式法则进行计算，最后合并同类项即可求解；
本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式，
；
【小问2详解】
解：原式，
，
，
．
18. 解下列不等式和不等式组
（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组，并写出不等式组的所有整数解．
【答案】（1），数轴上表示解集见解析图；
（2）不等式组的解集为，整数解为，，，，，，．
【解析】
【分析】（）移项合并同类项，化系数为，再用数轴表示即可；
（）先求出两个不等式的解集，再求其公共解，再写出整数解；
本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式或不等式组的求解方法．
【小问1详解】
解：
，
，
，
数轴上表示解集如图，
【小问2详解】
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为，，，，，，．
19. 解下列方程组
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组；
（1）利用代入消元法进行计算求解；
（2）利用加减消元法进行计算求解．
【小问1详解】
解：
代入得：，
解得：，
∴原方程组的解为：；
【小问2详解】
解：
得，，
将代入②得，，
解得：，
∴原方程组的解为：．
20. 求下列代数式的值
（1），其中，．
（2）已知，，求的值；
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式加减与化简求值，完全平方公式变形求值；
（1）根据去括号，合并同类项，进行计算，然后将字母的值代入，即可求解；
（2）根据完全平方公式变形进行求值，即可求解．
【小问1详解】
解：
当，时，
原式
【小问2详解】
解：∵，，
∴
21. 已知关于、的二元一次方程的解为和
（1）求、的值；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程以及二元一次方程组的解；
（1）将方程的解代入得到新的方程组解方程组即可得到答案；
（2）根据（1）得出，将代入即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可得，
，
解得 ；
【小问2详解】
解：由（1）得，
，
将代入可得，
．
22. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就，书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一斗的价格是50钱；普通酒一斗的价格是10钱.现在买两种酒2斗共付30钱，问买美酒、普通酒各多少斗？
【答案】买美酒斗，买普通酒斗.
【解析】
【分析】设买美酒斗，买普通酒斗，根据题意列出二元一次方程即可求解.
【详解】解：设买美酒斗，买普通酒斗，
根据题意列方程得：
，
解得，
答：买美酒斗，买普通酒斗.
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系求解.
23. 在学习整式的乘法时我们常常利用平面图形中面积的等量关系验证某些数学公式．观察下面图形，解答下列问题．
（1）根据图，我们可以得到两数和平方公式：，根据图能得到的数学公式是________；
（2）如图，写出、、之间的等量关系是________；
（3）根据图，写出一个满足图形的等式：________，并用多项式乘以多项式的法则证明写出的等式成立．
【答案】（1）；
（2）；
（3），证明见解析．
【解析】
【分析】（）由图中各个部分面积之间的关系可得答案；
（）根据图中，大正方形的面积为，小正方形的面积为，每个长方形的面积为，由各个部分的面积之间的关系可得出答案；
（）大正方形的面积可表示为，再分别表示出大正方形中块的面积，可得答案；
本题主要考查的是完全平方公式的几何背景，从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义是解答本题的关键．
【小问1详解】
由图中各个部分面积之间的关系可得，
故答案为：；
【小问2详解】
由图中，由于大正方形的面积为小正方形的面积为，每个长方形的面积为，
∴，
故答案为：；
【小问3详解】
大正方形的面积为，内部块的面积分别为， ， ，，，，，，，
∴有，
故答案为：．
24. 小明在超市给全家购买五一小长假出游所需的小食品，若购买袋薯片和瓶饮料共需要元，若购买袋薯片和瓶饮料共需要元．
（1）求袋薯片和瓶饮料各多少元？
（2）小明家人一起在五一期间出游，他买了薯片和饮料一共件，总价钱不超过元，那么最多能买多少袋薯片？
【答案】（1）袋薯片元，瓶饮料元；
（2）最多能买袋薯片
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，
（1）设袋薯片元，瓶饮料元，根据购买袋薯片和瓶饮料共需要元，购买袋薯片和瓶饮料共需要元，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设小明买了袋薯片，则买了瓶饮料，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设袋薯片元，瓶饮料元，
根据题意得：，
解得：．
答：袋薯片元，瓶饮料元；
【小问2详解】
设小明买了袋薯片，则买了瓶饮料，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：最多能买袋薯片．
25. 莉莉在归纳有理数运算时得到下列结论：对于任意两个有理数a，b，①如果，那么或者．②如果，那么或者，③如果，那么或者，我们发现这些结论在整式运算中仍然成立．
例如，解不等式．由不等式可得：不等式组①或不等式组②，解不等式组①得：，解不等式组②得，∴不等式的解集为或．请你完成下列任务．
（1）解方程：；
（2）求不等式的解集；
（3）求不等式的解集﹔
（4）如果（1）中方程的两个解，都是关于x的不等式组的解，求m的取值范围．
【答案】（1）或1
（2）或
（3）或
（4）
【解析】
【分析】本题考查了解不等式组．
（1）仿照材料，先把方程转化为即可；
（2）仿照材料，先把不等式转化为关于x的不等式组，然后通过解不等式组即可；
（3）仿照材料，先把不等式转化为关于x的不等式组，然后通过解不等式组即可；
（4）先求出原不等式组的解集，再由和2都是原不等式组的解，可得关于m的不等式组，即可．
【小问1详解】
解：，
∴，
解得：或3；
小问2详解】
解：由不等式得：
不等式组①或不等式组②，
解不等式组①得：，
解不等式组②得，
∴不等式的解集为或；
【小问3详解】
解：由不等式得：
不等式组①或不等式组②，
解不等式组①得：，
解不等式组②得，
∴不等式的解集为或；
【小问4详解】
解：，
解得：，
∴原不等式组的解集为，
∵和2都是原不等式组的解，
∴，
解得：，
即m的取值范围为．
26. 用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．
（1）若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？
（2）若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由．
【答案】（1）横式纸盒做个，竖式纸盒做个
（2）是的整数倍，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合，均为正整数，即可得出是的整数倍．
【小问1详解】
解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，
根据题意得：，
解得：．
答：横式纸盒做个，竖式纸盒做个；
【小问2详解】
解：是的整数倍，理由如下：
设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，
根据题意得：，
，
又，均为正整数，
是的整数倍．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．通州区2023—2024学年第二学期七年级期中质量检测数学试卷
考生须知：
1．本试卷共4页，三道大题，26个小题，满分为100分，考试时间为120分钟．
2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B.
C D.
2. 如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列去括号所得结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列选项中是方程的解的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知方程，用含x的代数式表示y，正确的是（　　）
A y＝2x+10 B. y＝2x+5 C. x=﹣2y+10 D. x＝
6. 已知关于、的二元一次方程，下表中给出的几组，的值都是此方程的解，则的值为（ ）
… …
… …
A. B. 1 C. 2 D. 3
7. 若不等式组的整数解只有四个，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 两个形状大小完全相同的长方形中放入4个相同的小长方形后，得到图①和图②的阴影部分，如果大长方形的长为m，则图②与图①的阴影部分周长之差是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9. 写出一个解为的二元一次方程_____________．
10. 如果，那么m的值为_____________．
11. 列不等式：的倍与的和不小于，则不等式可列为：_____________．
12. 已知，则_____________．（用含有a、b的代数式表示）
13. 计算：_____________．
14. 如果代数式的值为18，那么代数式的值等于_____．
15. 小明购买笔记本，现在有、两种笔记本可供选择购买，种，每本元，种，每本元，他一共花了元钱，则小明的购买方案有_____________种．
16. 对于任何数a，符号表示不大于a最大整数，例如：，，，如果，则满足条件的所有整数x的和为 ________．
三、解答题（17-20题每题8分，21-26题每题6分）
17. 计算：
（1）
（2）
18. 解下列不等式和不等式组
（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组，并写出不等式组的所有整数解．
19. 解下列方程组
（1）．
（2）．
20. 求下列代数式的值
（1），其中，．
（2）已知，，求的值；
21. 已知关于、的二元一次方程的解为和
（1）求、的值；
（2）当时，求的值．
22. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就，书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一斗的价格是50钱；普通酒一斗的价格是10钱.现在买两种酒2斗共付30钱，问买美酒、普通酒各多少斗？
23. 在学习整式乘法时我们常常利用平面图形中面积的等量关系验证某些数学公式．观察下面图形，解答下列问题．
（1）根据图，我们可以得到两数和的平方公式：，根据图能得到的数学公式是________；
（2）如图，写出、、之间的等量关系是________；
（3）根据图，写出一个满足图形的等式：________，并用多项式乘以多项式的法则证明写出的等式成立．
24. 小明在超市给全家购买五一小长假出游所需小食品，若购买袋薯片和瓶饮料共需要元，若购买袋薯片和瓶饮料共需要元．
（1）求袋薯片和瓶饮料各多少元？
（2）小明家人一起在五一期间出游，他买了薯片和饮料一共件，总价钱不超过元，那么最多能买多少袋薯片？
25. 莉莉在归纳有理数运算时得到下列结论：对于任意两个有理数a，b，①如果，那么或者．②如果，那么或者，③如果，那么或者，我们发现这些结论在整式运算中仍然成立．
例如，解不等式．由不等式可得：不等式组①或不等式组②，解不等式组①得：，解不等式组②得，∴不等式的解集为或．请你完成下列任务．
（1）解方程：；
（2）求不等式的解集；
（3）求不等式的解集﹔
（4）如果（1）中方程的两个解，都是关于x的不等式组的解，求m的取值范围．
26. 用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．
（1）若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？
（2）若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由．