2024年云南省初中学业水平考试数学预测冲刺卷(六)（原卷版+解析版）

2024年云南省初中学业水平考试
数学预测冲刺卷（六）
（全卷三个大题，共27个小题，满分：100分，考试时间：120分钟）
一、单选题（本大题共有15个小题，每个小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1. 公元3世纪，我国古代数学家刘徽在《九章算术》注中，给出了负数的完整定义：“今两算得失相反，要令正负以名之．”这句话的意思是，在计算过程中，遇到具有相反意义的两数，以正数和负数来区分它们．若向北走30米记作米，则向南走50米可记作（ ）
A. 米 B. 0米 C. 50米 D. 80米
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相反意义的量，根据题意向北走记作正，则向南走记作负，即可得出答案．
【详解】解：若向北走30米记作米，则向南走50米可记作米，
故选：A．
2. 下列几何体中，主视图是圆的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图的概念找出各种几何体的主视图即可．
【详解】A、圆柱的主视图为长方形，不符合题意；
B、圆锥的主视图为等腰三角形，不符合题意；
C、球的主视图为圆，符合题意；
D、三棱锥的主视图不是圆，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是能够理解主视图的概念以及对常见的几何体的主视图有一定的空间想象能力．
3. 早上在昆明吃米线，下午到西双版纳看孔雀，晚上到老挝万象逛夜市，“一日跨境游”的设想，自中老铁路开通后得以实现．从2023年4月13日中老铁路国际旅客班列开行以来，已有10万余名游客实现坐着动车去老挝的跨境旅行．2024年春节假期，有5400余名旅客乘坐中老铁路国际旅客列车出入境中国．其中数据5400用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键．
【详解】解：
故选：B．
4. 已知与轴交于点O，若，则的面积与的面积之比为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明，再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解∶∵，
∴，
∴，
∴，
故选C
5. 函数的自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是函数的自变量的取值范围，分式有意义的条件，由可得，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴函数的自变量的取值范围是，
故选A
6. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的探究规律，解题的关键是根据单项式找到规律．通过观察单项式的系数发现：，则第n个单项式的系数为；由，发现第几个单项式的次数解是a的几次幂，得第n个为．
【详解】解：通过观察单项式的系数发现：，；
则第n个单项式的系数为；
，；
第几个单项式的次数即是a的几次幂，
第n个数为，
第n个单项式是，
故选：B．
7. 如图，两直线，被直线所截，已知，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，平角的定义；由平行线的性质得到等角是解题的关键．由平角可求得，由平行线的性质，得．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
故选：D．
8. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘法、除法，积的乘方逐项分析即可．
【详解】解：A．，故不正确；
B．，故正确；
C．，故不正确；
D．，故不正确；
故选：B．
9. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可
【详解】解：A选项是轴对称图形而不是中心对称图形；
B选项是轴对称图形不是中心对称图形；
C选项不是轴对称图形而是中心对称图形；
D选项是中心对称图形也是轴对称图形；
故选：D．
10. 反比例函数的图象位于（ ）
A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限．
【详解】解：∵，
∴反比例函数图象位于第一、三象限，
故选：A．
11. 如图，在中，分别是边的中点，若，则的长为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．直接根据三角形中位线定理即可得．
【详解】解：分别是边的中点，
是的中位线，
，
，
，
故选：B．
12. 中华文化源远流长，中华诗词寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况．随机选取其中200名学生的海选比赛成绩（总分100分）作为样本进行整理，200名学生的海选成绩统计表如下，规定海选成绩不低于90分记为“优秀”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优秀”的学生大约有（ ）
组别 海选成绩 人数
A组 10
B组 30
C组 40
D组 50
E组 70
A. 500 B. 600 C. 700 D. 800
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查频数分布表，样本估计总体，从表格中得到必要的信息是解决问题的关键．用该校参加这次海选比赛的总人数乘以成绩在90分以上（包括90分）所占的百分比，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：（人），
校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优秀”的学生大约有700人，
故选：C．
13. 两个连续的自然数的平方和为25，设这两个连续自然数中较小的一个自然数为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握数字之间的关系是解决此题的关键．根据连续自然数的关系用x表示出另一个自然数，然后根据平方和列方程即可．
【详解】解：设这两个连续自然数中较小的一个自然数为，根据题意，
得：，
故选：B．
14. 如图，为的直径，是上的一点，若，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，根据得，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：C．
15. 为正整数，且，则的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算．根据，利用无理数的估算即可得．
【详解】解：，
，，
又，且为正整数，
，
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
16. 分解因式：x2－9＝______．
【答案】(x＋3)(x－3)
【解析】
详解】解：x2-9=（x+3）（x-3），
故答案为：（x+3）（x-3）.
