2023-2024浙江省J12共同体联盟校七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省J12共同体联盟校七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（3分）如图，直线a，b被直线l所截，∠1与∠2是一对（　　）
A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角
2．（3分）下列各式是二元一次方程的是（　　）
A．x2﹣2y＝3 B． C．x+y＝3 D．x+2y＝3z
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x2+x3＝x5 B．x2 x3＝x5 C．（x2）3＝x5 D．（2x）3＝6x3
4．（3分）已知是关于x，y的二元一次方程2x﹣my＝10的一个解，则m的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4
5．（3分）古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉x元，每斤鱼y元，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，直线AM∥BN，把一块三角板如图放置，使直角顶点落在点A，30°的顶点恰好落在点B，若AM平分∠CAB，则∠1的度数为（　　）
A．135° B．125° C．120° D．105°
7．（3分）已知方程组，则2x+y＝（　　）
A．26 B．13 C．39 D．20
8．（3分）下列式子中，不能用平方差公式运算的是（　　）
A．（﹣x﹣y）（﹣x+y） B．（﹣x+y）（x﹣y）
C．（y+x）（x﹣y） D．（y﹣x）（x+y）
9．（3分）已知关于x，y的方程组有以下结论：①当k＝0时，方程组的解是；②当x+2y＝0，则k＝3；③不论k取什么实数，x+y的值始终不变．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．（3分）两个长为a，宽为b的长方形，按如图方式放置，记阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（　　）
A．a＝2b B．2a＝3b C．3a＝4b D．3a＝5b
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知方程2x+y＝5，若用含x的代数式表示y，则y＝　 　．
12．（3分）计算：2a2b 3a＝　 　．
13．（3分）如图，将一条长方形纸片沿AB折叠，已知∠DAB＝70°，则∠CBF＝　 　．
14．（3分）如图，将三角形ABC平移得到三角形A′B′C′，若图中阴影部分面积与所有空白部分面积之比为1：6，则阴影部分面积与三角形ABC面积的比值为 　 　．
15．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于n，y的二元一次方程组的解为 　 　．
16．（3分）如图，两条平行直线l1，l2被直线AB所截，点C位于两平行线之间，且在直线AB右侧，点E是l1上一点，位于点A右侧．小明进行了如下操作：连结AC，BC，在∠EAC平分线上取一点D，过点D作DF∥BC，交直线l2于点F．记∠ACB＝α，∠CBF＝β，∠ADF＝γ，则γ＝　 　（用含α，β的代数式表示）．
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或说理过程）
17．（6分）解下列二元一次方程组：
（1）；
（2）．
18．（6分）如图，在6×6的正方形方格纸中有一格点三角形ABC（即三角形的顶点都在格点上），D是方格纸中一格点．
（1）将三角形ABC平移后得到三角形DEF，使点A的对应点为D，在图中画出平移后的图形．
（2）三角形DEF是由三角形ABC先向 　 　平移 　 　个单位，再向上平移 　 　个单位得到．
19．（8分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x﹣y），其中x＝2，y＝1．
20．（8分）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠AEC．
（1）判断AB与CD是否平行，并说明理由．
（2）若GF∥CD，EF⊥AE，∠BAC＝4∠F，求∠FED的度数．
21．（10分）定义：任意两个数a，b，按规则c＝a2+b2﹣ab运算得到一个新数c，称c为a，b的“和方差数”．
（1）求2，﹣3的“和方差数”．
（2）若两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，求2a﹣2b的值．
（3）若a+b＝3，ab＝4，求a，b的“和方差数”c．
22．（10分）某校组织七年级350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人．
（1）A、B型车每辆可分别载学生多少人？
（2）若租一辆A型车需要1000元，一辆B型车需1200元，请你设计租车方案，使得恰好送完学生，并且租车费用最少？
23．（12分）如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2，EF为平面镜，AB，BC分别为入射光线和反射光线，则∠ABE＝∠CBF．请继续以下探究：
（1）探究反射规律
①如图3，∠ABE＝α，∠BFC＝105°，则∠DCG＝　 　（用含α的代数式表示）．
