2024年河南省周口市川汇区第一初级中学中考模拟预测数学试题(含解析)

2024年河南省普通高中招生考试模拟试卷数学（二）
注意：
本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分。考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡．
一、选择题（下面各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置．每小题3分，共30分）
1. 的绝对值是（）
A. 2024 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果．
解：的绝对值是2024．
故选：A．
2. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．本届亚运会共设40个比赛项目，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．本届运动会运动员人数达到多名．对于数据用科学记数法表示正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：12500；
故选．
3. 如图是一个正方体的展开图，则与“前”字所在面相对的面上的汉字是（）
A. 认 B. 真 C. 复 D. 习
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方体的平面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题，熟练掌握平面图形的折叠及正方体的展开图是解题的关键．
对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形进行解答即可．
解：由图形可知，与“前”字相对的字是“真”．
故选B．
4. 下列运算结果正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查幂的运算，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，根据相关运算法则依次分析各选项进行判断，即可解题．
解：A、，故A项运算错误，不符合题意；
B、，运算正确，符合题意；
C、，故C项运算错误，不符合题意；
D、，故D项运算错误，不符合题意；
故选：B．
5. 如图，知直径弦于E，且E为中点，P为弦所对优弧上一点，则（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，连接，由E为中点，，得到，进而得到为等边三角形，求出即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键．
解：连接，如图：
∵E为中点，，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
故选：．
6. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．先把常数项移到等号的右边，再把等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得答案．
解：，
移项得：，
配方得：，即．
故选：A．
7. “花花牛”和“生生”是河南两大牛奶品牌．现有4盒两种品牌的牛奶，其中2盒“花花牛”，2盒“生生”，随机抽取2盒，至少有一盒是“花花牛”的概率是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．解题的关键是掌握列表法或画树状图法．根据题意画树状图，共有12种等可能的结果，至少有一盒是“花花牛”的结果有10种，再由概率公式求解即可．
解：把2盒“花花牛”牛奶记为A、B，2盒“生生”牛奶记为C、D，
根据题意可画树状图如图：
共有12种等可能的结果，至少有一盒是“花花牛”的结果有10种，
随机抽取2盒，至少有一盒是“花花牛”的概率是．
故选：D．
8. 五四青年节期间，某校组织九年级新团员赴巩义豫西抗日纪念馆开展“重温抗战历史，感悟革命精神”研学活动，已知学校距离巩义豫西抗日纪念馆20千米，师生乘大巴车前往，老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为千米/时，则可列方程为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查列分式方程，根据速度、时间、路程之间的关系，以及“同时到达”的等量关系建立方程即可．
解：由题意得，大巴车所用时间为：小时，
老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，
老师自驾小车所用时间为：小时，
可列方程，
故选：A．
9. 全国重点文物保护单位羑里城位于安阳市汤阴县城北八华里美、汤两河之间的空旷原野上，是《周易》的发源地．3000年前殷纣王关押周文王姬昌7年之处，是文王据伏羲八卦推演出64卦384爻，即“文王拘而演《周易》”之圣地，也是有史可据、有址可考的中国历史上第一座监狱．古都安阳为弘扬中原文化，特在某街心公园建造一八卦迷宫阵，其外形是正八边形，如图．若正八边形相对的两边和之间的距离是8米，则所建八卦迷宫阵的正八边形的边长为（　　）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了正多边形和圆以及平行线分线段成比例、解直角三角形等知识，正确的做出辅助线是解题关键．
延长，交于点M，运用平行线分线段成比例得比例式即可解得．
解：延长，交于点M，
由题可知：，
，
，
，，
即，
，，，
，，
，
解得，
故答案为：C．
