2024年福建省泉州市安溪县中考数学模拟试卷（4月份）（含解析）

2024年福建省泉州市安溪县中考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（4分）下列四个数中，属于无理数的是（　　）
A． B．﹣2024 C． D．
2．（4分）一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（　　）
A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱
3．（4分）数据显示，2023年通过青藏铁路进出藏旅客共计295.9万人次，创下青藏铁路通车运营17年以来的历史新高．将数据2959000用科学记数法表示为（　　）
A．2959×103 B．295.9×104
C．2.959×106 D．0.2959×107
4．（4分）已知两个三角形相似，它们的对应高之比为2：3，则它们的周长比为（　　）
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．
5．（4分）负指数幂4﹣2可以表示为（　　）
A．﹣42 B．（﹣4）2 C．48﹣45 D．43÷45
6．（4分）某校招聘一名教师，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试、面试，他们的各项成绩如下表所示．根据要求，学校将笔试、面试成绩按6：4的比例确定各人的最后得分，然后录用得分最高的候选人．最终被录用的是（　　）
项目 测试成绩
甲 乙 丙 丁
笔试 80 70 75 90
面试 80 90 85 70
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（4分）如图，PA为圆O的切线，A为切点，OP交圆O于点B，连接AB，若∠PAB＝22°，则∠AOB的度数为（　　）
A．22° B．40° C．44° D．68°
8．（4分）据工信部数据，2021年我国新能源汽车销售完成352.1万辆，2023年销量创历史新高，达到949.5万辆．设2021年到2023年的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　）
A．352.1x2＝949.5 B．352.1（1+x）2＝949.5
C．352.1（1+2x）＝949.5 D．352.1（1+x2）＝949.5
9．（4分）在△ABC中，点M在边AB上，且，阅读以下作图步骤：
①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交BA于点D，交BC于点E；
②以点M为圆心，以BD长为半径画弧，交MA于点D'；
③以点D'为圆心，以DE长为半径画弧，交前一条弧于点E'；
④连接ME'并延长，交AC于点N，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，D为BC上一点，且满足AD＝CD，E为AC的中点，连接BE交AD于点F，则△ABF的面积为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别以“正数”与“负数”来命名，若收入80元记作+80元，则支出90元记作 　 　元．
12．（4分）某运动员射击10次，成绩（单位：环）分别为9，10，9，8，8，7，10，7，6，10，则这组数据的中位数为 　 　．
13．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在反比例函数的图象上，B（3，2），且A，B两点关于点O对称，则k＝　 　．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，若AC＝8，BC＝10，则△BOC的周长与△BAO的周长差为 　 　．
15．（4分）已知，且x≠y，则的值为 　 　．
16．（4分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax经过A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+3，y3）三点，且y1＜y3＜y2≤﹣a恒成立，则m的取值范围为 　 　．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：．
18．（8分）解不等式组：．
19．（8分）如图，点A，E，F，C在同一直线上，已知AD∥BC，AD＝CB，AE＝CF．求证：∠B＝∠D．
20．（8分）先化简，再求值：，其中．
21．（8分）如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，且△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF，连接EF．
（1）求证：∠FAB＝∠MAE；
（2）若AB＝5，DM＝2，求线段EF的长．
22．（10分）一个不透明的袋中装有1个红球、2个黑球，它们除颜色不同外其余都相同．
（1）若从袋中随机摸出一球，求该球是红球的概率；