②若光线AB∥CD，判断EF与FG的位置关系，并说明理由．
（2）模拟应用研究
在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点D会高于反射点C（如图4），因此小亮认为反射光线CD应与水平视线DH成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线AB∥DH，当CD与DH所成夹角为15°时，求∠BFC的度数．
24．（12分）用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题：
（1）若要拼成一个长为3x+2，宽为x+3的长方形，则需要A型纸片 　 　张，B型纸片 　 　张，C型纸片 　 　张．
（2）现有A型纸片1张，C型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求B型纸片的张数．
（3）现有A，B，C三种型号的纸片共12张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为x+2，则需要三种纸片各多少张？（求出所有可能的情况）
2023-2024学年浙江省J12共同体联盟校七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．【分析】根据同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角判断即可．
【解答】解：∠1和∠2是同位角，
故选：A．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，能熟记同位角、内错角、同旁内角的定义的内容是解此题的关键，注意数形结合．
2．【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．方程x2﹣2y＝3是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．方程x﹣＝3是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C．方程x+y＝3是二元一次方程，故本选项符合题意；
D．方程x+2y＝3z是三元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义（只含有两个未知数，并且所含未知数的最高次数是1的整式方程叫二元一次方程）是解此题的关键．
3．【分析】A．先判断x2，x3是不是同类项，然后判断即可；
B．先根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
C．根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
D．根据积的乘方法则进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵x2，x3不是同类项，不能合并，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵x2 x3＝x5，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
C．∵（x2）3＝x6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D．∵（2x）3＝8x3，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键熟练掌握同底数幂相乘法则、积的乘方法则和幂的乘方法则．
4．【分析】把代入方程2x﹣my＝10得出2﹣2m＝10，再根据等式的性质求出方程的解即可．
【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程2x﹣my＝10的一个解，
∴2×1﹣2m＝10，
∴2﹣2m＝10，
∴﹣2m＝10﹣2，
∴﹣2m＝8，
∴m＝﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，能得出关于m的方程2﹣2m＝10是解此题的关键．
5．【分析】根据“77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵77元钱共买了10斤肉和3斤鱼
∴10x+3y＝77；
∵9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，
∴9x＝5y．
∴根据题意可列出方程组．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．【分析】由角平分线定义得到∠MAB＝∠CAB＝45°，由平行线的性质推出∠MAB+∠ABN＝180°，求出∠ABN＝135°，而∠ABC＝30°，即可得到∠1＝135°﹣30°＝105°．
【解答】解：∵AM平分∠CAB，
∠MAB＝∠CAB＝×90°＝45°，
∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠ABN＝180°，
∴∠ABN＝135°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠1＝135°﹣30°＝105°．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠MAB+∠ABN＝180°．
7．【分析】把方程组的两个方程的左右两边分别相加，可得6x+3y＝39，据此求出2x+y的值即可．
【解答】解：，
①+②，可得6x+3y＝39，
