江西省新余市分宜中学2023-2024九年级下学期月考数学试卷(含解析)

江西省新余市分宜中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的平方根是( )
A.4 B. C. D.2
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3．已知反比例函数，下列结论中，不正确的是( )
A.图象必经过点 B.y随x的增大而增大
C.图象在第一、三象限内 D.若，则
4．已知，若关于x的方程的解为.关于x的方程的解为.则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
5．如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，的值是( )
A. B. C. D.
6．抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤当是等腰三角形时，的值有个.其中正确的有个( )
A. B. C. D.
二、填空题
7．已知方程x2﹣5x+2＝0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1 x2的值为_____.
8．如图，已知AB是⊙O的直径，弦于H，若，则图中阴影部分的面积为_____.
9．如图，在矩形中，，，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，相交于点，则的最小值为_____.

10．若点在反比例函数的图象上，则_____（填“>”或“<”或“=”）
11．已知二次函数y＝m (x－1)( x－4)的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），顶点为C，将该二次函数的图像关于x轴翻折，所得图像的顶点为D.若四边形ACBD为正方形，则m的值为_____.
12．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，半径为2的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当_____时，与轴相切.
三、解答题
13．解方程：
(1)；
(2).
14．如图，的弦相交于点E，.求证：.
15．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，
(1)求的长
(2)若，求的度数.
16．已知矩形ABCD的顶点A、D在圆上， B、C两点在圆内，请仅用没有刻度的直尺作图.
（1）如图1，已知圆心O，请作出直线l⊥AD；
（2）如图2，未知圆心O，请作出直线l⊥AD.
17．在矩形中，，点G为边上一点，，于点E，
(1)求证；
(2)求证E是的中点.
18．如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为，顶点C的坐标为.
(1)求二次函数的解析式和直线的解析式；
(2)点P是直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段长度的最大值.
19．如图，一次函数的图像与反比例函数为的图像交于、两点.
(1)求一次函数的解析式；
(2)当时，直接写出x的取值范围；
(3)求的面积；
20．为了解同学们最喜欢一年四季中的哪个季节，数学社在全校随机抽取部分同学进行问卷调查，根据调查结果，得到如下两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了________名同学；扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为________；
（2）若该学校有1500名同学，请估计该校最喜欢冬季的同学的人数；
（3）现从最喜欢夏季的3名同学A，B，C中，随机选两名同学去参加学校组织的“我爱夏天”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好选到A，B去参加比赛的概率.
21．如图，已知AB是⊙O直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积.
22．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA＝x.
(1)求证：△PFA∽△ABE；
(2)若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值；
(3)试求当x取何值时，以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点.
23．如图，正方形中，点在边上，点是的中点，连接，.
(1)求证：；
(2)将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上，连接.当点在边上运动时（点不与，重合），判断的形状，并说明理由.
(3)在（2）的条件下，已知，当时，求的长.
参考答案
1．答案：C
解析：∵，4的平方根是，
∴的平方根是，
故选：C.
2．答案：D
解析：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故C错误；
D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确.
故选：D.
3．答案：B
解析：A、把点代入反比例函数，得，故正确，不符合题意；
B、∵，∴在每一象限内y随x的增大而减小，故不正确，符合题意.
C、∵，∴图象在第一、三象限内，故正确，不符合题意；
D、若，则，故正确，不符合题意.
故选：B.
4．答案：B
解析：如图所示，设直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点，
∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为，
∴分别是A、B、C、D的横坐标，
∴，
故选B.
5．答案：D
解析：如图，设与的交点为G，
∵点M是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴.
故选：D.
6．答案：C
解析：抛物线交轴于，
抛物线对称轴为直线：
故①正确；
②∵交轴于，.
，
消去a得
故②错误；
∵抛物线开口向上，对称轴是
∴时，二次函数有最小值
∴时，
故③正确；
④∵，，是等腰直角三角形.
设点D坐标为.
则.
解得.
∵点D在x轴下方.
∴点D为.
设二次函数解析式为，过点.
∴.
解得.
故④正确；
⑤由题意可得，
，
.
故是等腰三角形时，只有两种情况，故a的值有2个.
故⑤错误.
故①③④正确，②⑤错误.
故选：C.
7．答案：3
解析：∵方程的两个解分别为，，
，，
.
故答案为：3
8．答案：20
解析：∵AB是⊙O的直径，弦于H，
又∵，
∴阴影部分面积
∴阴影部分面积
故答案为：20.
9．答案：10
解析：如下图，过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，
易知四边形、、为矩形，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设两点运动时间为，则，，
则有，即，
∵，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
作点关于直线的对称点，如图，
则，，
由轴对称的性质可得，
当三点共线时，的值最小，即取最小值，
此时，在中，，
∴的最小值为.
故答案为：10.
10．答案：
解析：＞
的图像在一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，
＞
＜
故答案为：.
11．答案：
解析：∵y＝m (x－1)( x－4),
∴A（1,0），B（4,0），
∴AB=4-1=3.
