2024年甘肃省天水市麦积区中考一模考试数学模拟试题（含解析）

2024年麦积区初中毕业暨升学诊断性检测试卷
数学
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）．
1．的倒数是（ ）
A．-2 B．2 C． D．
2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．最近古城天水的麻辣烫火遍全网，全国各地的游客纷纷前来一尝为快，据记者报道，3月17日天水全市接待游客24.52万人次，实现旅游综合收入1.47亿元，其中省外游客达7.22万人次，1.47亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．反比例函数上有两点，，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．难以判断
6．不等式组的解在数轴上表示正确的是( )
A． B．
C． D．
7．如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺处，遮光板在刻度尺处，光屏在刻度尺处，量得像高，则蜡烛的长为（ ）
A． B． C． D．
8．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
9．在正数范围内定义一种运算：，如，若，则的值为（ ）
A．1 B． C．5或 D．5
10．如图：菱形的对角线上有一动点，的长关于点运动的路程的函数图像如图，则该菱形的面积为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．96
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解： ．
12．一次函数经过点，则的值为 ．
13．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图是一“赵爽弦图”模板，其直角三角形的两条直角边的长分别是3和4，则中间小正方形的边长是 ．
14．如图的三个顶点都在半径为4的上，，则弦的长等于 ．

15．如图，正比例函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集为 ．

16．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 ．
三、解答题．（本大题共6小题，共46分，解答时写出必要的文字说明及演算过程）
17．计算：．
18．解方程组：
19．先将分式化简，再求值，其中．
20．如图是一个三角形工件的图纸，，，现在需要在工件上打一孔，使该孔和点的连线与边的夹角为，即且该孔到点与到点的距离相等，请大家利用尺规作图方法在图纸上作出该点．要求：保留作图痕迹，不写作法，该打孔点用点表示．
21．完全相同的四张卡片，上面分别标有数字，，，，将其背面朝上，从中任意抽出张（不放回），记为，再抽一张记为，以作为点的横坐标，作为点的纵坐标，记为，用树状图或列表法求所有点的坐标，并且点在第二象限的概率．
22．某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
实践探究活动记录表
活动内容 测量湖边A、B两处的距离
成员 组长：××× 组员：××××××××××××
测量工具 测角仪，皮尺等
测量示意图 说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C．可测量C处到A、B两处的距离．通过测角仪可测得的度数．
测量数据 角的度数
边的长度 米
米
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析．他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．
已知：如图，在中，．_________．（从记录表中再选一个条件填入横线）

求：线段的长．（为减小结果的误差，若有需要，取，取，取进行计算，最后结果保留整数．）
四、解答题．（本大题共5小题，共50分，解答时写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤）
23．初中生中考体育考试从六项体能项目中任选四项，从三项技能项目中任选一项，中考在即，体能训练迫在眉睫，体育老师为了有效训练，采用了在校集中训练与居家针对性锻炼相结合的训练模式．从最近几年中考体育考试情况看，男生引体向上成绩很不理想，体育委员小健同学随机调查了九年级50名同学居家引体向上锻炼情况，绘制了如下统计图：
引体向上每组最多次数 人数
0 5
2
5 15
10 10
10以上 5
合计
(1)①统计表中________，________；②补全频数分部直方图；
(2)九年级共有400名同学，请你根据上述数据估算九年级男生引体向上每组次数不超过2次的人数；
(3)请你结合以上数据给九年级男生在体育锻炼方面提出一些建议？
24．如图直线与轴交于点，与轴交于点，且，四边形是面积为的矩形，反比例函数的图像过第一象限内点，延长交双曲线于点，
(1)求直线与双曲线解析式
(2)在轴上有一点，若，直接写出点的坐标．
25．如图，内接于，且，是的直径，与交于点，点在的延长线上，且．