17. 一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为______ ．
【答案】##6厘米
【解析】
【分析】根据已知的扇形的圆心角为，它所对的弧长为，代入弧长公式即可求出半径．
【详解】解：由扇形的圆心角为，它所对的弧长为，
即，，
根据弧长公式，
得，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式，理解弧长公式中各个量所代表的意义．
18. 某校九年级数学模拟测试中，六名学生的数学成绩如下表所示，这组数据的中位数是_________．
姓名 小红 小明 小东 小亮 小丽 小华
成绩（分）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了中位数；中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义，即可求解．
【详解】解：这组数据的中位数是，
故答案为：．
19. 如图，要使，需要补充一个条件可以是____________．（只需要填写一个即可）
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理进行解答即可．
【详解】解：可添加条件：．
证明如下：
∵，，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共62分）
20. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊的三角函数，负整指数幂和零指数幂，掌握相关运算规则是解题的关键．根据负整指数幂；非零的0次幂等于1；特殊三角函数值；绝对值的意义；化简求值即可．
【详解】解：原式
．
21. 已知：如图，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定，先证明，再利用证明即可．
【详解】证明：∵，，，
∴，
，
∴．
22. 端午节是我国首个入选世界非物质文化遗产的传统节日，吃粽子是端午节的习俗之一，某超市每盒豆沙粽的进价比每盒肉粽的进价便宜10元，用6000元购进豆沙粽的盒数和用8000元购进肉粽的盒数相同．求每盒豆沙粽、肉粽的进价各为多少元？
【答案】30元，40元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，解此题的关键是根据题意列出分式方程，注意分式方程要检验．根据用6000元购进豆沙粽的盒数和用8000元购进肉粽的盒数相同的数量关系列分式方程，求解即可．
【详解】解：设每盒豆沙粽的进价为元，则每盒肉粽的进价为元，
依题意得：.
方程两边乘得
.
解得：，
检验：当时，.
所以，原分式方程的解为.
∴
答：每盒豆沙粽的进价为30元，每盒肉粽的进价为40元．
23. 甲、乙两名同学玩一个游戏：将正面分别写着数字，0，1，2的四张卡片（注：这四张卡片的形状、大小质地、颜色等其它方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这四张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，甲从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为；再把剩下的三张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，乙从这三张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，若，则甲获胜；否则乙获胜．
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【答案】（1）所有可能出现的结果有12种
（2）公平，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了用列举法求等可能事件的概率，掌握用列表法或画树状图法求等可能事件的概率是解题的关键．
（1）用用列表法或画树状图法，即可求出答案；
（2）分别求出甲、乙获胜的概率，即得答案．
【小问1详解】
（1）方法一：由题意可列表如下，
0 1 2
0
1
2
由表可知，可能出现的等可能结果共有12种；
方法二，画树状图如下：
可能出现的等可能结果共有12种；
【小问2详解】
这个游戏公平，理由如下：
由列表（或树状图）可知，共用12种等可能的结果，
的情况有6种，
P（甲获胜）
∵的情况有6种，
P（乙获胜），
这个游戏对双方公平．
24. 如图，在中，的角平分线交于点D，，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，且，求四边形的面积．
【答案】（1）菱形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．
（1）首先可根据，判定四边形是平行四边形，然后根据平分，可得，进而得到，由此可判定四边形是菱形；
（2）根据题意可得四边形是正方形，求出，可求得四边形的面积．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；
小问2详解】
解：，
菱形是正方形，
，
在中，，
四边形的面积为∶．
25. “让农业成为有奔头产业，让农民成为有吸引力的职业，让农村成为安居乐业的家园．”习近平总书记的话语寄托着对乡村振兴的殷切期望．某驻村干部指导农户进行奶油草莓种植和直播电商销售，通过直播电商销售将当地种植的奶油草莓销往全国各地，从而增加农民收入，助力乡村振兴．已知奶油草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，某天奶油草莓的销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足的函数图象如图所示．
（1）根据图象信息，求与的函数关系式；
（2）求这一天销售奶油草莓获得的最大利润．
【答案】（1）
（2）3840元
【解析】
【分析】本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值．
（1）分为和求解析式；
（2）根据“利润（售价成本）销售量”列出利润的表达式，再根据函数的性质求出最大利润．
【小问1详解】
解：当时，设，
则，解得：，
当时，，
当时，，
．
【小问2详解】
设利润为，则：
当时，，
开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
时，，
当时，，
随的增大而增大，
时，，
，
最大利润为3840元．
26. 如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据，得出，由，得出，根据已知条件得出，证明，结合已知条件可得，即可得证；
（2）连接，根据已知条件得出，，得出，证明，得出，，进而求得，，根据，求得，进而即可求解．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∵
∴
∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，
∵，，
设，则
∴，
∴，
即
解得：，
∵，
∴
∵
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴,，
∴，
∴，
解得：，
∴
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵,
,