10. 我们知道，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，如图，矩形的顶点和分别在y轴和x轴上．向下按压矩形，得到如图所示的平行四边形，其中，则平行四边形的对角线的交点D的坐标为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，关键是由以上知识点求出，的长．作轴于，轴于，由的坐标是，的坐标是，得到，，由直角三角形的性质求出，，再证明，由相似三角形的性质即可得到的坐标．
解：作轴于，轴于，
的坐标是，的坐标是，
，，
由题意知，
，
，
，
，
，
四边形平行四边形，
，
轴，轴，
，
，
，，
，
的坐标为．
故选：D
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出一个图像经过点，且经过一三象限的函数解析式______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象与性质，设函数的解析式为：，把代入得：，可得函数的解析式为：，掌握函数的图象与性质是解题的关键．
解：设函数的解析式为：，
把代入得：，
∴函数的解析式为：，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 如图，已知，直线平分交的平分线于点，若，则______．
【答案】##60度
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，由直线平分，得到，由得到再得到，即可求解，掌握相关性质是解题的关键．
解：∵直线平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
故答案为：．
13. 不等式组无解，则a的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先解不等式组，然后根据不等式组无解即可求出的取值范围．
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组无解，
∴，
故答案为：．
14. 如图，已知正方形中，，E为中点，，连接、、，和分别交于点M、N，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，根据正方形性质证明，，利用勾股定理得到，利用相似三角形的性质推出，，进而即可得到，即可解题．
解：四边形正方形，
，，，
，，，
，，
E为中点，，
，，
，，
．
故答案为：．
15. 如图，已知在边长为1的小正方形的格点上，的外接圆的一部分和的边组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了网格知识，勾股定理，弓形面积的求解，取格点，则点为的外接圆的圆心，先求出，再根据求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
解 ：取格点，则点为的外接圆的圆心，如图：
由网格可知，，
，
∵
，
故答案为：．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16. （1）化简：；
（2）化简：，并求当时代数式的值．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简，分式的化简求值，以及二次根式运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
（1）根据分式混合运算的法则把原式进行化简即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入，利用二次根式运算法则进行计算即可．
（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
当时，
上式．
17. 五四青年节期间，某校开展了全校学生学习共青团史活动，并进行了共青团史知识竞赛，并从八、九年级中各随机抽取了20名同学，统计这部分同学的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．对相关数据进行统计、整理如下：
抽取八年级同学的竞赛成绩（单位：分）
得分
频数
抽取八、九年级学生竞赛成绩统计表
年级 八年级 九年级
平均数
中位数
众数
优秀率
抽取的九年级学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m=，n=；
（2）估计该校八年级360名同学中竞赛成绩达到优秀的学生人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价哪个年级的同学学习共青团史的竞赛成绩更优异．
【答案】（1），
（2）
（3）九年级
【解析】
【分析】本题考查频数分布表、中位数、众数定义、用样本去估算总体．
（1）根据中位数定义、众数的定义即可找到、的值．
（2）计算出成绩达到分及以上的人数的频率即可求解．
（3）根据优秀率进行评价即可．
【小问1】
解：八年级学生竞赛成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
中位数．
根据扇形统计图可知类是最多的，故．
故答案为：；．
【小问2】
估计该校八年级360名同学中竞赛成绩达到优秀的学生人数为（人）
【小问3】
根据表中可得，八、九年级的优秀率分别是：、．
故九年级的同学学习共青团史的竞赛成绩更优异．
18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）结合函数图像，请直接写出的自变量的取值范围；
（3）若点在轴上，且满足的面积等于，求出点的坐标．
【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为．
