江西省宜春市丰城市第九中学2023-2024八年级下学期第一次月考数学试卷(含解析)

江西省宜春市丰城市第九中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若是二次函数，则m的值为( )
A. B.2 C. D.
2．下列四个图形中，既能通过平移变换得到，又能通过旋转变换得到，还能通过轴对称变换得到的是( )
A. B. C. D.
3．以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为( )
A. B. C. D.
4．在二次函数的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．将二次函数y的图象先向下平移2个单位，再把所得图象以原点为中心，旋转180°，所得图象的表达式正确的是( )
A.y＝﹣3x2﹣2 B.y＝3x2+2 C. D.
6．如图，在矩形中，，.点P从点A出发，以的速度在矩形的边上沿运动，点与点重合时停止运动.设运动的时间为t（单位：），的面积为S（单位：），则S随t变化的函数图象大致为( )
A. B. C. D.
二、填空题
7．若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第______象限.
8．在平面直角坐标系中，点的坐标是，将绕着点逆时针旋转得到，则点的坐标是______.
9．在正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中，不是中心对称图形的是______.
10．如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是______.
11．如果二次函数y＝x2+b（b为常数）与正比例函数y＝2x的图象在﹣1≤x≤2时有且只有一个公共交点，那么常数b的值应为______.
12．如图，函数（，，为常数，且）经过点，，且，下列结论：；；若点，在抛物线上，则；若，则的取值范围是.其中结论正确的有______.（填序号）
三、解答题
13．已知函数（其中）.
(1)当m为何值时，y是x的二次函数？
(2)当m为何值时，y是x的一次函数？
14．如图，正方形中，点是上一点，点是上一点，.
(1)如图1，若，求的面积.
(2)如图2，求证：.
15．如图所示，每个小正三角形的边长为1，且它的顶点叫做格点，各顶点在格点处的多边形称为格点多边形，线段位于该小正三角形组成的网格中，按要求在网格中作一个格点多边形.
(1)请在图1画一个既是轴对称图形又是中心对称图形的四边形，且为对角线.
(2)请在图2中画一个以为边，面积为的三角形.
16．如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为），用长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃.设花圃的宽的长为，面积为.
(1)写出与之间的函数关系式及自变量x的取值范围.
(2)围成花圃的最大面积是多少？这时花圃的宽等于多少？
17．如图，在中，，以为边作等边三角形，把绕着点按顺时针方向旋转后得到，若，.求：
(1)的度数；
(2)的长.
18．已知的图象如图所示，根据图象回答下列问题.
(1)求方程的解；
(2)如果方程无实数根，求的取值范围.
19．如下图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观查点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系.在这种变换下：
（1）分别写出点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标.
（2）从中你发现了什么特征？请你用文字语言表达出来.
（3）根据你发现的特征，解答下列问题：若△ABC内有一个点M（2a+5，1-3b）经过变换后，在△PRQ内的坐标称为N（-3-a，-b+3），求关于x的不等式的解集.
20．如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接.
(1)若，，求a的值；
(2)若，，
（ⅰ）当，请判断此时抛物线的图像与直线的图像公共点的情况；
（ⅱ）已知点和点在该抛物线上，若，求a的取值范围.
21．如图，线段绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段.
(1)请用直尺和圆规作出旋转中心O（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如图，在中，，，点D的坐标是，，将旋转到的位置，点C在上，则旋转中心的坐标为______.
22．如图，抛物线y=﹣（x﹣2）2+m+4与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C.
（1）求m的值；
（2）请问：在此抛物线的对称轴上，是否存在一点M，使得△MAC的周长有最小值？如果存在，请你求出点M的坐标；如果不存在，请你说明理由！
（3）若点P是y轴上的一点，且满足△PAC是等腰△，请你直接写出满足条件的点P坐标.
23．(1)（操作发现）
如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个质点均在格点上，现将绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为，连接，如图所示则______；
(2)（解决问题）
如图，等边内有一点，且，，，如果将绕点逆时针旋转得出，求的度数和的长；
(3)（灵活运用）
如图，将（）题中“在等边内有一点”改为“在等腰直角三角形内有一点”且，，，，求的度数.