∴2x+y＝（6x+3y）÷3＝39÷3＝13．
故选：B．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，解答此题的关键是注意观察方程组的两个方程与所求问题之间的关系．
8．【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，判定即可．
【解答】解：A、（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝[﹣（x+y）][﹣（x﹣y）]＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，能用平方差公式运算，故此选项不符合题意；
B、（﹣x+y）（x﹣y）＝[﹣（x﹣y）]（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，不能用平方差公式运算，故此选项符合题意；
C、（y+x）（x﹣y）＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，能用平方差公式运算，故此选项不符合题意；
D、（y﹣x）（x+y）＝（y﹣x）（y+x）＝y2﹣x2，能用平方差公式运算，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查平方差公式，熟练掌握两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数，即可用平方差公式计算是解题的关键．
9．【分析】根据二元一次方程组的解法以及二元一次方程组解的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：①当k＝0时，原方程组变为，
①×3﹣②得，
5x＝﹣5，
解得x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①得，﹣2+y＝0，
解得y＝2，
所以方程组的解为，
因此①正确；
②当x+2y＝0，即x＝﹣2y代入原方程组可得，
，
即，
②代入①得，
k＝﹣15+6k，
解得k＝3，
因此②正确；
关于x，y的方程组将①代入②得，
x+3y＝5﹣2（2x+y），
即x+3y＝5﹣4x﹣2y，
所以5x+5y＝5，
即x+y＝1，
也就是说不论k取什么实数，x+y的值始终不变，
因此③正确，
综上所述，正确的结论有①②③．
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．
10．【分析】根据长方形的性质及三角形面积公式求出S2＝ab+b2，进而求出S1＝ab﹣b2，结合S2＝2S1求解即可．
【解答】解：根据题意得，S2＝ab+（a+b）b＝ab+b2，
∴S1＝2ab﹣（ab+b2）＝ab﹣b2，
∵S2＝2S1，
∴ab+b2＝2（ab﹣b2），
∴2a＝3b，
故选：B．
【点评】此题考查了三角形面积公式，熟记三角形面积公式是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．【分析】要用含x的代数式表示y，就要把方程中含有y的项移到方程的左边，其它的项移到方程的另一边．
【解答】解：2x+y＝5，
移项，得y＝5﹣2x．
故答案为：5﹣2x．
【点评】本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
12．【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：2a2b 3a＝6a3b．
故答案为：6a3b．
【点评】此题主要考查了单项式乘单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
13．【分析】先利用平行线的性质可得∠DAB＝∠1＝70°，再利用折叠的性质可得：∠1＝∠2＝70°，然后利用平角定义进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
∵AD∥BC，
∴∠DAB＝∠1＝70°，
由折叠得：∠1＝∠2＝70°，
∴∠CBF＝180°﹣∠1﹣∠2＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
14．【分析】由平移的性质得△ABC≌△A'B'C'，即可得出这两个三角形的面积相等，再证得上、下两个空白部分面积相等，结合已知条件即可求出阴影部分面积与三角形ABC面积的比值．
【解答】解：由平移的性质得△ABC≌△A'B'C'，
∴S△ABC＝S△A'B'C'，
记上半部分空白面积为S上，下半部分空白面积为S下，
∴S上＝S△ABC﹣S阴影，S下＝S△A'B'C'﹣S阴影，
∴S上＝S下，
∵阴影部分面积与所有空白部分面积之比为1：6，
∴设阴影部分面积为x，则所有空白部分面积为6x，
∴S上＝3x，
∴S△ABC＝S上+S阴影＝3x+x＝4x，
∴阴影部分面积与三角形ABC面积的比值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的面积，平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
15．【分析】将方程组化为，令x+3＝X，y﹣2＝Y，得，它的解为，从而求出x和y即可．
【解答】解：方程组可变为．
令x+3＝X，y﹣2＝Y，
则方程组可变为，
∴方程组的解为，
∴，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，将方程组化为与方程组系数相同的形式是本题的关键．