（2）或
（3）点的坐标为或
【解析】
【分析】本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题：通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被轴或轴分割为2个三角形的面积和．
（1）根据点坐标求出，得到反比例函数解析式，据此求出点坐标，再将，代入一次函数解析式；
（2）根据图象求解即可；
（3）设点的坐标为，求出直线与轴交点，再结合的面积为得到关于的方程解之即可
【小问1】
解∶由题意可得，点在反比例函数的图象上，
，则，
反比例函数的解析式为，
将代入，得，
，
将，代入一次函数解析式中，得，解得，
一次函数的解析式为．
【小问2】
根据函数图象可得，满足的自变量的取值范围是或
【小问3】
点在轴上，
设点的坐标为，
一次函数的解析式为，令，则，
直线与轴交于点，
由的面积为，可得，
即，
解得或，
即点的坐标为或．
19. 明堂，即“明政教之堂”，是古代帝王用于布政、祭祀的重要礼制建筑．明堂遗址是全国重点文物保护单位、国家“十一五”期间重点保护的大遗址之一．五一黄金周期间，王老师带领同学们用自制的测倾仪进行综合实践活动，测量明堂的高度．如图，他们站在地面的处，从测倾仪的上端处测得明堂顶部的仰角为，沿着往明堂方向前行米到处，从测倾仪的顶部处测得明堂顶部的仰角为．已知测倾仪的顶部距离地面米，请你据此计算明堂的大致高度．（精确到米，可能用到的数据：，，）
【答案】明堂的大致高度约为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交于点，设，在中，分别表示出，根据，解方程，即可求解．
解：如图所示，延长交于点，
依题意，四边形是矩形，
则，，
设，则，
∵
∴
解得：
∴（米）
答：明堂的大致高度约为米．
20. “铁棍山药”“栾川豆腐”是河南的两大绿色土特产，深受广大消费者喜爱．某超市批发两种土特产进行销售．已知2件“铁棍山药”和3件“栾川豆腐”进货价为240元，3件“铁棍山药”和4件“栾川豆腐”的进货价为 340元，
（1）每件“铁棍山药”和“栾川豆腐”的进价分别是多少？
（2）该超市计划用不超过10500元购进“铁棍山药”和“栾川豆腐”共200件，且“铁棍山药”的数量不低于“栾川豆腐”数量的，该超市有哪几种进货方案？
（3）若该超市每件“铁棍山药”的售价为80元，每件“栾川豆腐”的售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该超市获得的利润最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）每件“铁棍山药”的进价为60元，每件“栾川豆腐”的进价为40元；
（2）该超市有六种进货方案，详见解析；
（3）购进“铁棍山药”件，购进“栾川豆腐”件可使该特产店获得利润最大，最大利润为元
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，理解题意，找准题中所蕴含的等量关系或不等关系，正确列出方程组、不等式组以及函数关系式是解题关键．
（1）设每件“铁棍山药”的进价为元，每件“栾川豆腐”的进价为元，根据2件“铁棍山药”和3件“栾川豆腐”进货价为240元，3件“铁棍山药”和4件“栾川豆腐”进货价为340元”可得二元一次方程组，求解即可；
(2)设购进“铁棍山药”件，则购进“栾川豆腐”件，根据题意可得关于的一元一次不等式组，求出的取值范围，以此得出的所有取值即可得出进货方案；
(3)设总利润为元，根据利润 (成本进价)数量可得关于的一次函数，再根据一次函数的增减性结合的取值范围即可求解．
【小问1】
解：设每件“铁棍山药”的进价为元，每件“栾川豆腐”的进价为元，
由题意得：，
解得：
∴每件“铁棍山药”的进价为60元，每件“栾川豆腐”的进价为40元；
【小问2】
解：设购进“铁棍山药”件，则购进“栾川豆腐”件，
由题意可得：
解得：且为整数，
∴该特产店有以下六种进货方案：
当时，即购进“铁棍山药”件， 购进“栾川豆腐”件，
当时，即购进“铁棍山药”件， 购进“栾川豆腐”件，
当时，即购进“铁棍山药”件，购进“栾川豆腐”件，
当时，即购进“铁棍山药”123件，购进“栾川豆腐”件，
当时，即购进“铁棍山药”件， 购进“栾川豆腐”件，
当时，即购进“铁棍山药”件， 购进“栾川豆腐”件．
【小问3】
解：设总利润为元，则
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为：
∴购进“铁棍山药”件，购进“栾川豆腐”件可使该特产店获得利润最大，最大利润为元．
21. 如图，已知中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长，交于点O，以O为圆心，为半径作．
（1）求证：为的切线；
（2）射线与交于点D，E，连接，若，求的半径和的长；
（3）当______时，．
【答案】（1）证明见解析；
（2）的半径为，的长为；
（3）当时，．
【解析】
【分析】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，角平分线的性质，切线的证明等知识，掌握圆的基本性质是解题的关键．
（1）过点作于点，得出即可求证；
（2）设的半径为，则，通过勾股定理即可求出的半径，先证明，得到，设，则，再通过勾股定理即可求解；
（3）先得到，通过在中，，即可求解．
【小问1】
证明：过点作于点，如图：
由作图可知，平分，
∵，
∴，
∵圆心到的距离等于的半径，
∴为的切线．
【小问2】
解：设的半径为，则，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
即，
解得：，