∵四边形ACBD为正方形，
∴CD=AB=3，
.
当m<0时，，
把代入y＝m (x－1)( x－4)得
解之得：，
当m>0时，可求得 .
故答案为：.
12．答案：2或6
解析：设与坐标轴的切点为D，
∵直线与x轴、y轴分别交于点B、C，点，
时，时，时，，，
， ，，
是等腰直角三角形，，
①当与x轴相切时，
∵点D是切点，的半径是2，
轴，，
是等腰直角三角形，
，
，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
；
②如图，与x轴和y轴都相切时，
，
，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
；
综上所述，则当或6秒时，与x轴相切，
故答案为：2或6.
13．答案：(1)
(2)
解析：（1）∵
∴
∴
∴或
∴
（2）
两边都乘以，得
整理，得
解得
经检验符合题意，
∴是原方程的解.
14．答案：见解析
解析：证明：连接，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴.
15．答案：(1)
(2)
解析：（1）由题意，
根据旋转的性质可知：，
，
；
（2）由旋转的性质可知：，
，
，
，
，
，
.
16．答案：（1）作图见解析
（2）作图见解析
解析：（答案不唯一）：（1）如图1，直线l为所求；
（2）如图2，直线l为所求.
17．答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：（1）∵四边形是矩形，
∴，，，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴E是的中点.
18．答案：(1)，
(2)线段长度有最大值为
解析：（1）设二次函数的解析式为：
将B的坐标代入得：
∴二次函数的解析式为：即：，
∵点D是二次函数与y轴的交点，
∴D点坐标为：
设直线的解析式为：将B的坐标代入得：
∴直线的解析式为：；
（2）设P点的横坐标为，则，
∴，
∵，
∴当时，线段长度有最大值为.
19．答案：(1)
(2)或
(3)15
解析：（1）∵、两点在反比例函数的图象上，
∴，
解得，，
∴，，
把，代入中得，解得，
∴一次函数解析式为.
（2）由图象可知，当时，直线在曲线下方，
此时，的取值范围是或.
（3）把代入得，
解得：，
∴点坐标为，
∴.
20．答案：（1）120；108°
（2）名
（3）
解析：（1）根据题意得：18÷15%=120（名）；
“春季”占的角度为36÷120×360°=108°.
故答案为：120；108°；
（2）该校最喜欢冬季的同学的人数为：1500（名）；
（3）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，恰好选到A，B的有2种情况，
故恰好选到A，B的概率是：.
21．答案：（1）证明见解析
（2）阴影部分面积为
解析：（1）如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠BCD=∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°
∴∠OCD=90°
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线
（2）设⊙O的半径为r，
∴AB=2r，
∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴OD=2r，∠COB=60°
∴r+2=2r，
∴r=2，∠AOC=120°
∴BC=2，
∴由勾股定理可知：AC=2，
易求S△AOC=×2×1=
S扇形OAC=，
∴阴影部分面积为.
22．答案：(1)证明见解析
(2)满足条件的x的值为2或5
(3)当x=4-或x=4+或8＜x≤4+2时，⊙D与线段AE只有一个公共点
解析：(1)证明：∵正方形ABCD，
∴AD∥BC.
∴∠ABE＝90°.
∴∠PAF＝∠AEB.
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA＝∠ABE＝90°.
∴△PFA∽△ABE.
(2)情况1，当△EFP∽△ABE，且∠PEF＝∠EAB时，
则有PE∥AB
∴四边形ABEP为矩形.
∴PA＝EB＝2，即x＝2.
情况2，当△PFE∽△ABE，且∠PEF＝∠AEB时，
∵∠PAF＝∠AEB，
∴∠PEF＝∠PAF.
∴PE＝PA.
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点.
∵===，
∴EF=AE=.
∵=，即=，
∴PE＝5，即x＝5.
∴满足条件的x的值为2或5.
(3)如图，
作DH⊥AE，则⊙D与线段AE的距离d即为DH的长，可得d＝
当点P在AD边上时，⊙D的半径r＝DP＝4﹣x；
当点P在AD的延长线上时，⊙D的半径r＝DP＝x﹣4；
如图1时，⊙D与线段AE相切，此时d＝r，即=4-x，∴x=4-；
如图2时，⊙D与线段AE相切，此时d＝r，即=x-4，∴x=4+；
如图3时，DA=PD，则PA=x=2DA=8
如图4时，当PD＝ED时，
∵DE＝＝2，
∴PA＝PD+AD＝4+2，
∴当x=4-或x=4+或8＜x≤4+2时，⊙D与线段AE只有一个公共点.
23．答案：(1)见解析
(2)等腰直角三角形，理由见解析
(3)
解析：（1）∵四边形为正方形，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，即：，
在与中，
∴，
∴；
（2）为等腰直角三角形，理由如下：
由旋转的性质得：，
∴，
∴，，
∵，
∴，即：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（3）如图所示，延长交于点，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴.