广东省清远市2023-2024高一下学期4月期中测试数学试题（含解析）

2024 年高一期中数学测试答案
1.【答案】B
2
【详解】由题意可知： 1 i 12 1 2 ，
由 z 1 i 21 i 2 z 2 1 i 2 2 ，可得 i .故选：B.
1 i 1 i 1 i 2 2
2. 【答案】A
r
【详解】因为b (1, 1)， c (4,5)，所以b c

1, 1 4,5 4 1,5 1 ，
a

又 (1,2) a

且 与b c 垂直，所以 a b c 1 4 1 2 5 1 0 ，解得
1 .故选：A
14
3. 【答案】B
【详解】对于 A：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，
所以该四棱柱不一定是正方体，故 A错误；
对于 B：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故 B正确；
对于 C：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，
以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何
体，故 C错误；
对于 D：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故 D错误；故选：B.
4.【答案】C

【详解】解： AF AE EF 1 AC 2 1 2 EB AC (AB AE)
2 3 2 3
1 2 1 1
AC AB AC AC 2 BA
2 3 3 6 3
1
(BC BA) 2 5 1 BA BA BC . 故选：C.
6 3 6 6
5. 【答案】D
【详解】如图过 D 作DE O B ，
由等腰梯形 A B C D 可得：△A D E是等腰直角三角形，
1
即 A D 2A E 4 2 2 2 ,即 B错误；
2
还原平面图为下图，
1
{#{QQABZYAQggCgQIAAABgCUQFyCgEQkACACCoGRBAEMAABiRFABAA=}#}
即 AB 4 2CD, AD 2 2，即 A错误；过 C作 CF⊥AB，由勾股定理得CB 2 3 ，
故四边形 ABCD的周长为： 4 2 2 2 2 3 6 2 2 2 3 ，即 C错误；
1
四边形 ABCD的面积为： 4 2 2 2 6 2 ，即 D正确.故选：D
2
6. 【答案】A

【详解】∵ AB 4， AD 2， AB AD 4，∴ AB AD cosA 4，
即 cos A 1 π，即 A ，以A 为原点，以 AB 所在的直线为 x轴，以 AB 的垂线为 y轴，
2 3
建立如图所示的坐标系，∴ A 0,0 ， B 4,0 ，D 1, 3 ，C 5, 3 ，
设 P x, 3 1 x 5 ，∴ PA x, 3 ,PB 4 x, 3 ，

∴ PA PB x x 4 3 x2 4x 3 x 2 2 1，
设 f x x 2 2 1，∴ f x 在 1,2 上单调递减，在 2,5 上单调递增，
∴ f x min f 2 1， f x

f 5 8，则 PA PB的取值范围是 1,8 .故选：A.
7. 【答案】D
【详解】因为函数 f x tan x 与 x轴交于 A，B两点，且线段 AB长度的最小值为
π
，可得函数 f x π 2π的最小正周期为T ，所以 3，所以 f x tan 3x ，
3 3 T
π π
将函数 f x 的图象向左平移 个单位长度，得到 g x tan(3x )，
12 4
g x π kπ又因为 为奇函数，可得 ,k Z，即 π kπ ,k Z，
4 2 4 2
因为0 k 0 π
3π
，当 时，可得 ；当 k 1时，可得 ，
4 4
π 3π所以 的值为 或 .故选：D.
4 4
8. 【答案】B
【详解】在△ACF中， AFC 180 60 120 ，设 AF CE t，则CF 2 t，
t AC
AF AC 7
由正弦定理可知， ，即
sin ACF sin AFC 3 3 3 ，则 AC t，3
14 2
2 2 2
在△ACF中， AC | AF | |CF | 2 AF CF cos AFC，
2
{#{QQABZYAQggCgQIAAABgCUQFyCgEQkACACCoGRBAEMAABiRFABAA=}#}
49 t 2 t 2 2 t 2 2t t 2 1 ，又 t 0，则 t 3，故 AC
7
t 7，
9 2 3
故选：B.
9. 【答案】AC
【详解】因为 sin x sin x 0 f x f x 0，故 A正确；
正弦函数的对称中心为 kπ,0 k Z ，故 B错误；
g x sin 3x π 根据三角函数的图象变换可得： ，
4
3x π π kπ x π kπ π kπ令 ，故其对称轴为 x k Z ，若 x π1 x2 ，由4 2 4 3 4 3 2
对称性可得，显然 g x1 g x2 成立，故 C正确；
π π kπ π kπ
令3x kπ x k Z ，故其对称中心为 ,0 k Z ，4 12 3 12 3
π kπ π
显然无论 k取何值 ，故 D错误.故选：AC
12 3 6
10. 【答案】ACD
【详解】对于 A项：由题意可得： e2i cos2 i sin 2，则其对应的点为 cos2,sin 2 ，
∵ 2
π
, π

，则 cos2 0,sin 2 0，∴ e2i 对应的点位于第二象限，故 A项正确；
2
对于 B项：由题意可得： eπi cos π i sin π 1为实数，故 B项错误；
对于 C项：由题意可得：
exi cos x i sin x 3 i 3 cos x sin x cos x 3sin x i 1 sin x π i 1 cos x π
3 i 3 i 3 i 4 2 3 2 3
，
xi 2 2e 1
则 sin x π 1 π 1 cos x sin2 x π cos
2 x π 1
3 i 2 3 2 3 4 3 3
，故 C


2
π i π π 1 3
项正确；对于 D项：由题意可得： e 3 cos i sin i ，
3 3 2 2
3
{#{QQABZYAQggCgQIAAABgCUQFyCgEQkACACCoGRBAEMAABiRFABAA=}#}
π
则 i
1 3
e 3 的共轭复数为 i，故 D项正确；故选：ACD.2 2
11. 【答案】AD
a b c sin A sin B sinC
【详解】对于A选项，因为 ，由正弦定理可得 ，
cos A cosB cosC cos A cosB cosC
则 tan A tan B tanC ，因为 ABC至少有两个锐角，从而可得 tan A tan B tanC 0 ，
故 ABC y tan x 0, π 为锐角三角形，因为正切函数 在 上为增函数，故2 A B C，
所以， ABC为等边三角形，A对；
对于 B选项，因为 a cos A bcosB ，由正弦定理可得 sin Acos A sin BcosB，即
sin 2A sin 2B，因为A、B 0, π ，所以， sin A 0， sin B 0,
又因为A、 B中至少有一个为锐角，则 sin Acos A sin B cosB 0，则A、 B均为锐角，
所以， 2A、2B 0,π π，所以， 2A 2B或2A 2B π，即 A B或 A B ，2
ABC为等腰三角形或直角三角形，B错；
2
C 2 2 2 cosC a b
2 c2
对于 选项， a b c 0时，由余弦定理可得 0，
2ab
即C为锐角，但A、 B是否都是锐角，不能保证，
因此 ABC不一定是锐角三角形，C错；
对于 D选项，因为 tan A tanB tan A B 1 tan AtanB tanC 1 tan AtanB ，
所以 tan A tanB tanC tanC 1 tan AtanB tanC tan AtanBtanC 0，
由A、 B、C 0,π ，所以A、 B、C均为锐角，
所以 ABC为锐角三角形，所以 D正确．故选：AD．
π
12. 【答案】
3

【详解】由题意，可设向量 a ，b 的夹角为 ，

向量 a，b满足 b 2 a 2，
2 2 b 2 2 ， a 1，由 2a b 2，则 2a b 4a 4a b b 8 8cos 4，
1
解得： cos ，又0 π π π， ，故答案为： .
2 3 3
13. 【答案】12
【详解】设 ABC的面积为 a，底面 ABC水平放置时，液面高为 h，
4
{#{QQABZYAQggCgQIAAABgCUQFyCgEQkACACCoGRBAEMAABiRFABAA=}#}
侧面 AA1B1B
3 3
水平放置时，水的体积为V S ABC AA1 a 16 12a4 4
当底面 ABC水平放置时，水的体积为V S ABCh ah，于是ah 12a，解得h 12，
所以当底面 ABC水平放置时，液面高为 12.故答案为：12
14. 【答案】4
π
【详解】因为 ABC ， ABC的角平分线交 AC于点D，且 BD 3，
3
因为 S△ABC S△ABD S
1
△BCD ，即 ac sin
π 1
c BD sin π 1 a BD sin π ，
2 3 2 6 2 6
3 3 c a 1 1
即 ac c a ，即 ac a c，所以， 1，
4 4 ac a c
a c a c 1 1 c a c a所以， 2 2 2 4，
a c a c a c
当且仅当 a c 2时，等号成立，故 a c的最小值为4 .故答案为： 4 .
15. （13分）【答案】（1） 2, 1 或 2,1 5 （2） ,0 0,
7
【解析】【小问 1 详解】

由 a 1,2 ,b 3, 2 ，

所以 2a b 2,4 3, 2 1,2 ，…………………………1 分
设 c

x, y ，

因为 c 2a b ，

所以 c 2a b x 2y 0， …………………………2 分
因为 c 5，所以 x2 y2 5，…………………………3分
x 2 x 2
解得 ，或 ， …………………………5分
y 1 y 1
所以 c 的坐标为 2, 1 或 2,1 . …………………………6 分
【小问 2 详解】

由 a 1,2 ,b 3, 2 ，
5
{#{QQABZYAQggCgQIAAABgCUQFyCgEQkACACCoGRBAEMAABiRFABAA=}#}

所以 a b 1,2 3 , 2 1 3 ,2 2 ，…………………………7 分

因为 a与a b的夹角为锐角，

所以 a a b 0 且 a与 a b不同向， …………………………9 分
1 3 2 2 2 0
，…………………………11 分 2 1 3 2 2
5
解得 且 0， …………………………12 分
7

即实数 的取值范围为 ,0 0,
5
…………………………13 分
7
16.(15分） 【答案】（1）180 72 5cm2 （2）1344cm3
【解析】【小问 1 详解】
16 8 2
奖杯底座的侧面梯形的高分别等于 3
2 5cm和
2
24 12
2

3
2 3 5cm． …………………………4 分
2
12 24 5 8 16 3 5
故 S 2 2 180 72 5 cm2 ．…………………7 分侧 2 2
【小问 2 详解】
V V球 V V直四棱柱 四棱台 …………………………8 分
4 3
π 4 1 8 4 20 [12 8 16 24 (12 8) (16 24)] 3 ……………12 分3 2 3
32 640 672 1344cm 3 .…………………………15 分
4
17.（15 3 111分） 【答案】（1） t （2）
11 74
【解析】【小问 1 详解】
6
{#{QQABZYAQggCgQIAAABgCUQFyCgEQkACACCoGRBAEMAABiRFABAA=}#}
AG t AF t AB BF t AB 3t AD 2t AE 3t AD，4 4

又 D，G，E三点共线，则DG DE，

则 AG AD DG AD DE AD (AE AD ) AE 1 AD ，
3t
因为 AD， AE不共线，由平面向量基本定理，得 2t 且 1 ，4
解得 t 4 .…………………………7 分（此问也可用几何法求解可得）
11
【小问 2 详解】

取 AB， AD作为平面的一组基底，
1
则DE AE AD AB AD, AF AB BF AB 3 AD，
2 4

则 AB AD 4 4 cos60 8，
2
DE AF 1 AB AD AB 3 AD 1 AB 5
2
AB AD
3
AD
2 4 2 8 4
1 5 3
42 8 42 9 .
2 8 4
1
2
1 2 2DE AB AD AB AB AD AD 4 8 16 2 3，
2 4

2 2 2
AF AB
3
AD AB
3
AB AD 9 AD 16 12 9 37 ，
4 2 16

cos EGF cos DE, AF DE AF 9 3 111
2 3 37 74 …………………15 分DE AF
（此问也可建立平面直角坐标系，用坐标法求解）
3 2 2 1 18.（17分） 【答案】（1） （2） ,2
6 2
【解析】【小问 1 详解】
f x 3sin xcos x cos2 x 1 3 cos2x 1 1 π因为 sin2x sin 2x ，
2 2 2 2 6
…………………………2 分

所以 f sin
π 1 ，…………………………3 分
2 6 3
7
{#{QQABZYAQggCgQIAAABgCUQFyCgEQkACACCoGRBAEMAABiRFABAA=}#}
π π π又 0, ，则 ,

，…………………………4分
2 6 6 3
π
所以 cos 2 1 sin
π 2 2 ，…………………………5 分
6 6 3
sin sin π π sin π cos π cos π sin π又 ，………………7分
6 6 6 6 6 6
sin 1 3 2 2 1 3 2 2故 .…………………………8 分
3 2 3 2 6
【小问 2 详解】
f C sin C π 1 π π π π由 ，又C 0, , C ，
2 6 2 2 6 6 3
C π π C π所以 ，即 ．…………………………10 分
6 6 3
a b
由正弦定理 ，可得
sin A sin B
sin 2π B
a sinA 3 1 3 ，…………………………12 分
b sinB sinB 2 2tanB
因为 ABC是锐角三角形，
0 π B
2 π B π所以 ，即 ．…………………………14 分
0 2π π B 6 2
3 2
所以 tanB 3 3 , 3 0, ，…………………………16 分3 2tanB 2
a 1 3 1 a 1
所以 ,2

．即 的取值范围为 ,2 .…………………………17 分b 2 2tanB 2 b 2
uuur 5 3 2π
19.（17分）【答案】（1 2 21） （2） OC cos sin , 0 （3）1
2 21

3 3 3 9
【解析】【小问 1 详解】
在 AOB中，由余弦定理
8
{#{QQABZYAQggCgQIAAABgCUQFyCgEQkACACCoGRBAEMAABiRFABAA=}#}
AB2 1 OA2 OB2 2OA OB cos AOB 1 4 2 1 2

7 ，
2
即 AB 7 ，…………………………2分
2R AB 7 2 21
由正弦定理可得 sin AOB 3 3 .…………………………4 分
2
【小问 2 详解】
2π
连接 AC ，由题意可知 0, ，…………………………5分 3
在 AOC OA中，由正弦定理 2R，则
sin OCA
sin OCA OA 1 21
2R 2 21 14 ，…………………………6 分
3
且 OCA OBA为锐角，则
cos OCA 1 sin 2 OCA 5 7 ，…………………………7分，可得
14
sin OAC sin OCA sin OCAcos cos OCAsin 21 5 7 cos sin
14 14
uuur
|OC |
，…………………………8 分，由正弦定理 2R，可得
sin OAC
uuur
|OC | 2Rsin OAC 2 21
21 cos 5 7
5 3
sin cos sin ，………9 分3 14 14 3
uuur
所以 |OC |表示为 的函数为 |OC | cos
5 3
sin , 2π
3
0, .………………10 分 3
9
{#{QQABZYAQggCgQIAAABgCUQFyCgEQkACACCoGRBAEMAABiRFABAA=}#}
【小问 3 详解】
= + = + 1因为 = +
1 ( ) = 2 + 1 .………………11 分
3 3 3 3
2
所以 = + 1 ，…………………………12 分
3 3

因为 = 1， = 2， = cos + 5 3 sin ，OA与OC的夹角为 ，3


2
与OC的夹角为 -θ，3
1 5 3
所以 3sin cos cos sin …………………………13 分3 3
1
3 sin cos 5 3 sin 2π 3cos ，其中0 9 3
构建
f 3 sin cos 5 3 sin 3cos 15sin 2 8 3 sin cos 3cos 2
………………………………14 分
1 cos 2
3 12sin2 8 3sin cos 3 12 4 3 sin 2 ………………15 分2
2 7 21
9 4 3sin2 6cos2 9 2 21 sin 2 cos2 7 7
9 2 21sin 2 sin 21，其中 ,cos 2 7 π , 0,

，…………16 分7 7 2
π
当 2 ，即 时， f 取到最大值为
2 4 2 9 2 21
，
1 2 1
所以 x y f 1的最大值为 9 2 21 1 2 21 .…………………………17分3 3 9 9 9
10
{#{QQABZYAQggCgQIAAABgCUQFyCgEQkACACCoGRBAEMAABiRFABAA=}#}2024 年高一期中数学测试
满分：150 分.考试时间：120 分钟.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
z 1 i 1 i1. 已知复数 z满足 ， i为虚数单位，则 z （ ）
1 1
A. i B. 2 2 i C. i D. 2 2 i
2 2 2 2 2 2

2. 已知向量 a (1,2)， = (1, 1)，c (4,5) ．若 a与b c 垂直，则实数 的值为（ ）
1 4 4
A. B. C. 3 D.
14 7 11
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
4. 如图所示，点E为 ABC的边 AC的中点，F 为线段 BE 上靠近点 B

的三等分点，则 AF （ ）
1 2 4 2 5 1 2 BA BC BA BC BA BC BA 1

A. B. C. D. BC
3 3 3 3 6 6 3 3
5. 如图，四边形 ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形
A B C D ，已知 A B 4,C D 2，则下列说法正确的是（ ）
A. AB 2 B. A D 2 2
C. 四边形 ABCD的周长为 4 2 2 2 3 D. 四边形 ABCD的面积为 6 2