∴的半径为，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵
∴，
设，则，
∵，
∴在中，，
即，
解得：，（舍去），
∴的长为．
【小问3】
解：∵要使，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，．
22. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于，且二次函数的最大值为4．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）P是抛物线上一动点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点Q恰好在直线上 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为，顶点D的坐标为；
（2）存在，点P的坐标为或．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作轴的平行线，分别过点B和作的垂线，垂足分别为，证明，设，求得，根据题意列式求解即可．
【小问1】
解：∵抛物线经过，二次函数最大值为4，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，，
∴顶点D的坐标为；
【小问2】
解：存在
过点P作轴平行线，分别过点B和作的垂线，垂足分别为，如图，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，，
令，
∴，
解得或，
∴，
设，
∴，，
∴，
∵点Q恰好在直线上，
∴，
解得，
∴点P的坐标为或．
23. 综合实践与探究：
如图1，边长为6的正方形的对角线交于点O，边所在的直线上有两个动点P、Q，，和交于点N．
【观察发现】
（1）在P、Q运动的过程中．
①和的度数关系是______；（填“相等”或“不一定相等”）
②如图1，若点Q运动到的中点时， ______；
【探究迁移】
（2）如图2，若点P运动到线段上，和交于点M．
①求的值；
②若P为的3等分点时，求的长；
【拓展应用】
（3）如图3，图4，若所在直线与所在直线交于点M，所在直线与所在直线交于点E，请直接判断和的数量关系和位置关系，并直接写出当点P运动到的3等分点时，的长．
　　
【答案】（1）【答题空1】相等；
【答题空2】2；（2）①；②或；
（3）且；或．
【解析】
【分析】（1）①由正方形的性质可知，由等式的性质即可得出答案；②作，结合正方形性质，可得为等腰直角三角形，得出的长度，利用以及，可计算出的长度；
（2）①证明可得到答案；②当时，先证明，计算出的长度，由的值，可得出的长度，最后算出的长度；当时，同上可得；
（3）①证明，由相似比以及可得为等腰直角三角形；②当，利用得出、的长度，再通过为等腰直角三角形，得到，最后用勾股定理计算出；当时，同上可得．
【小问1】
①四边形为正方形，
平分，，
，
，
，
；
②四边形为正方形，边长为6，
，，
，，
，，
过点Q作交于点E，
Q是的中点，
，
，
，
又，
，
，
由①可知，
，
，
；
【小问2】
①由（1）可知，
又，，，
，
，
；
②当时，，，
，
（已证）
，
；
当时，，，
同理可证，
，
，
，
，
，
；
【小问3】
①，，
，，
，
，
，
，
，
在中，，作，
不妨设，，
，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
②如图4，同理可证为等腰直角三角形，且相似比为，
当时，，
且相似比为，
，，
，，，
，
，
，
为等腰直角三角形，，
，，
，
当时，，
且相似比为，
，
，
同理可证，，，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，熟知正方形的性质与等腰直角三角形的性质的解题的关键．2024年河南省普通高中招生考试模拟试卷数学（二）
注意：
本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分。考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡．
一、选择题（下面各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置．每小题3分，共30分）
1. 的绝对值是（）
A. 2024 B. C. D.
2. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．本届亚运会共设40个比赛项目，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．本届运动会运动员人数达到多名．对于数据用科学记数法表示正确是（　　）
A. B. C. D.
3. 如图是一个正方体的展开图，则与“前”字所在面相对的面上的汉字是（）
A. 认 B. 真 C. 复 D. 习
4. 下列运算结果正确的是（　　）
A. B. C. D.
5. 如图，知直径弦于E，且E为中点，P为弦所对优弧上一点，则（　　）
A. B. C. D.
6. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. “花花牛”和“生生”是河南两大牛奶品牌．现有4盒两种品牌的牛奶，其中2盒“花花牛”，2盒“生生”，随机抽取2盒，至少有一盒是“花花牛”的概率是（　　）
A. B. C. D.
8. 五四青年节期间，某校组织九年级新团员赴巩义豫西抗日纪念馆开展“重温抗战历史，感悟革命精神”研学活动，已知学校距离巩义豫西抗日纪念馆20千米，师生乘大巴车前往，老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为千米/时，则可列方程为（　　）