16．【分析】设∠DAE＝θ，则∠CAD＝∠DAE＝θ，∠CAE＝2∠EAD＝2θ，根据小明的操作有以下三种情况：①当点F在B的右侧，且D在12上方时，过点C作CM∥l1，证∠ACB＝∠CAE+∠CBF，同理∠D＝∠DAE+∠DFN，则α＝2θ+β，γ＝θ+β，由此可得出γ的度数；②当点F在B的左侧时，且D在12上方时，同理∠ACB＝∠CAE+∠CBF，∠D＝∠DAE+∠DFN，则α＝2θ+β，γ＝θ+β，由此可得出γ的度数；③当点D在直线l2的下方时，过点点D作TK∥l1，同理∠ACB＝∠CAE+∠CBF，则α＝2θ+β，证l1∥l2∥TK得∠ADT＝∠DAE＝θ，∠FDK＝∠BFD＝∠CBF＝β，根据∠ADT+∠ADF+∠FDK＝180°得θ+γ+β＝180°，由此可得出γ的度数．
【解答】解：设∠DAE＝θ，
∵AD平分∠EAC，
∴∠CAD＝∠DAE＝θ，∠CAE＝2∠EAD＝2θ，
根据小明的操作有以下三种情况：
①当点F在B的右侧，且D在12上方时，过点C作CM∥l1，如图1所示：
∵l1∥l2，
∴l1∥CM∥l2，
∴∠EAC＝∠ACM，∠CBF＝∠BCM，
又∵∠ACB＝∠ABM+∠BCM，
∴∠ACB＝∠CAE+∠CBF，
同理：∠D＝∠DAE+∠DFN，
∵DF∥BC，
∴∠DFN＝∠CBF，
∵∠ACB＝α，∠CBF＝β，∠ADF＝γ，
∴α＝2θ+β，γ＝θ+β，
由γ＝θ+β，得：θ＝γ﹣β，
将θ＝γ﹣β代入α＝2θ+β，得：α＝2（γ﹣β）+β，
∴γ＝α+β；
②当点F在B的左侧时，且D在12上方时，如图2所示：
同理：∠ACB＝∠CAE+∠CBN，∠D＝∠DAE+∠DFN，
∵∠DFN＝∠CBN＝180°﹣∠CBF＝180°﹣β，
∴α＝2θ+180°﹣β，γ＝θ+180°﹣β，
由γ＝θ+180°﹣β，得：θ＝γ+β﹣180°，
将θ＝γ+β﹣180°代入α＝2θ+180°﹣β，得：γ＝90°+α﹣β；
③当点D在直线l2的下方时，过点点D作TK∥l1，如图3所示：
同理：∠ACB＝∠CAE+∠CBF，
即α＝2θ+β，
∵TK∥l1，l1∥l2，
∴l1∥l2∥TK，
∴∠ADT＝∠DAE＝θ，∠FDK＝∠BFD＝∠CBF＝β，
∵∠ADT+∠ADF+∠FDK＝180°，
∴θ+γ+β＝180°，
∴θ＝180°﹣γ﹣β，
将θ＝180°﹣γ﹣β代入α＝2θ+β，得：α＝2（180°﹣γ﹣β）+β，
∴γ＝180°﹣α﹣β．
综上所述：γ＝α+β或＝90°+α﹣β或180°﹣α﹣β．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或说理过程）
17．【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：（1），
把②代入①，得3x+2（7﹣x）＝9，
解得x＝﹣5，
把x＝﹣5代入②，得y＝12，
所以方程组的解是；
（2），
①×2，得4x﹣10y＝24③，
②﹣③，得13y＝﹣26，
解得y＝﹣2，
把y＝﹣2代入①，得x＝1，
所以方程组的解是．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
18．【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据平移的性质，由图可得出答案．
【解答】解：（1）如图，三角形DEF即为所求．
（2）三角形DEF是由三角形ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到．
故答案为：右；3；2．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
19．【分析】先展开，再合并同类项，化简后将x，y的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣y2﹣x2+xy
＝xy﹣y2；
当x＝2，y＝1时，
原式＝2×1﹣12
＝2﹣1
＝1．
【点评】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式和多项式乘多项式法则，把所求式子化简．
20．【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠CAE，求出∠BAE＝∠CEA，再根据平行线的判定定理得出即可；
（2）根据平行线的性质、角平分线定义得出∠F＝∠FED，∠BAC＝2∠AEC，则∠AEC＝2∠F＝2∠FED，再根据垂直定义、平角定义求解即可．
【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠CAE＝∠CEA，
∴∠BAE＝∠CEA，
∴AB∥CD；
（2）∵GF∥CD，
∴∠F＝∠FED，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEC+∠FED＝90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠CAE，
∵∠CAE＝∠AEC，
∴∠BAC＝2∠AEC，
∵∠BAC＝4∠F，
∴∠AEC＝2∠F＝2∠FED，
∴2∠FED+∠FED＝90°，
∴∠FED＝30°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
21．【分析】（1）根据新定义计算即可；
（2）根据新定义，可得ab＝a2+b2﹣ab，即a﹣b＝0，再将其代入2a﹣2b中计算即可；
（3）根据题意，可知c＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，再将a+b＝3，ab＝4代入计算即可．
