2024年九年级数学中考二轮复习《圆综合》专题提升训练（含解析）

2024年春九年级数学中考二轮复习《圆综合》专题提升训练（附答案）
一、单选题
1．如图，是等边的外接圆，若，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
2．已知过正方形顶点，，且与相切，若正方形边长为，则圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，为半圆的直径，、、、是上的五等分点，为直径上的任意一点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA， 垂足为D．且DC＋DA＝12， ⊙O的直径为20，则AB的长等于( )
A．8 B．12 C．16 D．18
5．如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是的一条弦，点是上一动点，且，点、分别是、的中点，直线与交于、两点，若的半径为7，则的最大值为（ ）
A．9 B．10.5 C．11 D．11.5
7．如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为( )
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，是的直径，是的弦，、的延长线交于点．若，，则的度数为 ．
9．如图，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为上一动点，Q为弦上一点，，若点D的坐标为，则的最小值为 ．
10．如图，已知半圆的直径，沿弦翻折，翻折后的与直径相切于点D，且，则折痕的长度是 ；

11．如图，已知为等腰三角形的外接圆，为劣弧上一点，连接交于点，若，则的值为 ．
12．如图，线段是的直径，弦于点，点是弧上任意一点(不与，重合)，，．延长线段交的延长线于点，直线交于点，连结交于点，则 ， ．
13．如图，是的直径，是的弦，，垂足为，，，点为圆上一点，，将沿弦翻折，交于点，图中阴影部分的面积 ．
14．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD＋PC的最小值为 ；PD＋4PC的最小值为 ．
三、解答题
15．如图，有两个同心半圆和半圆，其中半圆固定不动，半圆绕圆心O沿顺时针方向转动一周，连接、，转动过程中，半圆与线段的交点记为点H，若．
(1)求证：；
(2)在转动过程中，求面积的最大值；
(3)当与半圆相切时，求弧的长．
16．如图，是圆O直径，C，D两动点在直径同侧，连接，作射线，交的延长线于点H．
(1)求证：．
(2)已知，
①若，求的长．
②若，，求y关于x的关系式，并求出四边形周长的最大值．
17．如图所示，已知，是的直径，是延长线的一点，的弦交于点，且，．