A. B. C. D.
9. 全国重点文物保护单位羑里城位于安阳市汤阴县城北八华里美、汤两河之间的空旷原野上，是《周易》的发源地．3000年前殷纣王关押周文王姬昌7年之处，是文王据伏羲八卦推演出64卦384爻，即“文王拘而演《周易》”之圣地，也是有史可据、有址可考的中国历史上第一座监狱．古都安阳为弘扬中原文化，特在某街心公园建造一八卦迷宫阵，其外形是正八边形，如图．若正八边形相对的两边和之间的距离是8米，则所建八卦迷宫阵的正八边形的边长为（　　）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
10. 我们知道，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，如图，矩形的顶点和分别在y轴和x轴上．向下按压矩形，得到如图所示的平行四边形，其中，则平行四边形的对角线的交点D的坐标为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出一个图像经过点，且经过一三象限的函数解析式______．
12. 如图，已知，直线平分交的平分线于点，若，则______．
13. 不等式组无解，则a的取值范围是______．
14. 如图，已知正方形中，，E为中点，，连接、、，和分别交于点M、N，则______．
15. 如图，已知在边长为1的小正方形的格点上，的外接圆的一部分和的边组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为______．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16. （1）化简：；
（2）化简：，并求当时代数式的值．
17. 五四青年节期间，某校开展了全校学生学习共青团史活动，并进行了共青团史知识竞赛，并从八、九年级中各随机抽取了20名同学，统计这部分同学的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．对相关数据进行统计、整理如下：
抽取八年级同学竞赛成绩（单位：分）
得分
频数
抽取八、九年级学生竞赛成绩统计表
年级 八年级 九年级
平均数
中位数
众数
优秀率
抽取的九年级学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m=，n=；
（2）估计该校八年级360名同学中竞赛成绩达到优秀的学生人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价哪个年级的同学学习共青团史的竞赛成绩更优异．
18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）结合函数图像，请直接写出的自变量的取值范围；
（3）若点在轴上，且满足的面积等于，求出点的坐标．
19. 明堂，即“明政教之堂”，是古代帝王用于布政、祭祀的重要礼制建筑．明堂遗址是全国重点文物保护单位、国家“十一五”期间重点保护的大遗址之一．五一黄金周期间，王老师带领同学们用自制的测倾仪进行综合实践活动，测量明堂的高度．如图，他们站在地面的处，从测倾仪的上端处测得明堂顶部的仰角为，沿着往明堂方向前行米到处，从测倾仪的顶部处测得明堂顶部的仰角为．已知测倾仪的顶部距离地面米，请你据此计算明堂的大致高度．（精确到米，可能用到的数据：，，）
20. “铁棍山药”“栾川豆腐”是河南的两大绿色土特产，深受广大消费者喜爱．某超市批发两种土特产进行销售．已知2件“铁棍山药”和3件“栾川豆腐”进货价为240元，3件“铁棍山药”和4件“栾川豆腐”的进货价为 340元，
（1）每件“铁棍山药”和“栾川豆腐”的进价分别是多少？
（2）该超市计划用不超过10500元购进“铁棍山药”和“栾川豆腐”共200件，且“铁棍山药”数量不低于“栾川豆腐”数量的，该超市有哪几种进货方案？
（3）若该超市每件“铁棍山药”的售价为80元，每件“栾川豆腐”的售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该超市获得的利润最大，最大利润为多少元？
21. 如图，已知中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长，交于点O，以O为圆心，为半径作．
（1）求证：为的切线；
（2）射线与交于点D，E，连接，若，求的半径和的长；
（3）当______时，．
22. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于，且二次函数的最大值为4．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）P是抛物线上一动点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点Q恰好在直线上 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23. 综合实践与探究：
如图1，边长为6的正方形的对角线交于点O，边所在的直线上有两个动点P、Q，，和交于点N．
【观察发现】
（1）在P、Q运动的过程中．
①和度数关系是______；（填“相等”或“不一定相等”）
②如图1，若点Q运动到的中点时， ______；
探究迁移】
（2）如图2，若点P运动到线段上，和交于点M．
①求的值；
②若P为的3等分点时，求的长；
【拓展应用】
（3）如图3，图4，若所在直线与所在直线交于点M，所在直线与所在直线交于点E，请直接判断和的数量关系和位置关系，并直接写出当点P运动到的3等分点时，的长．