参考答案
1．答案：C
解析：∵是关于x的二次函数，
∴，且，
∴，且，
∴.
故选：C.
2．答案：D
解析：A、只能通过旋转得到，本选项不符合题意；
B、只能通过轴对称得到，本选项不符合题意；
C、只能通过旋转变换得到，本选项不符合题意；
D、可以通过平移变换得到，也可以通过旋转变换和轴对称变换得到，本选项符合题意.
故选：D.
3．答案：B
解析：依题意，点关于原点的对称点为，
即把点逆时针旋转，得到点B，点B的坐标为，
故选：B.
4．答案：B
解析：二次函数，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
故选：B.
5．答案：D
解析：把二次函数y图象先向下平移2个单位后得到的函数的解析式为：y2，
因为图象绕它的顶点旋转180°后，其对称轴与顶点坐标均不变，只是图象变为开口向下，
所以旋转前后图象同一x值对应的y值互为相反数，
所以所得图象的函数解析式为.
故选：D.
6．答案：B
解析：当点在线段上运动时，，，是正比例函数，排除A选项；
当点在线段上运动时，；
当点在线段上运动时，，，是一次函数的图象，排除C，D选项；
故选：B.
7．答案：四
解析：由于是关于的二次函数，
且，
，
故一次函数的解析式为，
故一次函数过一、二、三象限，
故答案为：四.
8．答案：
解析：过点作轴，过点作轴，交于，
将绕着点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
的坐标是，
，
点坐标为
故答案为：.
9．答案：等边三角形
解析：正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中、线段和平行四边形和正方形和长方形都是中心对称图形，只有等边三角形是旋转对称图形但不是中心对称图形；
故答案为：等边三角形.
10．答案：1.25
解析：连接，，
正方形的边长分别为3和2，
面积分别为9和4，
正方形和正方形的对称中心都是点，
.
故答案为：1.25.
11．答案：﹣3≤b＜0或b＝1
解析：①当b＞0时，
抛物线与y＝2x只有一个交点，则联立二次函数与y＝2x并整理得：x2﹣2x+b＝0，
△＝4﹣4b＝0，解得：b＝1；
②当b＝0时，
则抛物线与正比例函数交点为（0，0）和（2，0），即两个交点，不符合题意；
③当b＜0时，
当x＝﹣1时，y＝2x＝﹣2，
临界点为（﹣1，﹣2），
将（﹣1，﹣2）代入y＝x2+b得：﹣2＝1+b，解得：b＝3，
此时抛物线不过（2，4）点，
故﹣3≤b＜0；
12．答案：
解析：由所给抛物线可知，，，，
∴，故错误；
∵，且抛物线与轴的另一个交点横坐标为，
∴，
∴，故正确；
∵抛物线的对称轴在直线和直线之间，
∴点离对称轴的距离比点远，
又抛物线开口向下，
∴，故正确.
将点代入二次函数表达式得，，
又，
两式相加得，，
又，
∴，故错误，
故答案为：.
13．答案：(1)2
(2)或或
解析：（1）根据题意，得
且，
解得，
即当时，y是x的二次函数；
（2）①当且时，即时，y是x的一次函数；
②当且时，y是x的一次函数，
解得；
③当且时，y是x的一次函数，
解得；
即当为或或时，y是x的一次函数.
14．答案：(1)1
(2)见解析
解析：（1）如图，延长至，使，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，，，
，
，，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
的面积；
（2）证明：将绕着点按顺时针方向旋转，得，
则，，，
四边形是正方形，
，
，
，
、、在一直线上，
，
，
又，
，
，
.
15．答案：(1)见详解
(2)见详解
解析：（1）以为对角线，画出菱形，如下图；
（2）如下图，过点向左作线段，使得，
即为以为边，面积为的三角形.
16．答案：(1)
(2)围成花圃的最大面积是，这时花圃的宽等于
解析：（1）由题意可得，
，
∵，
∴，
即y与x之间的函数表达式是（）；
（2）∵，
∵，当时随的增大而减小，
又，
∴当时，，
∴围成花圃的最大面积是，这时花圃的宽等于.
17．答案：(1)
(2)7
解析：（1）由题知：，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴、、在一条直线上，
∴是等边三角形，
∴.
