（全国通用）2024年中考数学一轮复习综合检测卷 （原卷+解析卷）

（全国通用）2024年中考数学一轮复习综合检测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·江苏连云港·中考真题）实数的相反数是（ ）
A． B． C． D．6
2．（2023·海南·中考真题）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·四川甘孜·中考真题）“绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放牧问题，投入资金实施湿地生态效益补偿，完成季节性限牧还湿万亩，使得湿地生态环境状况持续向好．其中数据万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东临沂·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．．
5．（2023·天津·中考真题）若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点E在上，边、分别交于点H、K，若，则等于（ ）．

A． B． C． D．
7．（2023·西藏·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ）

A． B． C．或 D．
9．（2023·内蒙古·中考真题）如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（ ）

A． B． C． D．
10．（2023·山东聊城·中考真题）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
二、填空题（本题共6个小题；每个小题3分，共18分，把正确答案填在横线上）
11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
12．（2023·湖南永州·中考真题）甲、乙两队学生参加学校仪仗队选拔，两队队员的平均身高均为，甲队队员身高的方差为，乙队队员身高的方差为，若要求仪仗队身高比较整齐，应选择 队较好．
13．（2023·陕西·中考真题）点是菱形的对称中心，，连接，则的度数为 ．
14．（2023·山东潍坊·中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．

15．（2023·湖南娄底·中考真题）若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移 米（请用关于a的代数式表示），才能使得这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．

16．（2023·江苏·中考真题）在四边形中，为内部的任一条射线（不等于），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，则面积的最大值是 ．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21、22、23题每小题8分，第24、25题每小题11分，共72分，解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023·四川德阳·中考真题）计算：
18．（2023·湖北襄阳·中考真题）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，）

19．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
20．（2023·河南·中考真题）如图，中，点D在边上，且．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．
21．（2023·青海·中考真题）为更好引导和促进旅游业恢复发展，深入推动大众旅游，文化和旅游部决定开展2023年“5·19中国旅游日”活动.青海省某旅行社为了解游客喜爱的旅游景区的情况，对“五一”假期期间的游客去向进行了随机抽样调查，并绘制如下不完整的统计图，请根据图1，图2中所给的信息，解答下列问题：

(1)此次抽样调查的样本容量是______；
(2)将图1中的条形统计图补充完整；
(3)根据抽样调查结果，“五一”假期期间这四个景区共接待游客约19万人，请估计前往青海湖景区的游客约有多少万人；
(4)若甲、乙两名游客从四个景区中任选一个景区旅游，请用树状图或列表法求出他们选择同一景区的概率.
22．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，四边形是平行四边形，连接，交于点，平分交于点，平分交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)若四边形是菱形且，，求四边形的面积．
23．（2023·江苏盐城·中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．
(1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．
(2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．
24．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点、，其中点的横坐标为，点的横坐标为1，抛物线过点、．过作轴交抛物线另一点为点．以、长为边向上构造矩形．

(1)求抛物线的解析式；
(2)将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．
①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②直线交抛物线于点，交抛物线于点．当点为线段的中点时，求的值；
③抛物线与边、分别相交于点、，点、在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标．如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点．过作轴交抛物线另一点为点．以长为边向上构造矩形．
25．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知，是半径为1的的弦，的另一条弦满足，且于点H（其中点H在圆内，且）．

(1)在图1中用尺规作出弦与点H（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)连结，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度；
(3)如图2，延长至点F，使得，连结，的平分线交的延长线于点P，点M为的中点，连结，若．求证：．（全国通用）2024年中考数学一轮复习综合检测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·江苏连云港·中考真题）实数的相反数是（ ）
A． B． C． D．6
【答案】D
【分析】根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变前面的符号，即可得的相反数．
【详解】解：的相反数是6．
故选：D．
2．（2023·海南·中考真题）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意得：
这个几何体的俯视图是： ，
故选：C．
3．（2023·四川甘孜·中考真题）“绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放牧问题，投入资金实施湿地生态效益补偿，完成季节性限牧还湿万亩，使得湿地生态环境状况持续向好．其中数据万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：万，
故选：C．
中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2023·山东临沂·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．．
【答案】D
【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项正确，符合题意；
故选D．
5．（2023·天津·中考真题）若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
6．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点E在上，边、分别交于点H、K，若，则等于（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
7．（2023·西藏·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可作答．
【详解】，
解不等式，得：；
解不等式，得：；
即不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：

故选：C．
8．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ）

A． B． C．或 D．
【答案】A
【详解】
解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，
依题意得：
解得：，（不合题意，舍去），
∴小路宽为．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2023·内蒙古·中考真题）如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵小正方形的面积为，大正方形的面积为25，
∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，
设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，其中，
∴，其中，
解得：，，
∴，
故选：D.
10．（2023·山东聊城·中考真题）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】A
【详解】解：方程两边都乘以，得：，
解得：，
∵，即：，
∴，
又∵分式方程的解为非负数，
∴，
∴，
∴的取值范围是且，
故选：A．
二、填空题（本题共6个小题；每个小题3分，共18分，把正确答案填在横线上）
11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】且
【详解】解：依题意，
∴且，
故答案为：且．
12．（2023·湖南永州·中考真题）甲、乙两队学生参加学校仪仗队选拔，两队队员的平均身高均为，甲队队员身高的方差为，乙队队员身高的方差为，若要求仪仗队身高比较整齐，应选择 队较好．
【答案】甲
【详解】∵，
∴，
∴估计这两支仪仗队身高比较整齐的是甲，
故答案为：甲．
13．（2023·陕西·中考真题）点是菱形的对称中心，，连接，则的度数为 ．
【答案】62°
【详解】解：如图，连接，