(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求阴影部分的面积．
26．（1）提出问题：如图1，在和中，，，，连，连并延长，交于点，①的度数是________；②________；
（2）类比探究：如图2，在和中，，，，连，连并延长，交延长线于点，①的度数是________；②________．
（3）迁移应用：如图3，在等边中于点，点在线段上（不与重合），以为边在的左侧构造等边，在平面内将绕着点顺时针旋转一定角度得到图4，为的中点，为的中点．①求证：在图4情况下的形状是等腰三角形；②求的度数．
27．抛物线经过、两点，与轴交于另一点．
(1)求抛物线、直线的函数解析式；
(2)在直线上方抛物线上是否存在一点，使得的面积达到最大，若存在则求这个最大值及点坐标，若不存在则说明理由．
(3)点为抛物线上一动点，点为轴上一动点，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据倒数的概念求解即可．
【解答】根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-的倒数为-2．
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知二者的定义是解题的关键．
根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【解答】解：A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项错误；
B既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确；
C不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；
D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项错误；
故选：B．
3．D
【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：1.47亿．
故选：D．
4．B
【分析】本题考查二次根式的运算．根据二次根式的运算法则，逐一进行判断即可．
【解答】解：A、，选项计算错误；
B、，选项计算正确；
C、不能合并，选项计算错误；
D、，选项计算错误；
故选B．
5．C
【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的性质，进行判断即可．
【解答】解：∵，，
∴双曲线过一，三象限，在每一个象限内随值得增大而减小，
∵，
∴；
故选C．
6．C
【分析】根据一元一次不等式组的解法先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可得到答案．
【解答】解：，
由①得；
由②得；
原不等式组的解集为，
在数轴上表示该不等式组的解集如图所示：
，
故选：C．
【点拨】本题考查一元一次不等式组解集的求法及在数轴上的表示，熟练掌握不等式组解集的求解原则“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键．
7．B
【分析】本题主要考查相似三角形的实际应用，根据题意，运用相似三角形的性质可得结论．
【解答】解：如图，
∵
∴，
∴
，
∴，
∴
故选：B．
8．A
【分析】由题意根据勾股定理求出OA，进而根据正弦的定义进行分析解答即可．
【解答】解：由题意得，，，
由勾股定理得，，
．
故选：A．
【点拨】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
9．C
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用题中的新定义，得到 ，解出即可求解．
【解答】解：由题意得：，即
解得：或，
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了函数图象，菱形的性质，点到直线的距离，连接，根据函数图象知当时，，，即可得到，根据菱形的面积公式即可求解．
【解答】解：连接，交于点O，
由函数图象知当时，最短，
此时，即，，
，
该菱形的面积为：，
故选：D．
11．
【分析】先提公因式m，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．1
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，将点代入，进行求解即可．
【解答】解：将点代入，得：，
解得：；
故答案为：1．
13．1
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质和勾股定理，求出连个正方形的面积是解决问题的关键．由题意勾股定理求出大正方形的边长，即可得出大正方形的面积，再减去4个三角形面积即可得到小正方形面积，即可求解．
【解答】解：根据题意得：
依据勾股定理可知，大正方的边长，
∴大正方形的面积，
三角形的面积为，
小正方形的面积，
小正方形的边长．
故答案为：1．
14．
【分析】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周角定理和解直角三角形的方法是解题关键．过点作于点，先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，，然后解直角三角形可得的长，由此即可得．
【解答】解：如图，过点作于点，
，
，
，
，，
∵圆的半径为4，
，
，
，
故答案为：．
15．##
【分析】本题主要考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．由点在正比例函数上可求出，由图象可知当时，一次函数的图象在正比例函数图象的下方，即可得到答案．
【解答】解：点在正比例函数上，
当时，，
解得：，
，
由图象可得，关的不等式的解集为，
故答案为：．
16．127
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【解答】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），
.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），
故答案为：127．
【点拨】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
17．3
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，先计算特殊角的三角函数值，去绝对值，然后再进行加减运算即可．
【解答】解：原式．
18．
【分析】方程组利用加减消元法求解即可．
【解答】解：将①得：③
得：
将代入①得：
所以是原方程组的解．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
19．，
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先计算括号内的减法，再计算括号外除法，完成后代入数值求解即可．
【解答】解：
；
当时，原式．
20．见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线及角平分线的尺规作图、三角形内角等知识点，熟练掌握尺规作图是解题关键．利用尺规作图作出的垂直平分线l，由三角形内角和定理得出，再利用尺规作图作出的角平分线m，交于点P，交点P即为所求．
【解答】解：如图所示，点P为所求，
∵l是的垂直平分线，m是的角平分线，连接，
∴，，
，，
，
．
21．坐标为、、，概率是．
【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，正解画树状图是解题关键．
列举出所有情况，看横坐标为负，纵坐标为正的情况占所有情况的多少即可．
【解答】解：共有种情况，
的坐标可能是、、，
在第二象限的有种情况，所以概率是．
22．米，线段的约长为77米；米，线段的约长为77米
【分析】填入数据米．作于点D，在和中，解直角三角形即可求解．
【解答】（1）当填入米时：
已知：如图，在中，．米．（从记录表中再选一个条件填入横线）

求：线段的长．
解：作于点D，

在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
∴(米)，
答：线段的约长为77米．
（2）当填入米时：
已知：如图，在中，．米．（从记录表中再选一个条件填入横线）