（2）∵、、在一条直线上，
∴，
∵绕着点按顺时针方向旋转后得到，
∴，
∴.
18．答案：(1)，；
(2).
解析：（1）观察函数图象可知，图象与轴的交点坐标为，，与轴的交点坐标为，
将方程变形为，
由图象可知方程的解为，，
∴方程的解为，；
（2）若方程无实数根，
则由图象可得，
∴.
19．答案：（1）A(4，3)，P(-4，-3)；B(3，1)，Q(-3，-1)；C(1，2)，R(-1，-2)
（2）ABC与PQR关于原点对称
（3），具体过程见解析
解析：（1）根据图像与坐标轴之间的位置关系，得出：点A的坐标为(4，3)，点P的坐标为(-4，-3)；点B的坐标为(3，1)，点Q的坐标为(-3，-1)；点C的坐标为(1，2)，点R的坐标为(-1，-2).
（2）根据（1）中写出的各点的坐标，发现点A、P，点B、Q，点C、R的横纵坐标互为相反数，所以ABC与PQR关于原点对称.
（3）∵由（2）可知ABC与PQR关于原点对称，
∴点M、N也是关于原点对称的，
∴点M、N的横纵坐标互为相反数，可得：，
解得：a=-2，b=1，将a、b的值代入关于x的不等式：，
解得：.
20．答案：(1)
(2)（ⅰ）抛物线的图像与直线的图像有两个公共点；（ⅱ）当，a的取值范围为或
解析：（1）过C作轴于点D.
由题意可知，
∵，
∴，
设，则，，
抛物线解析式为，
把代入得：，解得.
（2）∵，，
∴，
（ⅰ）由题意可得：，即，
∵，
∴，
∴抛物线的图像与直线的图像有两个公共点；
（ⅱ）∵，，
∴抛物线的对称轴为，
当时，由，则，解得：；
当时，由，则或，解得：；
综上，当，a的取值范围为或.
21．答案：(1)见详解
(2)
解析：（1）如图，点即为所求；
（2）如图，作线段与的垂直平分线，它们的交点即为旋转中心，连接、、，过作轴于，
旋转得到的位置，点在上，
，，，
在和中
，
，
，
而，
，
，
为等腰直角三角形，
∴，
，
，
，
点的坐标是，
点坐标为
故答案为：
22．答案：（1）m=﹣3
（2）存在点M（2，﹣1），使得△MAC的周长最小
（3）P点坐标为P（0，3）或（0，﹣3）或（0，）或（0，﹣3﹣）
解析：（1）把点A（1，0）代入解析式中得﹣（1﹣2）2+m+4=0，
解得m=﹣3；
（2）存在点M，使得△MAC的周长最小.
抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，抛物线的对称轴是直线x=2
令x=0时，y=﹣3，则点C的坐标为（0，﹣3），
令y=0时，﹣（x﹣2）2+1=0，解得：x1=3，x2=1
∴A（1，0）、B（3，0），
连接BC交对称轴于点M，如图，
∵点A与点B关于直线x=2对称，
∴MA=MB，
∴MA+MC=MB+MC=BC，
∴此时MA+MC的值最小，
而线段AC是定长，
∴此时△MAC的周长有最小值，
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有 ，解得k=1，b=﹣3
∴直线BC的解析式是y=x﹣3
∵当x=2时，y=﹣1
∴点M的坐标为（2，﹣1）；
（3）∵A（1，0），C（0，﹣3），
∴AC== ，
当CP=CA=时，P点坐标为（0，﹣3）或（0，﹣3﹣）；
当AP=AC时，P点与C点关于x轴对称，P点坐标为（0，3）；
当PA=PC时，设P（0，t），则12+t2=（t+3）2，解得t=﹣，P点坐标为（0，﹣），
综上所述，P点坐标为P（0，3）或（0，﹣3）或（0，-）或（0，﹣3﹣）.
23．答案：(1)
(2)，
(3)
解析：（1）如图，将绕点按顺时针方向旋转，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）如图，∵是等边三角形，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得出
∴，，，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；
（3）如图，将绕点逆时针旋转，得到了，连接，
则，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
即.