2023年广东省韶关市始兴县中考数学一模试卷(含解析)

2023年广东省韶关市始兴县中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣5的绝对值是（　　）
A． B．5 C．﹣5 D．﹣
2．（3分）在党的二十大报告中总结了新时代十年的非凡成就，包括我国建成世界上规模最大的社会保障体系，基本养老保险覆盖10.4亿人，其中10.4亿用科学记数法可表示为（　　）
A．10.4×108 B．10.4×109 C．1.04×108 D．1.04×109
3．（3分）三棱柱有（　　）条棱．
A．3 B．6 C．9 D．12
4．（3分）在一组数据1，3，7，5，9中，中位数是（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
5．（3分）若x＝1是关于x的一元一次方程x+1＝﹣2x+3m的解，则m的值为（　　）
A．2 B．3 C． D．
6．（3分）要使有意义，则字母x应满足的条件是（　　）
A．x＝2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
7．（3分）在平面直角坐标系中，把点（2，﹣1）向右平移1个单位后所得的点的坐标是（　　）
A．（2，0） B．（2，﹣2） C．（1，﹣1） D．（3，﹣1）
8．（3分）如图，直线y＝kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3＜0的解集是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≥2
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2．以BC的中点O为圆心的圆分别与AB，AC相切于D，E两点，则弧DE的长为（　　）
A． B． C． D．π
10．（3分）已知关于n的函数s＝an2+bn（n为自然数），当n＝9时，s＜0；当n＝10时，s＞0．则n取（　　）时，s的值最小．
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式x（x﹣2）+（2﹣x）的结果是　 　．
12．（3分）一个不透明的盒子中装有n个小球，其中红球有4个，小球除颜色不同外其它都相同．如果要设计一个游戏，从盒中任意摸出一个球，使得摸出红球的概率是0.2，那么n＝　 　．
13．（3分）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积之比为S1：S2＝1：3，则＝　 　．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与双曲线交于A，B两点，已知A（1，4），B（﹣4，m），则方程的根是 　 　．
15．（3分）如图，矩形ABCD的边长AD＝8，AB＝6，E为AB的中点，AC分别与DE，DB相交于点M，N，则MN的长为　 　．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解方程组：．
17．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝110°，∠B＝30°．
（1）作BC边上的高线AD（作图工具不限）；
（2）若AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
18．（8分）先化简：，然后从2，0，1中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
19．（9分）某班利用课余时间举办了一次“数学知识快问快答”有奖竞答活动，最终甲、乙两位同学均获得一次抽奖机会，抽奖规则：将准备好的正面分别标有数字1，2，3，4的四张翻奖牌（除正面数字外，所有翻奖牌完全相同）背面朝上，并洗匀，两名抽奖者从中任意翻取一张翻奖牌，即可获得该翻奖牌正面数字所对应的奖品，已知数字1～4分别对应奖品：文具盒、笔记本、文具盒、水杯，且被翻取后的翻奖牌失效，不参与下一次抽奖（即下一位抽奖者不能翻取同一张翻奖牌）．
（1）求第一位同学抽中文具盒的概率；
（2）若甲、乙两位同学都想抽中水杯．
甲：先抽的中奖率高，我先抽，抽中了你就没机会了；
乙：先抽的中奖率低，你很可能抽不中，那我中奖的几率就更大了．
你认为两人中谁的说法正确？请用列表或画树状图的方法说明．
20．（9分）某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．
下面是两个方案及测量数据：
项目 测量某塔的高度
方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB. 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离CD，仰角α，仰角β.
测量示意图
测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值
测量数据 CD 1.61m 1.59m 1.6m β 26.4° 26.6° 26.5°
ED 1.18m 1.22m 1.2m α 37.1° 36.9° 37°
DB 38.9m 39.1m 39m CD 34.8m 35.2m 35m
（1）根据“方案一”的测量数据，直接写出塔AB的高度为 　 　m；
（2）根据“方案二”的测量数据，求出塔AB的高度；（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）
21．（9分）数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的2.5倍．
（1）求每套《什么是数学》的价格；
（2）学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？
22．（12分）如图，AB为圆O的直径，C是圆O上一点，D是圆外一点，OD交圆O于点E，交AC于点F，F是AC的中点，BE交AC于点G，连接CE，且∠CAD＝2∠C．
（1）求证：AD为圆O的切线；
（2）若EG＝6，tanC＝，求直径AB的长．
23．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）填空：抛物线的解析式为 　 　；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交AC与M，当t为何值时，线段PM的长最大，并求其最大值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．
2023年广东省韶关市始兴县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：﹣5的绝对值是5，
故选：B．
2． 解：10.4亿＝1.04×109，
故选：D．
3． 解：三棱柱有9条棱；
故选：C．
4． 解：将题中的数据按照从小到大的顺序排列：1，3，5，7，9，
可得出中位数为：5．
故选：C．
5． 解：∵x＝1是关于x的一元一次方程x+1＝﹣2x+3m的解，
∴1+1＝﹣2+3m，
解得m＝．
故选：D．
6． 解：由题意得x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：C．
7． 解：平移后的坐标为（2+1，﹣1），即坐标为（3，﹣1），
故选：D．
8． 解：由函数图象可知，当x＞2时，y＜0，
所以关于x的不等式kx+3＜0的解集是x＞2．
故选：A．
9． 解：连接OE、OD，
设半径为r，
∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，
∵O是BC的中点，
∴OD是中位线，
∴OD＝AE＝AC，
∴AC＝2r，
同理可知：AB＝2r，
∴AB＝AC，
∴∠B＝45°，
∵BC＝2
∴由勾股定理可知AB＝2，
∴r＝1，
∴＝＝．
故选：C．
10． 解：∵函数s＝an2+bn（n为自然数），当n＝9时，s＜0；当n＝10时，s＞0，
∴a＞0，该函数图象开口向上，
∴当s＝0时，9＜n＜10，
∵n＝0时，s＝0，
∴该函数的对称轴n的值在4.5～5之间，
∴各个选项中，当n＝5时，s取得的值最小，
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：x（x﹣2）+（2﹣x）
＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）
＝（x﹣2）（x﹣1）．
故答案为：（x﹣2）（x﹣1）．
12． 解：∵一个不透明的盒子中装有n个小球，其中红球有4个，从盒中任意摸出一个球，使得摸出红球的概率是0.2，
∴＝0.2，
解得：n＝20．
故答案为：20．
13． 解：∵S1：S2＝1：3，即S△ADE：S四边形DECB＝1：3，
∴S△ADE：S△ABC＝1：4，
∵BC∥DE，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故答案为：．
14． 解：由题意，由方程x+b＝的根就是直线y＝x+b与双曲线y＝的交点的横坐标，
又直线y＝x+b与双曲线y＝的交点是A（1，4），B（﹣4，m），
∴方程x+b＝的根为x＝1或x＝﹣4．
故答案为：x＝1或x＝﹣4．
15． 解：∵矩形ABCD的边长AD＝8，AB＝6，
∴AC＝BD＝＝＝10，
∴AN＝＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝6，
∴△AEM∽△CDM，
∴，
∴，
∴，
∴MN＝AN﹣AM＝5﹣．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：，
②×2得：8x﹣2y＝26③，
①+③得：11x＝33，
解得x＝3，
把x＝3代入②得：12﹣y＝13，
解得y＝﹣1．
故原方程组的解是．
17． 解：（1）如图：过点A作AD⊥BC于D，垂足为D，线段AD即为所求．
（2）∵∠ACB＝110°，∠D＝90°
∴∠ACB＝∠D+∠DAC，即∠DAC＝∠ACB﹣∠D＝20°
∵∠ACB＝110°，∠B＝30°
∴∠CAB＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝40°
∵AE平分∠BAC
∴∠CAE＝
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝20°+20°＝40°．
18． 解：原式＝
＝
＝，
依题意有,
解得：x≠0且x≠2且x≠4,
则当x＝1时，原式＝﹣1．
19． 解：（1）第一位同学抽中文具盒的概率为＝；
（2）两人的说法不正确，理由如下：
画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，先抽的抽中水杯的结果有3种，后抽的抽中水杯的结果有3种，
∴先抽的抽中水杯的概率＝后抽的抽中水杯概率＝＝，
∴甲、乙两位同学抽中水杯的机会是相等的，
∴两人的说法不正确．
20． 解：（1）由题意得：∠CDE＝∠ABD＝90°，CE∥AD，
∴∠CED＝∠ADB，
∴△CED∽△ADB，
∴＝，
∴＝，
解得：AB＝52，
∴塔AB的高度为52m，
故答案为：52；
（2）由题意得：AB⊥BD，
设BC＝x m，
∵CD＝35m，
∴BD＝BC+CD＝（x+35）m，
在Rt△ABC中，∠ACB＝α＝37°，
∴AB＝BC tan37°≈0.75x（m），
在Rt△ABD中，∠ADB＝β＝26.5°，
∴AB＝BD tan26.5°≈0.5（x+35）m，
∴0.75x＝0.5（x+35），
解得：x＝70，
∴AB＝0.75x＝52.5（m），
∴塔AB的高度约为52.5m．
21． 解：（1）设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是2.5x元，
根据题意得：﹣＝60，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
答：每套《什么是数学》的价格是50元；
（2）2.5×50＝125（元），
设可以购进m套《古今数学思想》，则购进（70﹣m）套《什么是数学》，
根据题意得：0.8×125m+0.8×50（70﹣m）≤4000，
解得：m≤20，
∴m的最大值为20．
答：《古今数学思想》最多能买20套．
22． （1）证明：∵F是AC的中点，
∴OF⊥AC，
∴＝，
∴∠C＝∠B，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∴∠AOE＝∠OEB+∠B＝2∠B，
∵∠CAD＝2∠C．
∴∠CAD＝∠AOE，
∵∠OAF+∠AOF＝90°，
∴∠CAD+∠OAF＝90°，即∠OAD＝90°，
∴OA⊥AD，
∴AD为圆O的切线；
（2）解：连接AE，如图，
∵＝，
∴∠C＝∠CAE＝∠B，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△AEG中，tan∠GAE＝＝tanC＝，
∴AE＝2EG＝2×6＝12，
在Rt△ABE中，tan∠B＝＝，
∴BE＝2AE＝24，
∴AB＝＝12，
23． 解：（1）将A（﹣1，0），C（2，3）代入抛物线的解析式y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
故答案为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，横坐标为t，
∴点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3）；
设直线AC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将A（﹣1，0），C（2，3）代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+1；
∵PM∥y轴，点M在AC上，
∴点M的坐标为（t，t+1），
∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（t+1）
＝﹣t2+t+2
＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，PM的长最大，最大值为；
（3）以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形，理由如下：
∵y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4），
∵直线AC的解析式为y＝x+1，抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，
∴B（1，2），
∴BD＝2，
设点E（m，m+1），则F（m，﹣m2+2m+3），
∴EF＝|m+1﹣（﹣m2+2m+3）|
＝|m2﹣m﹣2|，
∵EF∥BD，
∴EF＝BD，
∴|m2﹣m﹣2|＝2，
∴m2﹣m﹣2＝2或m2﹣m﹣2＝﹣2，
解得：m1＝0，m2＝1（舍），m3＝，m4＝．
∴点E的坐标为：（0，1）或（，）或（，）．
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