（2）先往袋中加入1个红球或黑球（它们与袋中的球大小、质地完全一样），再从袋中依次抽取两球（不放回），若要使得抽取的这两球颜色相同的概率较大，则应往袋中加入红球还是黑球？请利用树状图或列表法说明理由．
23．（10分）某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为O，点O在圆锥底面、地面上的正投影分别为点O1．O2，点P为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即O1P＝2米），圆锥底面离地面的高度为3米（即O1O2＝3米）．
（1）若OO1＝2米，求圆锥的侧面积；
（2）现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量OO2的高度，工人先在水平地面上选取观测点A，B（A，B，O2在同一直线上），利
用测角仪分别测得点O的仰角为α，β，其中，，再测得A，B两点间的距离为m米（即AB＝MN＝m米），已知测角仪的高为1米（即MA＝NB＝QO2＝1米），求亭盖的外部面积（用含m的代数式表示）．
24．（12分）如图，等边△ABC与以BC为直径的半圆O交于D，E两点，点F在上，连接BE，BF，DF，点G在AC的延长线上，连接FG，OG，BG．若∠BGC＝45°，∠ABF+∠OGB＝∠COG．
（1）求证：∠CBG＝15°；
（2）求证：∠ADF＝3∠ABF；
（3）连接FG，求的值．
25．（14分）已知抛物线C1：y＝ax2﹣（2a﹣1）x﹣3a+1与x轴只有一个公共点A．
（1）求a的值；
（2）若将抛物线向右平移1个单位长度得到抛物线C3，抛物线C3与y轴交于点B，顶点为D．
①试问：抛物线C3上是否存在这样的点E，使得△BDE∽△ABD？
②若直线y＝kx﹣k+1与抛物线C3交于P（xp，yp），Q（xQ，yQ）（xP＜xQ），点Q关于抛物线C3的对称轴的对称点记为Q'（Q'与P不重合），Q′M∥y轴交直线PQ于点M，直线PD与直线Q'M交于点N，求的值．
2024年福建省泉州市安溪县中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．【分析】无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案．
【解答】解：是分数，﹣2024，＝2是整数，它们都不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数；
故选：D．
【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．【分析】根据四棱锥的侧面展开图得出答案．
【解答】解：如图所示：这个几何体是四棱锥．
故选：A．
【点评】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．
3．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：2959000＝2.959×106．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．【分析】直接利用相似三角形的周长比等于相似比，进而得出答案．
【解答】解：∵两个相似三角形的对应高之比为2：3，
∴两个相似三角形的相似比为2：3，
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴它们的周长比等于2：3．
故选：A．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
5．【分析】根据有理数的混合运算和负整数指数幂的运算法则计算即可．
【解答】解：负指数幂4﹣2＝，
A、﹣42＝﹣16，故A不符合题意；
B、（﹣4）2＝16，故B不符合题意；
C、48﹣45＝65536﹣1024＝64512，故C不符合题意；
D、43÷45＝4﹣2＝，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算和负整数指数幂，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
6．【分析】分别计算甲、乙、丙、丁四名候选人的加权平均数，然后做出判断即可．
【解答】解：甲的成绩：（80×6+80×4）＝80（分），
乙的成绩：（70×6+90×4）＝78，
丙的成绩：×（75×6+85×4）＝79，
丁的成绩：×（90×6+70×4）＝82，
丁得分最高，故最终被录用的是丁．
故选：D．
【点评】此题考查了加权平均数的含义和求法的应用，解题的关键是熟练运用加权平均数的公式进行计算．
7．【分析】根据切线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵PA为圆O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∵∠PAB＝22°，
∴OAB＝68°，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB＝68°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝44°，