【解答】解：（1）22+（﹣3）2+2×3＝19；
（2）∵两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，
∴ab＝a2+b2﹣ab，
∴（a﹣b）2＝0，
∴a﹣b＝0，
∴2a﹣2b＝2（a﹣b）＝0；
（3）∵a+b＝3，ab＝4，
∴c＝a2+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣3ab
＝9﹣12
＝﹣3．
【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
22．【分析】（1）设每辆A型车可载学生x人，每辆A型车可载学生y人，列二元一次方程组并求解即可；
（2）设租用A型车a辆，则租用B型车辆，两者均为非负整数，写出租车费用W关于a的函数，根据W随a的增减性，确定当a为何值时W取最小值，并求出对应的的值即可．
【解答】解：（1）设每辆A型车可载学生x人，每辆A型车可载学生y人．
根据题意，得，
解得，
∴每辆A型车可载学生30人，每辆A型车可载学生40人．
（2）设租用A型车a辆，则租用B型车辆．
根据题意，租车费用W＝1000a+1200×＝100a+10500，
∵100＞0，
∴W随a的减小而减小，
∵a≥0（a为整数），且为非负整数，
∴当a＝1时，＝8，W取最小值，
∴租用A型车1辆，租用B型车8辆使得恰好送完学生，并且租车费用最少．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的解法和一次函数的增减性是解题的关键．
23．【分析】（1）①根据∠DCG＝∠BCF＝180°﹣∠EFC﹣∠CBF，即可得出结果；
②先求出∠ABC＝180°﹣2∠CBF，∠DCB＝180°﹣2∠BCF，再根据AB∥CD，可得∠ABC+∠DCB＝180°，即180°﹣2∠CBF+180°﹣2∠BCF＝180°，得出∠CBF+∠BCF＝90°，可求出∠BFC＝90°，即可；
（2）延长BC交DH于点M，根据∠MDC+∠M+∠MCD＝180°，得出∠M+∠MCD＝180°﹣∠MDC＝165°，又因为MD∥AB，得出∠M+∠MBA＝180°，根据∠MCD+∠DCB＝180°，求出∠DCB+∠CBA＝180°﹣∠MCD+180°﹣∠M＝360°﹣165°＝195°，则∠FCB+∠CBF＝（360°﹣∠DCB﹣∠CBA）＝82.5°，∠BFC＝180°﹣∠FCB﹣∠CBF＝97.5°．
【解答】解：（1）①∵ㄥABE＝∠CBF＝α，∠BFC＝105°，
∴∠DCG＝∠BCF＝180°﹣105°﹣α＝75°﹣α，
故答案为：75°﹣α；
②EF⊥FG，理由如下：
∵∠ABE+∠ABC+∠CBF＝180°，∠ABE﹣∠CBF＝α，
∴∠ABC＝180°﹣2∠CBF，
同理，∠DCB＝180°﹣2∠BCF，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
即180°﹣2∠CBF+180°﹣2∠BCF＝180°，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠BFC＝180°﹣90°﹣90°，
∴EF⊥FG；
（2）延长BC交DH于点M，
∵∠MDC+∠M+∠MCD＝180°，
∴∠M+∠MCD＝180°﹣∠MDC＝165°，
∵MD∥AB，
∴∠M+∠MBA＝180°，
∵∠MCD+∠DCB＝180°，
∴∠DCB+∠CBA＝180°﹣∠MCD+180°﹣∠M＝360°﹣165°＝195°，
∴∠FCB+∠CBF＝（360°﹣∠DCB﹣∠CBA）＝82.5°，
∴∠BFC＝180°﹣∠FCB﹣∠CBF＝97.5°．
【点评】本题考查的是列代数式，图形的变化规律和平行线的性质，熟练掌握上述知识点并找出题目中各角的关系是解题的关键．
24．【分析】（1）根据长方形的面积公式计算这个长方形的面积，展开成多项式的形式并合并同类项，根据每张纸片的面积即可直接写出答案；
（2）设需要B型纸片b张，写出这个正方形的面积，当它可以写为完全平方式时求出b的值即可；
（3）设边长为x+2的邻边长为mx+n，根据长方形的面积公式计算这个长方形的面积，展开成多项式的形式并合并同类项，分别用m和n表示出每种纸片需要的张数；根据三种型号的纸片共12张，得到m与n的数量关系，写出m与n所有可能取值的组合，并求出对应各纸片的张数即可．
【解答】解：（1）这个长方形的面积为（3x+2）（x+3）＝3x2+11x+6，
∵A型纸片的面积为x2，B型纸片的面积为x，C型纸片的面积为1，
∴需要A型纸片3张，B型纸片11张，C型纸片6张．
故答案为：3，11，6．
（2）设需要B型纸片b张，则这个正方形的面积为x2+bx+4，
∵当b＝4时，x2+bx+4可写为完全平方式（x+2）2，
∴需要B型纸片4张．
（3）设边长为x+2的邻边长为mx+n，则这个长方形的面积为（mx+n）（x+2）＝mx2+（2m+n）x+2n，
∴需要A型纸片m张，B型纸片（2m+n）张，C型纸片2n张．
∵m+（2m+n）+2n＝12，
∴m+n＝4．
当m＝1时，n＝3，2m+n＝5，2n＝6；
当m＝2时，n＝2，2m+n＝6，2n＝4；
当m＝3时，n＝1，2m+n＝7，2n＝2．
∴共有三种方案，分别是：
方案1：A型纸片1张，B型纸片5张，C型纸片6张；
方案2：A型纸片2张，B型纸片6张，C型纸片4张；
方案3：A型纸片3张，B型纸片7张，C型纸片2张．
【点评】本题考查完全平方式、多项式乘多项式，熟练掌握长方形和正方形的面积公式、完全平方式及多项式与多项式的乘法是解题的关键．