点是菱形的对称中心，，
点是菱形的两对角线的交点，
，，
．
故答案为：．
14．（2023·山东潍坊·中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．

【答案】/
【详解】解：如图，过作于，交于，
则，，，，
∴，

∵，
∴，
∴，
∴，解得：，经检验符合题意；
∴（米）；
故答案为：
15．（2023·湖南娄底·中考真题）若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移 米（请用关于a的代数式表示），才能使得这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．

【答案】
【分析】由第一次操作可得：，则，设第二次操作时每位同学向后移动了x米，可得，解得，再代入化简即可．
【详解】解：由第一次操作可得：，
∴，
设第二次操作时每位同学向后移动了x米，则
，
∴，
故答案为：
16．（2023·江苏·中考真题）在四边形中，为内部的任一条射线（不等于），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，则面积的最大值是 ．

【答案】
【详解】解：如图所示，连接，

∵点关于的对称点为，
∴，
∵，
∴在半径为的上，
在优弧上任取一点，连接,
则，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
当取得最大值时，面积最大，
∵在上运动，则最大值为，
则面积的最大值是．
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21、22、23题每小题8分，第24、25题每小题11分，共72分，解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023·四川德阳·中考真题）计算：
【答案】4
【详解】解：
．
18．（2023·湖北襄阳·中考真题）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，）

【答案】铜像的高度是；
【详解】解：由题意得：，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴铜像的高度是；
19．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】 ；
【详解】原式
,
当 时,
原式 ．
20．（2023·河南·中考真题）如图，中，点D在边上，且．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，

（2）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
21．（2023·青海·中考真题）为更好引导和促进旅游业恢复发展，深入推动大众旅游，文化和旅游部决定开展2023年“5·19中国旅游日”活动.青海省某旅行社为了解游客喜爱的旅游景区的情况，对“五一”假期期间的游客去向进行了随机抽样调查，并绘制如下不完整的统计图，请根据图1，图2中所给的信息，解答下列问题：

(1)此次抽样调查的样本容量是______；
(2)将图1中的条形统计图补充完整；
(3)根据抽样调查结果，“五一”假期期间这四个景区共接待游客约19万人，请估计前往青海湖景区的游客约有多少万人；
(4)若甲、乙两名游客从四个景区中任选一个景区旅游，请用树状图或列表法求出他们选择同一景区的概率.
【答案】(1)200
(2)见详解
(3)6.65万
(4)
【详解】（1）解：此次抽样调查的样本容量为；
故答案为：200；
（2）解：组的人数为（人，
条形统计图补充为：

（3）解：（万，
所以估计前往青海湖景区的游客约有6.65万人；
（4）解：画树状图为：

共有16种等可能的结果，其中两人选择同一景区的结果数为4，
所以他们选择同一景区的概率．
22．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，四边形是平行四边形，连接，交于点，平分交于点，平分交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)若四边形是菱形且，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
．
（2）解：由（1）知，
，
四边形是菱形，
，，，
四边形的菱形，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
四边形的面积．
23．（2023·江苏盐城·中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．
(1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．
(2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．
【答案】(1)甲商店硬面笔记本的单价为16元
(2)乙商店硬面笔记本的原价18元
【详解】（1）解：设硬面笔记本的单价为x元，则软面笔记本的单价为元，根据题意得
，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
故甲商店硬面笔记本的单价为16元；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元，
由题意可得，
解得，
根据题意得，
解得，
为正整数，
，，，，，分别代入，
可得，，，，，
由单价均为整数可得，
故乙商店硬面笔记本的原价18元．
24．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点、，其中点的横坐标为，点的横坐标为1，抛物线过点、．过作轴交抛物线另一点为点．以、长为边向上构造矩形．

(1)求抛物线的解析式；
(2)将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．
①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②直线交抛物线于点，交抛物线于点．当点为线段的中点时，求的值；
③抛物线与边、分别相交于点、，点、在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标．如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点．过作轴交抛物线另一点为点．以长为边向上构造矩形．
【答案】(1)
(2)①；②；③或
【详解】（1）
根据题意，点的横坐标为，点的横坐标为1，代入抛物线，
当时，，则，
当时，，则，
将点，代入抛物线，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）
①轴交抛物线另一点为，
当时，，
，
矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．
，，
整理得，
，，
，
；
②如图，

，，
，
，
，
由①可得，，
，的横坐标为，分别代入，，
，，
，
的中点坐标为，
点为线段的中点，
，
解得或（大于4，舍去）．
③如图，连接，过点作于点，

则，
，
，
设，则，，
将点代入，
得，
解得，
当，，
，
将代入，
解得，
或．
25．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知，是半径为1的的弦，的另一条弦满足，且于点H（其中点H在圆内，且）．

(1)在图1中用尺规作出弦与点H（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)连结，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度；
(3)如图2，延长至点F，使得，连结，的平分线交的延长线于点P，点M为的中点，连结，若．求证：．
【答案】(1)作图见解析
(2)线段是定长，长度不发生变化，值为
(3)证明见解析
【详解】（1）解：如图1，、点即为所求；

（2）当弦的长度发生变化时，线段的长度不变；
如图2，连结，连接并延长交于，连结，，过作于，于，则四边形是矩形，

∵，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴线段是定长，长度不发生变化，值为；
（3）证明：如图3，延长、，交点为，

∵，
∴点H为的中点，
又∵点M为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
如图3，作的外接圆，延长交外接圆于点，连结、，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．