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
8．【分析】利用预计到2023年的销量＝2021年的销量×（1+2021年到2023年的年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得352.1（1+x）2＝949.5．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．【分析】根据尺规作图、三角形全等的判定定理得到△BDE≌△MD′E′，根据全等三角形的性质得到∠AMN＝∠B，得到MN∥BC，再根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵AM＝AB，
∴＝，
由作图可知：BD＝MD′，BE＝ME′，DE＝D′E′，
则△BDE≌△MD′E′，
∴∠AMN＝∠B，
∴MN∥BC，
∴＝＝，＝＝，
则一定可以推得的结论是A选项中的结论，
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、三角形全等的判定和性质、尺规作图，灵活运用平行线分线段成比例定理是解题的关键．
10．【分析】连接DE，证DE为△ABC的中位线得AB＝2DE，再证△DEF∽△ABF得EF：AF＝DE：AB＝1：2，则S△AEF：S△ABF＝1：2，进而得S△ABF＝S△ABE，再求出S△ABE＝15，进而可得S△ABF的面积．
【解答】解：连接DE，如下图所示：
AD＝CD，E为AC的中点，
∴DE⊥AB，
∵∠BAC＝90°，
∴DE∥AB，
∴DE为△ABC的中位线，
∴AB＝2DE，
∵DE∥AB，
△DEF∽△ABF，
∴EF：AF＝DE：AB＝1：2，
∴S△AEF：S△ABF＝1：2，
∴S△ABF＝2/3S△ABE，
∵AC＝12，点E为AC的中点，
∴AE＝AC＝6，
∴S△ABE＝AB AE＝×5×6＝15，
∴S△ABF＝S△ABE＝×15＝10．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，理解等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理是解决问题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：收入80元记作+80元，则支出90元记作﹣90元，
故答案为：﹣90．
【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
12．【分析】将这组数据按从小到大的顺序重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据按从小到大的顺序重新排列为：6，7，7，8，8，9，9，10，10，10，
所以这组数据的中位数为＝8.5（环），
故答案为：8.5环．
【点评】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
13．【分析】根据中心对称的性质和反比例函数图象上点的坐标特征近代即可．
【解答】解：∵A，B两点关于点O对称，且B（3，2），
∴A（﹣3，﹣2），
∵点A在反比例函数的图象上，
∴k＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握这个特征是解答本题的关键．
14．【分析】由∠BAC＝90°，AC＝8，BC＝10，求得AB＝＝6，由平行四边形的性质得OA＝OC，则OB+BC+OC﹣（OB+AB+OA）＝BC﹣AB＝4，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB⊥AC，AC＝8，BC＝10，
∴∠BAC＝90°，
∴AB＝＝＝6，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，
∴OA＝OC，
∴OB+BC+OC﹣（OB+AB+OA）＝BC﹣AB＝10﹣6＝4，
∴△BOC的周长与△BAO的周长差为4，
故答案为：4．
【点评】此题重点考查勾股定理、平行四边形的性质、三角形的周长等知识，证明求得AB＝6并且证明OA＝OC是解题的关键．
15．【分析】先将已知条件化为3y﹣2x＝xy，再代入中化为，即可求值．
【解答】解：∵，
∴3y﹣2x＝xy，
∴
＝
＝
＝
＝
＝
＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的变形是解题的关键．
16．【分析】由y1＜y2＜y3≤﹣a可得抛物线开口向下，根据抛物线对称轴为直线x＝1，结合图象求解．
【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣a），
∵y1＜y3＜y2≤﹣a，抛物线的顶点坐标为（1，﹣a），
∴抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵y1＜y3＜y2≤﹣a，
∴1﹣（m﹣1）＞m+3﹣1，
解得m＜0，
m+3﹣1＞1﹣m，