求：线段的长．
解：作于点D，

在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴(米)，
答：线段的约长为77米．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用-其他问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．(1)15，50，补全频数分部直方图见解析
(2)九年级男生引体向上每组次数不超过2次的人数为160人
(3)九年级男生在体育锻炼方面应该加强
【分析】本题考查频数分布表、频数分布直方图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）根据题意即可得到的值，再根据总人数各组人数之和，即可得到的值，即可补全频数分部直方图；
（2）根据引体向上每组最多次数不超过2次的人数所占比例乘以400即可求解；
（3）根据频数分布直方图结合频数分布表解答即可．
【解答】（1）解：由题意知：，
（人）
补全频数分部直方图，如图所示
故答案为：15，50；
（2）解：（人）
答：九年级男生引体向上每组次数不超过2次的人数为160人；
（3）解：从直方图看，，
九年级男生引体向上每组次数超过5次的人数占了一半以上，
九年级男生在体育锻炼方面应该加强．
24．(1)，
(2)
【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，根据垂直平分线的判定确定点的位置是解题关键．
（1）根据四边形是面积，确定，即可确定反比例函数；求解点坐标，即可求得点坐标，将点坐标代入直线中，可求得，即可确定一次函数．
（2）根据的坐标设坐标为，代入中，求得坐标，由此设坐标设坐标为，代入直线中， 可求得坐由题意可知在的垂直平分线上，即可确定P的坐标．
【解答】（1）解∶∵四边形是面积为的矩形，
∴，
∴反比例函数为，
当时，
点坐标为，
∴
∴
∴点坐标为，将代入直线中，得，
解得，
∴直线为
（2）设为，代入中，
解得，
∴坐标为，
设坐标为，代入直线中，
解得，
∴坐标为，
又在轴上且，
∴在的垂直平分线上，
∴P坐标为．
25．(1)与相切，理由见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，求不规则图形的面积，解直角三角形，掌握相关知识点，并灵活运算，是解题的关键：
（1）圆周角定理，得到，推出，进而得到，等边对等角，结合圆周角定理，推出，即可得证；
（2）连接，过点作，利用扇形的面积减去三角形的面积求出弓形面积即可．
【解答】（1）解：与相切，理由如下：
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线，即：与相切；
（2）连接，过点作，

由（1）知：，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积．
26．【小问1】①．②
【小问2】①．②
【小问3】①见解析；②
【分析】（1）①证明，证明得到，进而证明，即可求出；②由全等三角形的性质可得，则；
（2）①证明和是等腰直角三角形，得到，，进而证明，得到，推出，则；②由相似三角形的性质可得；
（3）①连接，延长交于点P，交于点O，证明分别是、的中位线，得到，再证明，得到，则，由此即可证明为等腰三角形；②由全等三角形的性质可得，进而求出，则，再由平行线的性质可得．
【解答】（1）解：①，，，
，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵即，
∴，即
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①，，，
，，
和是等腰直角三角形，
，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：①连接，延长交于点P，交于点O
在等边中，于点D，
为的中点
又为的中点，N为的中点，
分别是、的中位线
∵都是等边三角形，
∴
，

在和中
，
为等腰三角形．
②
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
又，即
．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，三角形内角和定理等等，正确理解题意通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
27．(1)抛物线的解析式为：，直线的函数解析式为
(2)存在使得的面积达到最大，最大值为8
(3)存在这样的点E，坐标为或或
【分析】（1）先将、代入抛物线，即可求出抛物线解析式，求出B点坐标，设直线的函数解析式为，再将点B，点C的坐标代入求解即可；
（2）过点作轴的垂线，交于点H，垂足为G，连接，设点，则，根据的面积为，利用二次函数的性质即可求解；
（3）设，，根据平行四边形的定义分为对角线时，为对角线时，和为对角线时，三种情况求解即可．
【解答】（1）解：将、代入抛物线，得，
解得：，
抛物线的解析式为：；
令，则，
解得：或，
，
，
设直线的函数解析式为，
将点B，点C的坐标代入得：，
解得：，
直线的函数解析式为；
（2）解：过点作轴的垂线，交于点H，垂足为G，连接，
设点，则，
，
，
的面积为，则，
，
当时，的面积最大，最大值为8，
此时；
（3）解：存在，求解过程如下：
设，，
由平行四边形的定义分以下2种情况：
①如图，当为对角线时，
F点在x 轴上，
，，
，
则，
解得或（舍去），
，
②如图，当为对角线时，
则，即，
解得或，
点的坐标为或，
③如图，当为对角线时，
∵F点在x 轴上，
∴，，
∴，
则，即，
解得或（舍去），
，
综上，存在这样的点E，坐标为或或．
【点拨】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，一次函数解析式、二次函数的几何应用、平行四边形的定义等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分3种情况讨论是解题关键，勿出现漏解．