(1)如图，求证：是的切线；
(2)在图，连接，，若，求的值；
(3)如图，连接交于点，过作于点，若，，求的长．
18．圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形．
(1)如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，则________；
(2)如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，求的长；
(3)如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，试确定与的函数关系式，并求出的最大值．
19．已知：是的外接圆，连接并延长交于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点是弧上一点，连接，于点，且，求的值；
(3)在（2）的条件下，若，，求线段的长．
20．抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为．
(1)若，求三点的坐标；
(2)如图1，若，求的值；
(3)如图2，过点C作交抛物线于另一点E，以CE为直径作，求证：直线与相切．
参考答案
1．解：∵是等边三角形，
∴，
如图所示，连接，过点作于，
∵是等边的外接圆，，
∴，平分，是弦的垂直平分线，
∴，
∴在中，，
设，则，
∴，即，解得，（舍去），，
∴
∴的半径是，
故选：．
2．解：如图，作于点，连接，设圆的半径是，
则在直角中，，，
，
，
解得．
故选：B．
3．解：如图所示，连接，，，
∵、、、是上的五等分点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴和是等底等高，，
∴半径
∴，
故选：．
4．解：过O作OF⊥AB，垂足为F，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC=FD，OF=CD，
∵DC+DA=12，
设AD=x，则OF=CD=12-x，
∵⊙O的直径为20，
∴DF=OC=10，
∴AF=10-x，
在中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2，
即（10-x）2+（12-x）2=102，
解得：（不合题意，舍去） ，
∴AD=4，
∴OF=8，
∴ ，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=12．
故选：B
5．解：如图所示，作点关于的对称点，连接，交于于点，此时的值最小，即，
连接，
∵点在上，，为弧的中点，
∴，
，
∴，
∴，
∵是的半径，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的最小值为，
故选：．
6．解：连接，，
，
，
是等边三角形，
，
当为的直径时，有最大值．
当为直径时，点与点重合，
也是直径，．
是直径上的圆周角，
，
，
．
点、分别为、的中点，
，
．
故选：B．
7．解：连接，．
，
点的坐标为，
令，则，
解得，，，
，，
，
∴，
∴轴．，
∴点在上，
∵，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹是以为直径的半圆，
点运动的路径长是．
故选：D
8．解：如图所示，
连接，
∵是的直径，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴．
故答案为：．
9．解：
连接，过Q作，交于M，以M为圆心，为半径作圆，连接交于，
∴，
∵，
∴，
∵D的坐标是，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴P，
∴，
∴，
∴Q在M上，
∴当Q与重合时，最小，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
10．解：设折叠后的圆弧所对的圆心为，连接，，，与交于点M，如图所示：
，
∴与互相垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
以点为圆心的圆半径也是2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即折痕的长为，
故答案为：．
11．解：过点分别作，，垂足分别为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，
在中，，
由勾股定理得，，
即，
，
，
，
由勾股定理得，，
设，则，
在和中，
，
解得，即，
，
，
，
即，
，
，
设，则，
在和中，
，
即，
解得，即，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
故答案为：．
12． 解：连接．
，
，
设，则，
在中，
，
，
，即；
连接．
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴
∴
即，
，
故答案为：
13．解：如图，连接，将阴影部分沿翻折，点的对应点为，过点作于点，
为的直径，，，
，
∵，，垂足为，
设的半径为，则，
∴，解得：或（舍去），
，即的半径是，
连接，则，
，
过点作于点，
∴，
∴，即，
即图中阴影部分的面积是：．
故答案为：．
14． 解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1，连接PE，DE，
∵PB2＝4，BE BC＝4，
∴PB2＝BE BC，
∴，
∵∠PBE＝∠CBP，
∴△PBE∽△CBP，
∴，
∴，
∵PE+PD≤DE，
在Rt△DCE中，，
∴的最小值为5．
②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得，连接EC，作EF⊥BC于F，
∵，，
∴BP2＝BE BD，
∴，
∵∠PBE＝∠PBD，
∴△PBE∽△DBP，
∴，
∴，
∴，
∵PE+PC≥EC，
在Rt△EFC中，，，根据勾股定理得，
∴，
∴的最小值为：，
故答案为5，．
15．（1）证明：∵两个半圆圆心为，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
（2），只有h取到最大值，面积最大，h为点A到的距离，
当，点A到的距离最大为，如图，
此时面积最大．
∵
∴，，
∴，，
∴．
（3）当与半圆相切时，，如下图：
在中，
，
∴，
∴，
∴，
当B在左侧时，如下图，
∵与半圆相切，
∴
在中，
，
∴，
∴，
∴
综上，弧长或．
16．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：①连接，
又∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是圆O的内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，，
∴，
∴.
②∵，
∴，即，
∴，
∴.
四边形周长，
，
当时，四边形周长的最大值为.
17．（1）证明：∵是的直径，的弦交于点，且，
，即，
∵，是圆的直径，
，
又，
，
，
又是半径，
是的切线；
（2）解：∵是圆的直径，

，
又，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
设半径为，
又，，
，
解得：，
，，
，
∴，
于点，，
，
又，
，
，
设：，则，，
∵，
∴，
∴，
则，
即：，
解得：，
，，
在中，
．
18．（1）解：∵，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵为的直径，，，
∴，
①当时，连接，如图：
∵，为的直径，
∴，
∴，垂直平分．
∴
∴；
②当时，连接，过点作，交于点．如图：
此时为等腰直角三角形，．
在中，∵，，
∴
∴
在中，∵，，
∴，
∴．
综上可知，或；
（3）如图，连接，．
∵，，
∴垂直平分
∵为中点，
∴为的中位线，有，．
设，
则，，，
在中，
在中，
于是有：
整理得，，
∴
当时，
19．（1）证明：连接，如图所示：
，，
，即，
，
，
，而，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设与交于点，如图所示：
，且，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，即，
，即，
，
；
（3）解：过作于，连接，如图所示：
由（1）知，由（2）知，
，
，
是等腰直角三角形，即，
设，则，
，，
，
，即，解得，
在等腰中，，
，
在中，由勾股定理可得．
20．（1）解：当，抛物线解析式为，
令，解得，
∴，
令，则，
解得：，
∵在的左侧，
∴，；
（2）解：∵，
令，解得，
∴，
设，，
∴是方程的两根，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
过点作，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
即，
，
解得：，
∵，
∴，
（3）如图，连接，，
∵，
∴对称轴为直线，
令，则，
解得：，
∴，
∵，是的直径，
∴，
∴的半径为，
∴，
∴是的半径，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，，
∴ ，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴是的切线．