解得m＞﹣，
综上，存在实数m，使得y1＜y3＜y2≤﹣a恒成立，m的取值范围为﹣＜m＜0．
故答案为：﹣＜m＜0．
【点评】考查了二次函数的顶点坐标，二次函数的图象以及抛物线的对称性，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【分析】首先计算乘方、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝9﹣3+（3﹣）
＝9﹣3+3﹣
＝12﹣4．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①得x＜2，
解不等式②得x≥﹣，
∴不等式组的解集为：﹣≤x＜2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，掌握求不等式公共解集的方法是解题的关键．
19．【分析】易证∠A＝∠C和AF＝CE，即可证明△ADF≌△CBE，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠B＝∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证△ADF≌△CBE是解题的关键．
20．【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝，
当x＝+3时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21．【分析】（1）根据翻折和旋转的性质即可解决问题．
（2）连接BM，证明出△AFE与△AMB全等，将EF长转化为BM长，再利用勾股定理求出BM长即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，
∴∠MAE＝∠DAM．
∵△ABF由△ADM绕点A按顺时针方向旋转90°得到，
∴∠FAB＝∠DAM，
∴∠FAB＝∠MAE．
解：（2）连接BM，
∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，
∴AD＝AE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∴AD＝AE．
∵∠FAB＝∠MAE，
∴∠FAB+∠BAE＝∠MAE+∠BAE，
即∠FAE＝∠MAB．
∵△ABF由△ADM绕点A按顺时针方向旋转90°得到，
∴AM＝AF．
在△AEF和△ABM中，
，
∴△AEF≌△ABM（SAS），
∴EF＝BM．
∵AB＝5，DM＝2，
∴CD＝AB＝5，
∴CM＝CD﹣DM＝5﹣2＝3．
在Rt△BCM中，
BM＝，
∴EF＝BM＝．
【点评】本题考查旋转的性质及正方形的性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
22．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）当往袋中加入1个红球时，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的这两球颜色相同的结果数，再利用概率公式可得此时抽取的这两球颜色相同的概率，当往袋中加入1个黑球时，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的这两球颜色相同的结果数，再利用概率公式可得此时抽取的这两球颜色相同的概率，作比较即可．
【解答】解：（1）由题意得，该球是红球的概率为．
（2）当往袋中加入1个红球时，
列表如下：
红 红 黑 黑
红 （红，红） （红，黑） （红，黑）
红 （红，红） （红，黑） （红，黑）
黑 （黑，红） （黑，红） （黑，黑）
黑 （黑，红） （黑，红） （黑，黑）
共有12种等可能的结果，其中抽取的这两球颜色相同的结果有4种，
∴抽取的这两球颜色相同的概率为＝．
当往袋中加入1个黑球时，
列表如下：
红 黑 黑 黑
红 （红，黑） （红，黑） （红，黑）
黑 （黑，红） （黑，黑） （黑，黑）
黑 （黑，红） （黑，黑） （黑，黑）
黑 （黑，红） （黑，黑） （黑，黑）
共有12种等可能的结果，其中抽取的这两球颜色相同的结果有6种，
∴抽取的这两球颜色相同的概率为＝．
∵，
∴应往袋中加入黑球．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
23．【分析】（1）利用勾股定理求得圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积＝π 母线长 底面半径，可得圆锥的侧面积；
（2）设OQ长x米，根据tanα的值，可得MQ的值，进而根据tanβ的值可得用m表示的x．计算出OO1的值后利用勾股定理求得OP的长度，根据圆锥的侧面积公式求得圆锥的侧面积即可．
【解答】解：（1）由题意得：∠OO1P＝90°．
∵OO1＝2米，O1P＝2米，
∴OP＝2（米）．
∴圆锥的侧面积＝π×2×2＝4π（米2）．
答：圆锥的侧面积为4π平方米；
（2）由题意得：∠OQM＝90°．
设OQ长x米．
∵tanα＝，
∴MQ＝2x．
∵MN＝m米，