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
27. 如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
（3）如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）四边形是平行四边形，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）作交抛物线于点，垂足为，连接，，由点在上，可知，，连接，得出，则，当时，，进而得出，然后证明，即可得出结论；
（3）由题意得，，连接．在上方作，使得，，证明，根据得出的最小值为，利用勾股定理求得，即可得解．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
四边形是平行四边形．
理由：如图1，作交抛物线于点，垂足为，连接，．
∵点在上，
∴，，
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问3详解】
如图2，由题意得，，连接．
在上方作，使得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴（当，，三点共线时最短），
∴的最小值为，
∵，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．2024年云南省初中学业水平考试
数学预测冲刺卷（六）
（全卷三个大题，共27个小题，满分：100分，考试时间：120分钟）
一、单选题（本大题共有15个小题，每个小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1. 公元3世纪，我国古代数学家刘徽在《九章算术》注中，给出了负数的完整定义：“今两算得失相反，要令正负以名之．”这句话的意思是，在计算过程中，遇到具有相反意义的两数，以正数和负数来区分它们．若向北走30米记作米，则向南走50米可记作（ ）
A. 米 B. 0米 C. 50米 D. 80米
2. 下列几何体中，主视图是圆的是（ ）
A B. C. D.
3. 早上在昆明吃米线，下午到西双版纳看孔雀，晚上到老挝万象逛夜市，“一日跨境游”的设想，自中老铁路开通后得以实现．从2023年4月13日中老铁路国际旅客班列开行以来，已有10万余名游客实现坐着动车去老挝的跨境旅行．2024年春节假期，有5400余名旅客乘坐中老铁路国际旅客列车出入境中国．其中数据5400用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知与轴交于点O，若，则的面积与的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，两直线，被直线所截，已知，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
9. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
10. 反比例函数的图象位于（ ）
A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限
11. 如图，在中，分别是边中点，若，则的长为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
12. 中华文化源远流长，中华诗词寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况．随机选取其中200名学生的海选比赛成绩（总分100分）作为样本进行整理，200名学生的海选成绩统计表如下，规定海选成绩不低于90分记为“优秀”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优秀”的学生大约有（ ）
组别 海选成绩 人数
A组 10
B组 30
C组 40
D组 50
E组 70
A. 500 B. 600 C. 700 D. 800
13. 两个连续的自然数的平方和为25，设这两个连续自然数中较小的一个自然数为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A B.
C. D.
14. 如图，为的直径，是上的一点，若，的度数为（ ）
A. B. C. D.
15. 为正整数，且，则的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
16. 分解因式：x2－9＝______．
17. 一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为______ ．
18. 某校九年级数学模拟测试中，六名学生的数学成绩如下表所示，这组数据的中位数是_________．
姓名 小红 小明 小东 小亮 小丽 小华
成绩（分）
19. 如图，要使，需要补充一个条件可以是____________．（只需要填写一个即可）
三、解答题（本大题共8个小题，共62分）
20. 计算：．
21. 已知：如图，．求证：．
22. 端午节是我国首个入选世界非物质文化遗产传统节日，吃粽子是端午节的习俗之一，某超市每盒豆沙粽的进价比每盒肉粽的进价便宜10元，用6000元购进豆沙粽的盒数和用8000元购进肉粽的盒数相同．求每盒豆沙粽、肉粽的进价各为多少元？
23. 甲、乙两名同学玩一个游戏：将正面分别写着数字，0，1，2的四张卡片（注：这四张卡片的形状、大小质地、颜色等其它方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这四张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，甲从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为；再把剩下的三张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，乙从这三张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，若，则甲获胜；否则乙获胜．
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
24. 如图，在中，的角平分线交于点D，，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，且，求四边形的面积．
25. “让农业成为有奔头产业，让农民成为有吸引力的职业，让农村成为安居乐业的家园．”习近平总书记的话语寄托着对乡村振兴的殷切期望．某驻村干部指导农户进行奶油草莓种植和直播电商销售，通过直播电商销售将当地种植的奶油草莓销往全国各地，从而增加农民收入，助力乡村振兴．已知奶油草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，某天奶油草莓的销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足的函数图象如图所示．
（1）根据图象信息，求与的函数关系式；
（2）求这一天销售奶油草莓获得的最大利润．
26. 如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
27. 如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
（3）如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．