6. 已知平行四边形 ABCD中， AB 4, AD 2, AB AD 4，点 P在线段 CD上（不包含

端点），则 PA PB的取值范围是（ ）
A. 1,8 B. 0,8 C. [1,10) D. 0,10
7. 已知函数 f x tan x ( 0,0 )与 x轴交于 A，B两点，且线段 AB长
1
{#{QQABZYAQggCgQIAAABgCUQFyCgEQkACACCoGRBAEMAABiRFABAA=}#}
π π
度的最小值为 ，若将函数 f x 的图象向左平移 个单位后恰好为奇函数，则 的值为
3 12
π π 3π π 3π
（ ） A. B. C. D. 或
4 2 4 4 4
8. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，
后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用 3个全等的小三角形拼成了
3 3
如图所示的等边 ABC，若EF 2,sin ACF ，则 AC＝（ ）
14
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
1
9. 将函数 f (x) sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，再将所得
3
π
图象向右平移 是个单位长度后得到函数 g(x)的图象，则下列说法正确的是（ ）
12
π
A. 函数 f (x)

是奇函数 B. 函数 f (x)的一个对称中心是 ,0
2
π
C. 若 x1 x2 ，则 g x
π
g x 1 2 D. 函数 g(x)的一个对称中心是 ,02 6
10. 欧拉公式 e xi cos x i sin x是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义
域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地
位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）
A. e2i 对应的点位于第二象限 B. eπi为纯虚数
exi 1 πC. D. i 1 3的模长等于
3 i 2 e 3
的共轭复数为 i
2 2
11. 已知 ABC的内角A、B、C所对的边分别为 a、b、c，则下列四个命题中正确的命
题是（ ）
a b c
A. 若 ，则 ABC一定是等边三角形
cos A cosB cosC
B. 若a cos A bcosB ，则 ABC一定是等腰三角形
C. 若a2 b2 c2 0，则 ABC一定是锐角三角形
D. 若 tan A tanB tanC 0，则 ABC一定是锐角三角形
2
{#{QQABZYAQggCgQIAAABgCUQFyCgEQkACACCoGRBAEMAABiRFABAA=}#}
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.

12. 已知向量 a，b满足 b 2 a 2，2a b 2 ，则向量 a，b 的夹角为___________
13. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱 AA1 16．若侧面 AA1B1B水平放置时，
液面恰好过 AC,BC, A1C1,B1C1的中点．当底面 ABC水平放置时，液面高为__________．
π
14. 已知 ABC中，角A、B、C所对的边分别为 a、b、c， ABC ， ABC的角
3
平分线交 AC于点D，且 BD 3，则 a c的最小值为___．
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.

15.(13分）.已知平面向量 a 1,2 ,b 3, 2 ．

（1）若 c 2a b ，且 c 5，求 c的坐标；

（2）若a与a b的夹角为锐角，求实数 的取值范围．
16.（15分） 如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算：
（1）求下部四棱台的侧面积；
（2）求奖杯的体积（要求结果取整数）．（尺寸如图，单位： cm， π取 3）
3
{#{QQABZYAQggCgQIAAABgCUQFyCgEQkACACCoGRBAEMAABiRFABAA=}#}
17.（15分） 如图，在菱形 ABCD中， AB 4, BAD 60 ，E，F分别是边 AB，BC上

的点，且 AE EB， BF 3FC，连接 ED、AF，交点为 G．

（1）设 AG t AF ，求 t的值；
（2）求 EGF的余弦值．
18.（17分） 已知函数 f x 3 sin x cos x cos 2 x 1 ．
2
f 1 （1）若 ，且 0,
π
，求
2 3 sin 的值； 2
C 1 a
（2）在锐角 ABC中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，若 f ，求 的取
2 2 b
值范围．
2π
19.（17分） 如图，已知 |OA| 1,|OB | 2,OA与OB的夹角为 ，点 C是 ABO的外接3

圆优孤 AB上的一个动点（含端点 A，B），记OA与OC的夹角为 ．
（1）求 ABO外接圆的直径 2R；

（2）试将 |OC |表示为 的函数；
1 AM AB
（3）设点 M满足 3 ，求OC OM 的最大值．
4
{#{QQABZYAQggCgQIAAABgCUQFyCgEQkACACCoGRBAEMAABiRFABAA=}#}