∴NQ＝（m+2x）米．
∵tanβ＝，
∴＝．
解得：x＝2m．
∵O1O2＝3米，QO2＝1米，
∴OO1＝2m+1﹣3＝（2m﹣2）米．
∵O1P＝2米，∠OO1P＝90°．
∴OP＝＝＝2（米）．
∴圆锥的侧面积＝π×2×2＝4π（米2）．
答：亭盖的外部面积为4π平方米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．用到的知识点为：圆锥的侧面积＝π 母线长 底面半径．
24．【分析】（1）根据圆周角定理求出∠BEC的度数，在根据三角形内角和定理求出∠EBC和∠EBG的度数，即可证明∠CBG＝15°；
（2）根据题干已知角的和差关系可以求出∠ABF的度数，在根据圆周角定理求出∠DFB的度数，最后根据三角形的外角性质即可求出∠ADF的度数，从而得证；
（3）过O和F分别作AC的垂线，先证明F在AO上，然后根据等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、含30°角直角三角形的性质以及勾股定理求出OG和FG的比值即可．
【解答】（1）证明：连接OE，如图：
∵BC为直径，E在圆O上，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BGC＝45°，
∴∠GBE＝45°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ECB＝60°，
∴∠CBE＝30°，
∴∠OBG＝∠EBG﹣∠EBC＝15°；
（2）证明：连接OD，如图：
由三角形外角的性质可知，∠COG＝∠CBG+∠OGB，
又∵∠ABF+∠OGB＝∠COG，
∴∠ABF＝∠CBG＝15°，
由圆周角定理可知，∠BOD＝2∠DFB，
∵∠ABC＝60°，OD＝OB，
∴△BOD为等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴∠DFB＝30°，
∴∠ADF＝∠ABF+∠DFB＝45°，
∴∠ADF＝3∠ABF；
（3）解：连接AO，FO，过O作OM⊥AC于M，过F作FN⊥AC于N，如图：
∵△ABC为等边三角形，O是BC中点，
∴AO⊥BC，∠OAC＝30°，
∵∠ABF＝15°，
∴∠DOF＝30°，
∴∠BOF＝∠BOD+∠DOF＝90°，
∴OF⊥BC，
∴F在AO上，
令OB＝OF＝OC＝1，则AC＝BC＝2，
∵∠BCE＝60°，
∴CE＝1，BE＝，
∵∠EBG＝∠CGB＝45°，
∴EG＝BE＝，
∵OM⊥EC，
∴EM＝CM＝EC＝，OM＝BE＝，
∴MG＝x﹣x＝，
在Rt△MOG中，OG2＝OM2+CM2＝4﹣，
∵AO＝BE＝，OF＝1，
∴AF＝﹣1，
∵∠FAN＝30°，
∴FN＝，AN＝，
∴EN＝AE﹣AN＝1﹣＝，
∴NG＝EG+NE＝，
在Rt△FNG中，FG2＝FN2+NG2＝8﹣2，
∴＝＝，
∴＝．
【点评】本题主要考查了圆的综合题，合理运用等腰直角三角形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的外角性质等知识是本题解题的关键．
25．【分析】（1）由Δ＝（﹣2a+1）2﹣4a（1﹣3a）＝0，即可求解；
（2）①由点A、B、D的坐标知，△ABD为等腰直角三角形，当△BDE∽△ABD时，则△BDE也为等腰直角三角形，即可求解；
②设点P（m，m2﹣2m+1）、点Q（n，n2﹣2n+1），则点Q′（2﹣n，n2﹣2n+1），求出点M、N的坐标，进而求解．
【解答】解：（1）Δ＝（﹣2a+1）2﹣4a（1﹣3a）＝0，
解得：a＝；
（2）①y＝ax2﹣（2a﹣1）x﹣3a+1＝（x+1）2，
则点A（﹣1，0）；
y＝4ax2＝x2，则抛物线C3与y＝（x﹣1）2，
则点D（1，0）、（0，1），
由点A、B、D的坐标知，△ABD为等腰直角三角形，
当△BDE∽△ABD时，则△BDE也为等腰直角三角形，
如下图：
而点D（1，0）、B（0，1），
根据抛物线的对称性，则点E（2，1）；
②如下图：
设点P（m，m2﹣2m+1）、点Q（n，n2﹣2n+1），则点Q′（2﹣n，n2﹣2n+1），
联立抛物线和PQ的表达式得：kx﹣k+1＝（x﹣1）2，
整理得：x2﹣（2+k）x+k＝0，
则m+n＝2﹣k，mn＝k，
将点Q坐标代入一次函数表达式得：n2﹣2n+1＝k（2﹣n﹣1），
即n2﹣2n＝k（1﹣n），
由点P、D的坐标得，直线PD的表达式为：y＝（m﹣1）（x﹣1），
当x＝2﹣n时，y＝（m﹣1）（x﹣1）＝k（1﹣n）+1，
则点N（2﹣n，（m﹣1）（1﹣n）），
同理可得：点M（2﹣n，k（1﹣n）+1），
则Q′N＝|n2﹣2n+1﹣[（m﹣1）（1﹣n））]|＝|n2﹣2n+1+mn﹣m﹣n+1|＝|n2﹣2n+1+k﹣2﹣k+1|＝|n2﹣2n|，
同理可得：MN＝|k（1﹣n）+1﹣（m﹣1）（1﹣n）|＝|2+k﹣k﹣k﹣2+kn|＝|k（n﹣1）|，
∵n2﹣2n＝k（1﹣n），
则Q′N：MN＝1，
则＝1．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到根和系数的关系、三角形相似等，数据处理和数形结合是解题的关键．